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1、概率论第一讲1 1本讲稿第一页，共三十二页 在我们所生活的世界上，扔硬币、扔硬币、婴儿诞生婴儿诞生无时无刻不面临着不确定性无时无刻不面临着不确定性 每时每刻都有各种现象发生.随机现象随机现象 确定性现象确定性现象有一类现象在一定条件下一定发生有一类现象在一定条件下一定发生掷骰子、掷骰子、玩扑克、玩扑克、2本讲稿第二页，共三十二页 在个别试验或观察中其结果呈现出在个别试验或观察中其结果呈现出不确定性；不确定性；随机现象：随机现象：大量重复试验后会呈现其固有规律性大量重复试验后会呈现其固有规律性统计规律性统计规律性 在大量重复试验或观察中其结果又在大量重复试验或观察中其结果又具有统计规律性具有统计

2、规律性.3本讲稿第三页，共三十二页A.太阳从东方升起；太阳从东方升起；B.明天的最高温度；明天的最高温度；C.上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D.新生婴儿的体重新生婴儿的体重.我们的生活和随机现象结下了不解我们的生活和随机现象结下了不解之缘之缘 下面的现象哪些是随机现象？下面的现象哪些是随机现象？随机现象例随机现象例4本讲稿第四页，共三十二页随机试验：随机试验：如果（如果（1）试验能在相同条件下重复进行；）试验能在相同条件下重复进行；抛硬币；抛硬币；H 例如例如,掷硬币试验掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗

3、骰子，观察出现的点数 寿命试验寿命试验 测试在同一工艺条件下生产测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命出的灯泡的寿命.一、随机试验一、随机试验 （2）每次试验的可能结果不止一个，事先明确）每次试验的可能结果不止一个，事先明确试验的所有可能结果；试验的所有可能结果；（3）试验之前又不能确定）试验之前又不能确定会出现哪一个结果会出现哪一个结果.抛骰子；抛骰子；测寿命；测寿命；记温度等记温度等.5本讲稿第五页，共三十二页 我们把随机试验的每个基本结果称为我们把随机试验的每个基本结果称为样样本点本点，记作，记作e 或或.二、样本空间二、样本空间 全体样本点的集合称为全体样本点的集合称为样本空间样本空间

4、.样本空间样本空间用用S或或表示表示.如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则该试验如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则该试验样本空间由如下样本空间由如下 个样本点组成：个样本点组成：S=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)四四？6本讲稿第六页，共三十二页 如果试验是如果试验是测试某灯泡的寿命测试某灯泡的寿命，则该试，则该试验样本空间如何描述？验样本空间如何描述？S=t：t 0 如果试验是如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正面将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数出现的次数，则该试验样本空间如何组成？，则该试验样本空间如何组成？如果试验是如果试验是记录某地的最高和最低温度记录某地的最高和最低温度

5、，则，则该试验样本空间如何描述？该试验样本空间如何描述？如果试验是如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正反面将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况出现的情况，则该试验样本空间如何组成？，则该试验样本空间如何组成？7本讲稿第七页，共三十二页或：称试验或：称试验E的的样本空间样本空间S的子集的子集为为E的随机事件，的随机事件，简称事件简称事件.随机事件用随机事件用A,B,C等表示等表示.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S=i：i=1,2,3,4,5,6样本空间：样本空间：事件事件B就是就是S的一个子集的一个子集B=1,3,5 在随机试验中，我们往往会关心某个在随机试

6、验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现或某些结果是否会出现.三、随机事件三、随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发生的在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件事件称为随机事件，简称事件.8本讲稿第八页，共三十二页事件事件基本事件基本事件复合事件复合事件（相对于观察目的相对于观察目的不可再分解的事件）不可再分解的事件）（两个或多个基本事件合并在一起，（两个或多个基本事件合并在一起，就就 构成一个复合事件）构成一个复合事件）事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点如在掷骰子试验中，观如在掷骰子试验中，观察掷出的点数察掷出的点数.事件事件 Ai=掷出掷出i点点 i=1,2,3,

7、4,5,69本讲稿第九页，共三十二页例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，在每次试验中必定发生，在每次试验中必定发生，空集空集，而而“掷出点数掷出点数8”则是不可能事件则是不可能事件.两个特殊事件两个特殊事件样本空间样本空间S，必件然事不件可事能“掷出点数小于掷出点数小于7”是必然事件是必然事件;在每次试验中都不可能发生，在每次试验中都不可能发生，10本讲稿第十页，共三十二页四、事件间的关系与事件的运算四、事件间的关系与事件的运算1.1.事件间的关系事件间的关系11本讲稿第十一页，共三十二页12本讲稿第十二页，共三十二页2.2.事件运算定律事件运算定律（1 1）交换律交换律（2 2）结合

8、律结合律（3 3）分配律分配律（4 4）德德.摩根律摩根律 互斥与互逆的区别？互斥与互逆的区别？13本讲稿第十三页，共三十二页 是是A的对立事件，的对立事件，=两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品在概率论中，常常叙述为：在概率论中，常常叙述为：=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品A=两件产品都是合格品两件产品都是合格品，例如，从一批产品中任取两件，观察合例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况格品的情况.记记问：问：=两件产品中恰有一个是不合格品两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品两件产品中都是不合格品14本讲稿第十四页，共三十二页 若记若记

9、Bi=取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1,2=两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品 A=B1B2 问如何用问如何用 Bi 表示表示A和和？A=两件产品都是合格品两件产品都是合格品，例如，从一批产品中任取两件，观察合例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况格品的情况.记记15本讲稿第十五页，共三十二页1.A发生发生,B与与C不发生不发生练习：设练习：设A、B、C为三个事件，用为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件的运算关系表示下列各事件.或或2.A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生或或16本讲稿第十六页，共三十二页3.A、B、C中至少有一

10、个发生中至少有一个发生4.A、B、C都发生都发生或或ABC恰有1个发生恰有2个发生ABC3个都发生17本讲稿第十七页，共三十二页5.A、B、C中至少有两个发生中至少有两个发生或或 6.A、B、C都不发生都不发生恰有恰有2个发生个发生3个都发生个都发生或或18本讲稿第十八页，共三十二页 了解事件发生的可能性即概率的大小，对人了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？们的生活有什么意义呢？了解发生意外人身事故的可能性大小了解发生意外人身事故的可能性大小,确确定保险金额定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员大小，合

11、理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度合理确定堤坝高度.19本讲稿第十九页，共三十二页1.0 Rn(A)1 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n次试验，在这次试验，在这n次试次试验中，事件验中，事件A发生的次数发生的次数fA 称为事件称为事件A发生的频数发生的频数.五、事件的频率五、事件的频率2.Rn(S)=1 3.设设A,B 是互不相容的事件，则是互不相容的事件，则性质性质fA/n 称为事件称为事件A发生的频率发生的频率.记为记为R n(A).20本讲稿第二十页，共三十二页 在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附

12、在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动；近摆动；试验次数越多，试验次数越多，一般来说一般来说摆动越小摆动越小.高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验 频频 率率 稳稳 定定 性性随机事件一个极其重要的特征：随机事件一个极其重要的特征：频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串（尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要率可以各不相同，但只要 n相当大相当大，频率与概率是会，频率与概率是会非常接近的非常接近的.21本讲稿第二十一页，共三十二页 这种稳定性为用统计方法求概率的数值这种稳定性为用统计方

13、法求概率的数值开拓了道路开拓了道路.这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为频率方法频率方法.在实际中，当概率不易求出时，人们常取在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，值，统统计计概概率率称此概率为称此概率为 概率是可以概率是可以通过频率来通过频率来“测量测量”的的,频率是频率是概率的一个近似概率的一个近似.22本讲稿第二十二页，共三十二页例例如如，若若我我们们希希望望知知道道某某射射手手中中靶靶的的概概率率，应应对对这这个个射射手手在在同同样样条条件件下下大大量量射射击击情情况况进进行行观察记录观察记录.若他射

14、击若他射击n发，中发，中靶靶m发，当发，当n很大时，很大时，可用可用频率频率m/n作为他中作为他中靶概率的估计靶概率的估计.23本讲稿第二十三页，共三十二页 即即通过规定概率应具备的基通过规定概率应具备的基本性质来定义概率本性质来定义概率.1933年，前苏联数学家柯尔年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的莫哥洛夫给出了概率的公理化定公理化定义义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦伟大厦.六、概率的公理化定义六、概率的公理化定义“公理公理”就是一些不加证明而公认的前提就是一些不加

15、证明而公认的前提.24本讲稿第二十四页，共三十二页概率的公理化定义概率的公理化定义2 规范性规范性 对于必然事件对于必然事件S，有，有P(S)=1 (2)3 可列可加性可列可加性 设设A1,A2,是两两互不相容是两两互不相容的事件，则有的事件，则有 (3)1 非负性非负性 对每个事件对每个事件A，有，有P(A)0 (1)设设E是随机试验，是随机试验，S是它的样本空间，对是它的样本空间，对于于E的每一个事件的每一个事件A赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为P(A)，称为事件，称为事件A的概率，如果集合函数的概率，如果集合函数 P()满满足下述三条公理足下述三条公理:25本讲稿第二十五页，共三十二

16、页文氏图文氏图设边长为设边长为1个个单位的正方形的单位的正方形的面积表示样本空间面积表示样本空间S 其其中中封封闭闭曲曲线线 围围成成的的一一切切点点的的集集合合表表示示事事件件 A把图形的面积把图形的面积理解为相应事理解为相应事件的概率件的概率26本讲稿第二十六页，共三十二页 性质性质1在概率的计算上很有用，如果正在概率的计算上很有用，如果正面计算事件面计算事件A的概率不容易，而计算其的概率不容易，而计算其对对立事件立事件 的概率较易时，可以先计算的概率较易时，可以先计算 ，再计算，再计算P(A).性质性质1对任一事件对任一事件A，有，有 27本讲稿第二十七页，共三十二页 性质性质2即不可能

17、事件的概率为即不可能事件的概率为0.利用公理利用公理3即得即得.28本讲稿第二十八页，共三十二页移项得前式移项得前式.便得证后式便得证后式.再由再由由可加性由可加性 性质性质3 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 ,则则 有有 29本讲稿第二十九页，共三十二页 又因又因再由性质再由性质 3便得便得.性质性质4对任意两个事件对任意两个事件A、B，有，有 30本讲稿第三十页，共三十二页性质性质5（有限可加性）设（有限可加性）设A1,A2,An是两两是两两 互不相容的事件，则有互不相容的事件，则有 (3)性质性质6对任一事件对任一事件A，有，有31本讲稿第三十一页，共三十二页 1657年，惠更斯出

18、版的专著论掷骰子游戏中的计算被认为是概率论中最早的论著。1906 年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下柯尔莫哥洛夫 1933 年在他的概率论基础一书中首次给出了概率的测度论式定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。32本讲稿第三十二页，共三十二页