电信复变函数与积分变换复变函数-CH1-复数ppt课件.ppt

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1、复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统主讲教师：董晓亮主讲教师：董晓亮复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统课程名称课程名称复变函数复变函数复变函数复变函数教教材材复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数与积分变换(四版四版四版四版)总总学学时时32学时学时教师姓名_董晓亮董晓亮_课程简介课程简介复变函数复变函数复变函数

2、复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统对对象象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变函数之间的相互依赖关系，研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分.主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等共形映射等.复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定

3、胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处之处.但又有不同之处，在学习但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果果.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统背景背景 复数的起源：复数的起

4、源：将将1010分成两个数，二者的乘积是分成两个数，二者的乘积是40.40.-Cardano -Cardano，15451545意大利意大利 复变函数论产生于十八世纪。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做们叫做“达朗贝尔达朗贝尔-欧拉方程欧拉方程”

5、。到了十九世纪，上述两个。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做以这两个方程也被叫做“柯西柯西-黎曼条件黎曼条件”。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数的理论基础奠定于十九世纪，达到全盛。其中复变函数的理论基础奠定于十九世纪，达到全盛。其中：A.L.Cauchy-复变函数的积分复变函数的积分K.Weierstrass-复变函数的级数复变函数的级数G.F

6、.B.Riemann-复变函数的映照性质复变函数的映照性质二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系日益密切理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系日益密切.华罗庚在多复变典型域的调和分析做出重大贡献。华罗庚在多复变典型域的调和分析做出重大贡献。张广厚与杨乐在复变函数的全纯与亚纯函数族的研究中张广厚与杨乐在复变函数的全纯与亚纯函数族的研究中,首首次发现了函数值分布论中的两个主要概念次发现了函数值分布论中的两个主要概念“亏值亏值”和和“奇异方向奇异方向”之间的具体联系，被数学界定名为张杨

7、定理。之间的具体联系，被数学界定名为张杨定理。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构设计问题，他在运用复变函数理论解决了飞机机翼的结构设计问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了巨大数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了巨大贡献。贡献。复变函数的应用复变函数的应用复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精

8、品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统主主要要内内容容引言引言第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 解析函数的幂级数表示方法解析函数的幂级数表示方法第五章第五章 解析函数的洛朗级数与孤立奇点解析函数的洛朗级数与孤立奇点第六章第六章 留数及其应用留数及其应用第七章第七章 共形映射共形映射*第八章第八章 解析延拓解析延拓*第九章第九章 调和级数调和级数*复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规

9、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统&1.1.复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念&2.2.代数运算代数运算代数运算代数运算&3.3.共轭共轭共轭共轭复数复数复数复数CH1 11复数复数复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、复数的概念1.虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定:复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮

10、球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统虚数单位的特性虚数单位的特性:复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复数的概念复数的概念定义定义对任意两实数对任意两实数x、y,称称z=x+iy或或z=x+yi为复数。为复数。复数复数z的实部的实部Re(z)=x;虚部虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)判断复数相等判断复数相等复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因

11、此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由此可见由此可见,在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.A 一般一般,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二、复数的代数运算1.两复数的和两复数的和:2.两复数的积两复数的积:3.两复数的商两复数的商:全全体复数引入以上的四则运算后就称为体复数引入以上的四则运算后就称为复数域复数域复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队

12、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同与实数相同）即，）即，复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统4.共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两

13、实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.例例2 2解解(conjugate)复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统5.共轭复数的性质共轭复数的性质:以上各式证明略以上各式证明略.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间

14、里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.点的表示点的表示点的表示点的表示 2.2.向量表示法向量表示法向量表示法向量表示法 3.3.三角表示法三角表示法三角表示法三角表示法 4.4.指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法 二二复数的表示方法复数的表示方法复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时

15、计分系统是一种得分类型的系统1.1.点的表示点的表示点的表示：点的表示：y轴除去原点！轴除去原点！复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.向量表示法向量表示法oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴为为始边始边,以以为为终边终边的角的的角的弧度数弧度数称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)A复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规

16、定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统辐角无穷多：辐角无穷多：Argz=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定.计算计算argz(z0)的公式的公式复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统A当当z z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。A当当z z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。A当当z z落于第三象限

17、时，减落于第三象限时，减 。设复数设复数z=x+iy(z0时时)反正切主值反正切主值辐角主值辐角主值复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比

18、赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统其中，其中，的化简过程为：的化简过程为：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统辅助证明：辅助证明：证证注意：注意：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统oxy(z)z1z2z1+z2z2-z1由向量表示法知由向量表示法知3.三角表示法三角表示法4.指数表示法指数表示

19、法复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.1.复数的复数的复数的复数的乘积与商乘积与商乘积与商乘积与商 2.2.复数的复数的复数的复数的乘幂乘幂乘幂乘幂 3.3.复数的复数的复数的复数的方根方根方根方根 三三复数的复数的乘幂乘幂与与方根方根复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比

20、赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理1 1 两个复数乘积两个复数乘积的模等于它们的的模等于它们的模相乘模相乘，两个复数乘两个复数乘积积的的辐辐角等于它角等于它们们的的辐辐角相加角相加.证明证明 ：设设z z1 1=r r1 1(cos(cos1 1+i isinsin1 1)=)=r r1 1e eii1 1 z z2 2=r r2 2(cos(cos2 2+i isinsin2 2)=)=r r2 2e eii2 2 则则 z z1 1z z2 2=r r1 1r r2 2(cos(cos1 1+i isinsin1

21、1)(cos)(cos2 2+i isinsin2 2)=r r1 1r r2 2cos(cos(1 1+2 2)+)+i isin(sin(1 1+2 2)=r r1 1r r2 2e ei i(1+1+2)2)1.数的乘积与商数的乘积与商因此因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统几何意义：几何意义：将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩

22、到|z2|倍倍.oxy(z)z1z2z2A 定理定理1 1可推广到可推广到n个复数的乘积。个复数的乘积。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统要使上式成立要使上式成立,必须且只需必须且只需k=m+n+1.Arg(z1z2)=Argz1+Argz2A 应从集合相等的角度理解应从集合相等的角度理解复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理2两

23、个复数的商两个复数的商的模等于它们的的模等于它们的模相除模相除，两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的辐角等于被除数与除数的数的辐角辐角相减相减.于是于是Argz=Argz2-Argz1即即由复数除法的定义由复数除法的定义z=z2/z1，即，即z1z=z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Argz2（z10）证明证明复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 z3z1z2复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在

24、规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统由公式有：由公式有：注意注意、是复数的辐角主值，其范围是复数的辐角主值，其范围(-,更更进进一步三者都是三角形的内角，一步三者都是三角形的内角，则则容易得到平面几容易得到平面几何的三角形内角和定理：何的三角形内角和定理：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统设设z=rei，由复数的乘法定理和数学归纳法可证，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明明zn=rn(cosn+isinn)=rne

25、in。2.复数的复数的乘幂乘幂定义定义n个相同的复数个相同的复数z的乘积，称为的乘积，称为z的的n次幂，次幂，记作记作zn，即，即zn=z z z（共共n个）个）。定义定义特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isinn，则有，则有(cos+isin)n=cosn+isinn一棣模佛一棣模佛(DeMoivre)公式。公式。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统问题问题给定给定非零复数非零复数z=rei(z0)，求所有的满，求所有的满足足n=z的复数

26、的复数。3.复数的复数的方根方根（开方）（开方）乘方的逆运算乘方的逆运算当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z的的n次方根，次方根，复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统A 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，个不同的根，而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。几何上几何上，的的n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心，为半为半径的圆周上径的

27、圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周的正的正n边形的边形的n个顶点。个顶点。xyo复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统引进复数的几何表示，可将平面图形用引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程复数方程(或不等式或不等式)表示；反之，也可由给定的复表示；反之，也可由给定的

28、复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。例例1用复数方程表示用复数方程表示:（1）过两点）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；的直线；（2）中心在点）中心在点(0,-1),半径为半径为2的圆。的圆。oxy(z)Lz1z2z解解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t0,对任意对任意zD,均有均有zG=z|z|R，则，则D是有界是有界区域区域；否则无界；否则无界.闭区域闭区域区域区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,注注：区域都是开的，不包含它的边界点：区域都是开的，不包含它的边界点.下面看几个区域的实际例子下面看几个区

29、域的实际例子.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例1集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：xyo复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例2集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线.例3集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是

30、根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统2.简单曲线（简单曲线（Jardan曲线曲线)令令z(t)=x(t)+iy(t)atb;则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)，atb有限条光滑曲线相连接构成一条有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线分段光滑曲线.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统重点重点设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于对于t1(a，b),t2a,b,当当t1t2时，若时

31、，若z(t1)=z(t2)，称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。定义定义称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线。z(a)=z(b)简单闭曲线简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线不是简单闭曲线复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质(Jardan

32、定理定理)任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线C：z=z(t)，ta，b，把复，把复平面唯一地分成三个点集，具有如下性质平面唯一地分成三个点集，具有如下性质1、彼此不相交、彼此不相交;2、I(c)一个是有界区域，称为一个是有界区域，称为C的内部；的内部；3、E(c)一个是无界区域，称为一个是无界区域，称为C的外部；的外部；4、若简单折线的一个端点属于、若简单折线的一个端点属于I(c)，而另一个，而另一个端点属于端点属于E(c)则必与有交点则必与有交点.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是

33、一种得分类型的系统3.单连通域与多连通域单连通域与多连通域z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部内部外部外部边界边界定义定义复平面上的一个区域复平面上的一个区域D，如果，如果D内的任何简单闭曲线内的任何简单闭曲线的的内部总在内部总在D内，就称内，就称D为单为单连通连通域；非单连通域称为多连域；非单连通域称为多连通域通域.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例如例如|z|0）是单连通的；）是单连通的；0r|z|R是多连通的是多连通的.单连通域单连通域多连通域多连通

34、域多连通域多连通域单连通域单连通域复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.复变函数的定义复变函数的定义 2.映射的概念映射的概念 3.反函数或逆映射反函数或逆映射五五 复变函数复变函数 复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.复变函数的定义复变函数的定义定义定义复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队

35、在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2例例1复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统o x y(z)G o uv(w)G G*w=f(z)在几何上在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合2.映射的概念映射的概念z w=

36、f(z)w 复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统以下不再区分函数与映射（变换）以下不再区分函数与映射（变换）.在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v与与x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数复变函数复

37、变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例3解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射旋转变换旋转变换(映射映射)例例4解解复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图图1-1图图1-2图图2uv(w)o复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比

38、赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统3、反函数或逆映射、反函数或逆映射例例设设z=w2则称则称为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射故为多值函数故为多值函数,2支支.定义定义设设w=f(z)的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.复变

39、函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例已知映射已知映射w=z3，求区域，求区域0argz在平面在平面w上的象上的象例例复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.函数的极限函数的极限 2.运算性质运算性质 3.函数的连续性函数的连续性6复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛

40、是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统一、一、函数的极限函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统注注(1)定义中定义中 的方式是任意的的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比

41、较要求更高.(2)w0是复数是复数.2.运算性质运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理定理1(3)若若f(z)在在处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的.复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统三、函数的连续性三、函数的连续性定义定义定理定理3复

42、变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例4证明证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。在原点及负实轴上不连续。证明证明xy(z)ozz复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统定理定理4连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函

43、数。有界性：有界性：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统例例2复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统1.复球面与无穷大复球面与无穷大 2.无穷远点无穷远点 7复球面与无穷远点复球面与无穷远点复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种

44、得分类型的系统一、复球面与无穷大一、复球面与无穷大:在点坐标是在点坐标是(x,y,u)的三维空间中，把的三维空间中，把xOy面面看作是看作是z面。考虑球面面。考虑球面S：取定球面上一点取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。称为球极。我我们们可可以以建建立立一一个个复复平平面面C到到S-N之之间间的的一一个个1-1对应（球极射影）：对应（球极射影）：复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统球极射影球极射影:我们称上面的映射为球我们称上面的映射为球极射影：极射影：(x,y

45、,0),(x,y,u),(0,0,1)三点共线三点共线x:y:-1=x:y:u-1;复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统二二无穷远点无穷远点:对应于球极射影为对应于球极射影为N，我们引入一个新的非，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，正常复数无穷远点，称称为扩充复平面，记为为扩充复平面，记为。复变函数复变函数复变函数复变函数 精品课精品课精品课精品课篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统关关于于无无穷穷远远点点，我我们们规规定定其其实实部部、虚虚部部、辐角无意义，模等于：辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：这些运算无意义：