清华大学弹性力学冯西桥FXQChapter本构关系.pptx

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1、目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第1页/共79页Difference between solids and fluids.Mechanics of Solids,The New Encyclopedia of Britannica,15th edition,Vol.23,pp.734-747,2002.“A material is called solid rather than fluid if it can also support a substantial shearing force over the time scale o

2、f some natural process or technological application of interest.”J.R.Rice3Chapter 2.1弹性的定义第2页/共79页引 言Chapter 5 应力张量 s 应力平衡方程：位移矢量 u 应变张量 e 几何方程：（应变协调方程：）第3页/共79页本构关系 材料的变形与所受应力之间的关系；是材料本身所固有的性质；本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。引 言Chapter 5第4页/共79页目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第5页/共79页Chapter 5.1

3、由实验可知当加载到A点后卸载，加载与卸载路径并不完全重合，亦即应力与应变之间不是单值对应的关系。OBACO称为滞后回线。其所包含的面积称为滞后面积。弹性的定义第6页/共79页Chapter 5.1 对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可以认为加载与卸载是重合的。因此应力与应变间可看作是单值对应关系。弹性的定义第7页/共79页弹性本构关系：其中4Chapter 2.1弹性的定义第8页/共79页弹性本构关系：l 应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；l 没有迟滞效应。小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形线弹性本构关系 6Chapter 2.1弹性

4、的定义第9页/共79页Chapter 5.1 各向同性弹性体 假设物体是均匀、连续、各向同性的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。下面所研究的物体仅限于完全弹性体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。弹性的定义第10页/共79页两个假设弹性体的响应仅依赖于当前的状态；弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。7Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义第11页/共79页线弹性:广义胡克定律:8Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义第12页/共79页,14Chapter 2.2 晶

5、体弹性的定义第13页/共79页,15Chapter 2.2silicon 晶体弹性的定义第14页/共79页,16Chapter 2.2 晶体三斜单斜正交三角四方六方立方弹性的定义第15页/共79页17Chapter 2.2 长链高分子弹性的定义第16页/共79页本构关系Chapter 5 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第17页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 单向应力状态时的胡克定律是 式中 E 称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E 是常数。杨氏模量第18页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。

6、在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：其中 是弹性常数，称为泊松比。泊松比第19页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 先考虑在各正应力作用下沿 x 轴的相对伸长，它由三部分组成，即 线弹性叠加原理第20页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1其中 是由于x的作用所产生的相对伸长 是由于y的作用所产生的相对缩短 是由于z的作用所产生的相对缩短 第21页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下在x轴方向的应变 同理可得到在y轴和z轴方向的应变第22页/共79页广义胡克定律Chapter 5

7、.1 根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，而不引起 xz、yz，于是可得同理 第23页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：第24页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为 将弹性本构关系写成指标形式为 第25页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1第26页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第一不变量 表示三个正应力之和，则其中 称为体积模量。第27页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1令则第28页/共79页广义胡克定律C

8、hapter 5.1弹性关系的常规形式为 其中 G 和 称为拉梅常数。第29页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 将应力和应变张量分解成球量和偏量，得 由于偏量和球量相互独立，所以有第30页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量 引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状变化)第31页/共79页广义胡克定律常用的三套弹性常数E、单拉测定单拉测定Lam常数：常数：G、K、G静水压、纯剪静水压、纯剪（扭转）测定（扭转）测定Chapter 5.1第

9、32页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)，所以第33页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1故要上式成立必要求：即第34页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 若设0.5，则体积模量K，称为不可压缩材料，相应的剪切模量为 对实际工程材料的测定值，一般都在 的范围内。第35页/共79页本构关系Chapter 5.2 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第36页/

10、共79页广义胡克定律各向同性本构关系Chapter 5.2p对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。第37页/共79页广义胡克定律各向异性本构关系Chapter 5.2p对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。p广义胡克定律的一般形式是：C 是四阶刚度（弹性）张量。D 是四阶柔度张量。第38页/共79页广义胡克定律NavierNavier(1785-1836)(1785-1836)PoissonPoisson(1781-1840)(1781-1840)Saint-VenantSaint-Venan

11、t(1797-1886)(1797-1886)CauchyCauchy(1789-1857)(1789-1857)NeumannNeumann(1798-1895)(1798-1895)VoigtVoigt(1850-1919)(1850-1919)确定线弹性材料常数的历史过程Chapter 5.1第39页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的kl均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称弹性张量，共有81个分量。弹性张量的Voigt对称性第40页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1下节中将证明第41页/共79页广义胡克定律Cha

12、pter 5.1独立的弹性常数由81个降为36个 第42页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 其中 即c 的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于C 的双指标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的cmn(m,n16)并不是张量。由于存在Voigt对称性，所以对于最一般的各向异性材料，独立的弹性常数共有21个。第43页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 (1)一般各向异性线弹性：无弹性对称面 21 例：三斜晶体第44页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1 (2)具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体：13 bae2ce1e3e3例：单斜晶体(正长石和云母

13、等)e1,e2平面为弹性对称面第45页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1(3)正交各向异性线弹性体：9 例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、木材等)互相正交的e1-e2，e2-e3,e1-e3平面为弹性对称面ce1e3e2e1ab第46页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1(4)横观各向同性线弹性体：5例：六方晶体aaac第47页/共79页广义胡克定律Chapter 5.1(5)各向同性线弹性体：2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增强复合材料第48页/共79页,16Chapter 2.2 晶体三斜（21）单斜（13）正交（9）三角（9）四方（7）六方（5）立方（3

14、）弹性的定义第49页/共79页广义胡克定律Chapter 5.12个金属拉压：2个 剪切：1个各向同性地壳、六方晶体拉压：4个 剪切：2个5个横观各向同性正交晶体拉压与剪切不耦合剪切为对角阵9个正交各向异性单斜晶体13个有一个弹性对称面三斜晶体66对称21个一般情况例独立的弹性常数小结第50页/共79页本构关系Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第51页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。弹性变形是一

15、个没有能量耗散的可逆过程，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。第52页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2第53页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 非线性的应力应变关系第54页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 正应力 11 仅在正应变 11 上做功，其值为：其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变分量 ij 上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得第55页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 引进应变能密度函数W(ij)，使 即则 其中，W(0)和W(ij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般

16、取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)0。格林(Green,G.)公式第56页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2p应变能密度等于单位体积的外力功。p应变能密度只与物体的初始状态和最终变形状态有关，而变形历史无关，即是一个状态函数。p应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(ij)的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。第57页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2又广义格林公式 第58页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 线弹性情况 在无应变自然状态(ij=0)附近把应变能函数W(ij)对应变分量展开成幂级数：其中第59页/共79页 应变能

17、和应变余能Chapter 5.2第60页/共79页 它是应变分量ij的二次齐次式，有：由此证明弹性张量 C 对双指标 ij 和 kl 具有对称性。应变能和应变余能Chapter 5.2第61页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 对于各向同性材料，有 对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。第62页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质：第63页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2对上式分部积分得：第64页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 面积。全

18、功中只有一部分(图中的曲边三角形OAP)转化为弹性应变能W，剩余部分(曲边三角形OBP)就是余能Wc。上式给出了应变能和应变余能对全功的互余关系。右端第一项ijij称为全功，它相应于图中矩形OAPB的第65页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2对于线弹性材料，应变余能为 应变余能的值和应变能的值相等。第66页/共79页 应变能和应变余能Chapter 5.2 注 应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现为动能，它导致梁砝码系统在其平衡状态附近的自

19、由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗散于空气之中。第67页/共79页本构关系Chapter 5 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性第68页/共79页热力学第一定律 其中dT和dE分别是动能增量和内能增量，dA是外力对系统所做的功，dQ是系统从外界吸收的热量。热力学第二定律 其中 为温度，S为熵。应变能的正定性Chapter 5.3第69页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3代入 这是自然界中一切热力学过程都必须满足的方程。其中等号仅适用于可逆过程。第70页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 对于dS0的等熵(绝热)过程 对于等温过程，定义自由能表达式

20、 其中F,E,S分别表示物体的总自由能、总内能和总熵。由此解出E代入 第二定律表达式得：由于等熵过程的内能E和等温过程中的自由能F都等于应变能U，所以上述两式可统一写为：注意第71页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 即外界对物体所做的功在可逆过程中(取等号)将全部转化为动能和应变能；在不可逆过程中(取不等号)则只有一部分转化为动能和应变能，剩余部分将通过热或声耗散掉。第72页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 把加载前物体所处的热力学平衡状态选为无应变自然状态。加载后的平衡状态称为变形状态和干扰状态。下面来证明只要自然状态是物体的稳定平衡状态，则应变能是正定的。考

21、虑由自然状态到变形状态的准静态加载过程，这时动能dT0。又因准静态过程是可逆的，所以式子简化为 第73页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 由于从稳定的平衡状态到相邻的干扰状态外力必须做正功，即 dA0，所以上式要求 令自然状态的应变能为零，则变形状态的应变能必正定。第74页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 应变能的正定性限制了弹性常数的取值范围。将各向同性弹性材料的比应变能公式改写为：其中，为体积变化，为应变偏量，表示形状畸变。第75页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 右端第一项称为体积应变能，第二项称为畸变应变能或歪形能。由于体积变化和形状畸变是两种互相独立的变形形式，所以应变能的正定性要求上式右端的两项分别大于零，而二次式 和 恒正，所以要求相应系数第76页/共79页 应变能的正定性Chapter 5.3 与前面推导的结论相同。第77页/共79页 本构关系Chapter 5谢 谢！第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页