金融中的最优化问题ppt课件.ppt

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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第三章金融中的最优化问题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1、凸函数及其主要性质2、最优化问题和Kuhn-Tucker条件在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、凸函数及其主要性质1、准备知识准备知识 凸函数：设F：KR为定义在线性空间X的凸集K上的实值函数。凹函数 如果 有 那么称F为K上的严格凸函数。而-F称为K上凹函数 承托函数：是一个定义在X的共轭

2、空间X*上的实值函数，定义 为 其中，表示f(u)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、凸函数及其主要性质2 2、几个经济学和金融学中的函数凸性的具体例子、几个经济学和金融学中的函数凸性的具体例子 （1）利润函数 设 是企业的生产集，其中 代表具有m种商品的商品空间。表示一种可行的生产活动，其中z的m个坐标中的正坐标分量代表这一生产活动的各种产出量，负坐标分量代表这一生产活动的各种投入量。V一般总假设为凸集，它意味着两次生产活动的凸组合仍为可行的生产活动。上的线性函数 的经济意义是价格体系。于是V的承托函数 的经济意义为企业

3、的利润函数。其含义为企业所有可能的生产活动中可能得到的最大利润。这是因为的含义是产出的总价值减去投入的总价值，即生产利润。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、凸函数及其主要性质（2）生产函数设 为（单）产出是 时的投入需求集。其含义是：对于任何 中的（商品）投入 都能生产（某商品的）产出y。是用来刻画一个企业的生产能力的。生产函数它是定义在投入商品空间中的实值函数。其含义为：用投入x至多可生产的产出量。与 之间的关系如下：如果对于任何产出y,投入需求集 总是凸集，那么由它和生产函数 之间的关系可知，是拟凹函数。在日常生活中

4、，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、凸函数及其主要性质（3）期望效用函数 设某经济活动者的期望效用函数为单变量函数 。我们不妨设这里的自变量的含义就是收入。假设x,y=0为两种可能的收入；得到x的概率为p,得到y的概率为（1-p）。记这样的事件为（x,y,p）,由定义，这一事件的效用为 此人对（x,y,p）这一事件中所包含的风险的态度可由这个值与 的比较来刻画。该经济活动者可分为以下几种：风险中性者：风险厌恶者：风险爱好者：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优

5、化问题和Kuhn-Tucker条件1、准备知识准备知识 （1）数学规划问题即最优化问题 这里F称为目标函数，称为不等式约束，称为等式约束。集合称为问题（P）的可行集。如果存在 满足 ，那么 称为问题（P）的解。而 则称为问题（P）的值。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件现在我们来定义问题（P）的Lagrange函数 为考虑到问题（P）的Lagrange函数形式，可知问题（P）的解也一定是下列问题的解问题 是一个真正的无约束极值问题。这样的 称为问题（P）中的Lagrange乘子，有时

6、为了强调问题中有不等式约束，又将其称为Kuhn-Tucker乘子。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件 问题（P）中的Lagrange函数和Lagrange乘子可以有这样的经济解释：我们把F(x)理解成某种生产成本，x是投入，而投入的能力由不等式约束和等式约束来刻画。Lagrange函数 中的 可理解为破坏约束条件时的单位罚款。在这种惩罚下，企业只需考虑它的成本和罚款之间的和最小，不必考虑生产约束，而结果在一般情况下，仍与考虑约束时一样。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许

7、你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件（2）鞍点定理 下列两个命题等价：i)是问题（P）的解，是问题（P）的Lagrange乘子；ii)是问题（P）的Lagrange函数的鞍点；即此外，这时还有如下松紧关系成立在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件（3）Kuhn-Tucker定理 设问题（P）为凸规划。其可行集 ，其值 且满足那么存在p个非负实数 ；和q个实数使得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在

8、浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件2、证券组合选择理论中的数学规划证券组合选择理论中的数学规划 （1）均值-方差证券组合选择问题 我们在第一章已经指出，Markowitz证券组合选择问题是如何确定使得证券组合在期望收益率一定时，风险（收益率的方差）最小。假定 是n种证券的收益率（随机变量）不妨称 为组合，为组合的收益，为组合的风险。这样，Markowitz组合问题为这一问题的解 称为对应收益 的极小风险组合。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、最优化问题和Kuhn-Tucker条件结论定理结论定理 在均值-方差证券组合选择问题（M）中，如果n种证券的期望收益率 不全相同，收益率协方差矩阵V 正定，组合的期望收益率 给定，那么（M）有唯一解 为 其中在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么谢谢观赏