概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念（1）.ppt

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1、一、一、随机现象随机现象 二、二、随机试验随机试验第一节第一节 随机试验随机试验在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象“同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、随机现象一、随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察

2、正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2.随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1,2,3,4,5 或或 6.实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数.实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结果结果:弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可

3、能为其结果可能为:正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴,也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性,但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中,这种结果的出现这种结果的出现具有一定的统计具有一定的统计规律性规律性,概率论就是研究随机现概率论就是研究随

4、机现象这种本质规律的一门数学学科象这种本质规律的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?说明说明 1.可以在相同的条件下可以在相同的条件下重复重复地进行地进行;2.每次试验的可能每次试验的可能结果不止一个结果不止一个,并且能并且能事事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验进行一次试验之前不能确定之前不能确定哪一个结果哪一个结果会出现会出现.在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义二、随机试验

5、二、随机试验说明说明 1.随机试验简称为试验随机试验简称为试验,是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的“调查调查”、“观察观察”或或“测量测量”等等.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察字面察字面,花面出现的情况花面出现的情况”.分析分析 2.随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.(1)试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;1.抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2.从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品

6、的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.(2)试验的所有可能结果试验的所有可能结果:字面字面、花面花面;(3)进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现.故为随机试验故为随机试验.3.记录某公共汽车站记录某公共汽车站某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等车人数车人数.4.考察某地区考察某地区 9 月份月份的平均气温的平均气温.5.从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只一只,测试其寿命测试其寿命.小小 结结 随机现象的特征随机现象的特征:1.概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科概率论是研究随机现象规律性的一门数

7、学学科.条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果.2.随机现象是通过随机现象是通过随机试验随机试验来研究的来研究的.(1)可以在相同的条件下重复地进可以在相同的条件下重复地进行行;(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能并且能事事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现出现.随随机机试试验验一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念二、随机事件的概念第二节样本空间、随机事件第二节样本空间、随机事件问题问题 怎

8、样描述随机试验的结果随机试验的结果?定义定义 随机试验随机试验 E 的所有可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合 称为称为 E 的的样本空间样本空间,记为记为 S.样本空间的元素,即试验E 的每一个结果,称为样本点样本点.实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况.一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的情况现正品与次品的情况.实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻

9、的等车人数上午某时刻的等车人数.实例实例5 考察某地区考察某地区 9月份的平月份的平 均气温均气温.实例实例6 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命.实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数.答案答案写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1.同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和.2.生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.课堂练习课堂练习 2.同一试验同一试验,若试验目的不同若试验目的不同,则对应的则对应的样

10、样 本空本空 间也不同间也不同.例如例如 对于同一试验对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面若观察正面 H、反面反面 T 出现的情况出现的情况,则样本空间则样本空间为为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数,则样本空间则样本空间为为说明说明 1.试验不同试验不同,对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.说明说明 3.建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现事实上就是建立随机现 象的数学模型象的数学模型.因此因此,一个样本空间可以一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题概括许多内容大不相同的实际问题.例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本

11、点的样本空间它既它既可以作为抛掷硬币出现可以作为抛掷硬币出现正面正面或出现或出现反面反面的的模型模型,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模的模型型,又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的的模型等模型等.所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中,描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间.随机事件随机事件 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的的子集子集称称 为为 E 的随机事件的随机事件,简称事件简称事件.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点

12、点”,“点数不大于点数不大于4”,“点数为偶数点数为偶数”等都为随机事件等都为随机事件.实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.1.基本概念基本概念二、随机事件的概念二、随机事件的概念实例实例 上述试验中上述试验中“点数不大于点数不大于6”就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果.实例实例 上述试验中上述试验中“点数大于点数大于6”就是不可能事件就是不可能事件.实例实例 “出现出现1点点”,“出现出现2点点”,“出现出现6点点”.基本事件

13、基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集.2.几点说明几点说明例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.可设可设 A=“点数不大于点数不大于4”,B=“点数为奇数点数为奇数”等等等等.(1)随机事件可简称为事件随机事件可简称为事件,并以大写英文字母并以大写英文字母(2)A,B,C,来表示事件来表示事件(2)随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间,样样本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件.随机试验随机试验样本空间样本空间子集子集随机事件随机事件随

14、随机机事事件件基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件 1.包含关系包含关系事件事件 A 出现则导致出现则导致 B 出现出现,则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作实例实例 “长度不合格长度不合格”必然导致必然导致“产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格”包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A.SBA三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算2.相等关系相等关系若事件若事件 A 包含事件包含事件 B，而且事件而且事件B 包含事件包含事件 A，则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等，记作记作 A=

15、B.3.事件事件 A 与与 B 的并的并(和事件和事件)实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此“产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并.SBA或或事件事件 A 与与 B至少发生一个至少发生一个，记作，记作4.事件事件 A 与与 B 的交的交(积事件积事件)或或事件事件A与与B 同时发生同时发生，记作，记作图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.SABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与

16、否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质5.事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥)若事件若事件 A 与事件与事件 B 不同时出现，则称事件不同时出现，则称事件 A与与B互不相容互不相容（或（或互斥互斥),即即实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,“出现花面出现花面”与与“出现字面出现字面”是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点”“骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A 与与 B 互斥互

17、斥.SAB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.6.事件事件 A 与与 B 的差的差 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的的差差.记作记作 A-B.图示图示 A 与与 B 的的差差.SABSAB实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合长度合格格”与与“直径合格直径合格”的差的差.设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”,则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件对立事件或或逆事件逆事件.记作记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点

18、点”“骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立.SB若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有A7.事件事件 A 的对立事件的对立事件对立对立互逆事件与互斥事件的区别互逆事件与互斥事件的区别SSABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立事件间的运算规律事件间的运算规律例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来.(1)A 出现出现,B,C 不出现不出现;(5)三个事件都不出现三个事件都不出现;(2)A,B都出现都出现,C 不出现不出现;(3)三个事件都出现三个事件都出现;(4)三个事件至

19、少有一个出现三个事件至少有一个出现;(7)不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8)三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(9)A,B 至少有一个出现至少有一个出现,C 不出现不出现;(10)A,B,C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.(6)不多于一个事件出不多于一个事件出现现;例例2 从一批产品中不放回地随机抽样，每次从一批产品中不放回地随机抽样，每次 取一个，取三次。记取一个，取三次。记第第i次取到正品，次取到正品，i=1,2,3试用文字叙述：试用文字叙述：补充补充1完备事件组完备事件组若样本空间中的事件组若样本空间中的事件组两两互斥，且两两互斥，且则称其为完备事件组则称其为完

20、备事件组或称为样本空间的一个或称为样本空间的一个划分划分补充补充2关于差事件的表示关于差事件的表示SAB一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质三、小结三、小结第三节第三节 频率与概率频率与概率1.定义定义 一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质 2.性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件,则则试验试验序号序号1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020

21、.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次,各做各做 7 遍遍,观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.波动最小波动最小随随n的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性从从上述数据可得上述数据可得(2)抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时,频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大,但但随随 n 的增大的增大,频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动,且逐渐稳定于且逐渐稳定于 0

22、.5.(1)频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n,所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的概率概率 医医生生在在检检查查完完病病人人的的时时候候摇摇摇

23、摇头头：“你你的的病病很很重重，在在十十个个得得这这种种病病的的人人中中只只有有一一个个能能救救活活.”当当病病人人被被这这个个消消息息吓吓得得够够呛呛时时，医医生生继继续续说说：“但但你你是是幸幸运运的的因因为为你你找找到到了了我我，我我已已经经看看过过九个病人了，他们都死于此病九个病人了，他们都死于此病.”医生的说法对吗医生的说法对吗?请请同学们思考同学们思考.1933年年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，给出了概率的严格定义，使，使概率论有了迅速的发展概率论有了迅速的发展.二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质概率的可列可加性概率的可列可加性1.概率的定义概率的定义证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得2.性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得证明证明证明证明证明证明证明证明 由图可得由图可得又由又由性质性质 3 得得因此得因此得推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况n 个事件和的情况个事件和的情况解解SABAB练习练习1.频率频率(波动波动)概率概率(稳定稳定).2.概率的主要性质概率的主要性质三、小结三、小结