微积分下册第一章两次课课件.ppt

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1、1.2、空间直角坐标系、空间直角坐标系1.4、平面及其方程、平面及其方程1.5、空间直线及其方程、空间直线及其方程1.6、曲面及其方程、曲面及其方程1.7、空间曲线及其方程、空间曲线及其方程1.8、二次曲面、二次曲面第第1 1章章 空间解析几何空间解析几何1.21.2、空间直角坐标系、空间直角坐标系 1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)在空间任选一点在空间任选一点O称为坐标原称为坐标原点点,(3)在三个坐标轴上选定长度单位在三个坐标轴上选定长度单位.(2)在在O点处作三条两两互相垂直的点处作三条两两互相垂直的轴轴Ox,Oy,Oz称为坐标轴，称为坐标轴，三个坐标轴三个坐标轴Ox,Oy,Oz

2、的次序和方向，规定为按右的次序和方向，规定为按右手法则排列，即右手握住手法则排列，即右手握住 z 轴，四个手指从轴，四个手指从 x 轴的方轴的方向转到向转到 y 轴方向时，拇指就指向轴方向时，拇指就指向 z 轴的正方向轴的正方向.xyzO 三个坐标轴三个坐标轴Ox,O y,Oz两两决定三个互相垂直两两决定三个互相垂直的平面的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面统称为坐标平面.即即xOy坐标面、坐标面、yOz坐标面、坐标面、zOx坐标面坐标面.三个坐标平面将空间分三个坐标平面将空间分为八个部分为八个部分,称其每个部分为称其每个部分为卦限卦限,它们分别是：含它们分别是：含x轴轴,y轴和轴和z

3、轴正向的卦限称为第轴正向的卦限称为第卦限卦限,然后逆着然后逆着z轴正向看时轴正向看时,按逆时针顺序依次为按逆时针顺序依次为,卦限，以及第卦限，以及第,卦限卦限.2.2.点的坐标点的坐标 设设M为空间的任意一点为空间的任意一点,过点过点M作垂直于三个坐标作垂直于三个坐标轴的平面，与轴的平面，与x轴、轴、y轴、轴、z轴的垂足分别为轴的垂足分别为P,Q,R.在坐在坐标轴上对应的坐标分别是标轴上对应的坐标分别是x,y,z.这样空间内任一点就确这样空间内任一点就确定了惟一的一组有序的数组定了惟一的一组有序的数组x,y,z,用用(x,y,z)表示表示.反之反之,任给出一组有序数任给出一组有序数组组x,y,

4、z它们分别在它们分别在x轴轴,y轴和轴和z轴上对应点轴上对应点P,Q,R.过三点分别过三点分别作垂直于三个坐标轴的平面相作垂直于三个坐标轴的平面相交于点交于点M.因此因此 1-11-1对应对应 通过空间直角坐标系通过空间直角坐标系,建立了空间点建立了空间点M与有序数组与有序数组x,y,z 之间的之间的1-11-1对应的关系对应的关系.有序数组有序数组x,y,z 就称为点就称为点M的坐标的坐标,x为点为点M 的横坐标的横坐标,y为点为点M 的纵坐标的纵坐标,z为点为点M 的竖坐标的竖坐标,记为记为M(x,y,z).x轴上点的坐标为轴上点的坐标为(x,0,0)，y轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,

5、y,0)，z轴上点的坐标为轴上点的坐标为(0,0,z)，oxy面上点的坐标为面上点的坐标为(x,y,0)，oyz面上点的坐标为面上点的坐标为(0,y,z)，ozx面上点的坐标为面上点的坐标为(x,0,z)，特殊点的坐标特殊点的坐标3.空间两点间的距离空间两点间的距离 设设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点为空间两点.过点过点M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.上式称为上式称为M1,M2 两点间的距离公式两点间的距离公式.由勾股定理可得由勾股定理可得 例例1:在在 y 轴上求一点轴上求一点M,使其到两点使其到两点 M1(2,0

6、,1)与与M2(1,1,3)的距离相等的距离相等.解解 由于点由于点M在在y 轴上轴上,设其坐标为设其坐标为(0,y,0),由题由题意有等式意有等式 即即解此方程得解此方程得 y=3，因此所求点为因此所求点为M(0,3,0).例例2:在在 z轴上求与两点轴上求与两点A(-4,1,7)和和B(3,5,-2)等距离的等距离的点点.解解 设其坐标为设其坐标为M(0,0,z)解此方程得解此方程得 因此所求点为因此所求点为1.4、平面及其方程、平面及其方程 例例3 3 求与两定点求与两定点 ,等距离的动等距离的动点点 的轨迹方程的轨迹方程.解解 由题意有由题意有 由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式

7、，得两边平方，化简得三元一次方程两边平方，化简得三元一次方程 由几何学知，动点的轨迹是线段由几何学知，动点的轨迹是线段 的垂直平分的垂直平分面，因此上述三元一次方程是平面方程面，因此上述三元一次方程是平面方程.此结论对空此结论对空间一般平面也成立间一般平面也成立.空间平面的一般方程为三元一次方程空间平面的一般方程为三元一次方程其中其中A、B、C、D均为常数，且不全为零均为常数，且不全为零.对于平面对于平面 当当A、B、C、D均不为零时，均不为零时，平面图形用连接平面与三个平面图形用连接平面与三个坐标轴的交点的三角形表示坐标轴的交点的三角形表示.（1 1）若）若 ，则平面，则平面 过坐标原点过坐

8、标原点（2 2）若）若 ，则平面，则平面 平行于平行于Oz轴轴（3 3）若）若 ，则平面，则平面 过过Oz轴轴（4 4）若）若 ，则平面，则平面 平行于平行于yOz平面平面例例4.4.求通过求通过x轴和点轴和点(4,-3,-1)(4,-3,-1)的平面的方程的平面的方程 解解 设平面方程为设平面方程为平面过点平面过点(4,-3,-1)(4,-3,-1)，所以有，所以有代人所设方程代人所设方程RPQ例例5.5.设一平面与设一平面与x,y,z轴的交点依次为轴的交点依次为P(a,0,0,0,0),),Q(0,b b,0,0),),Q(0,0,0,c c)三点，求平面的方程（其中三点，求平面的方程（其

9、中a,b,ca,b,c不等于不等于0 0）解解 设平面方程为设平面方程为P,Q,RP,Q,R坐标都满足方程坐标都满足方程所求平面方程为所求平面方程为1.5、空间直线及其方程、空间直线及其方程 空间两平面相交为直线空间两平面相交为直线.因此，可以把空间直线看因此，可以把空间直线看作是两平面的交线作是两平面的交线.方程组方程组所表示的曲线方程称为空所表示的曲线方程称为空间直线的一般方程间直线的一般方程.1.6、曲面及其方程、曲面及其方程一一.曲面方程的概念曲面方程的概念 定义定义 若曲面若曲面 上的点的坐标都满足方程上的点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0而不在曲面而不在曲面 上的点的坐标上的

10、点的坐标都不满足方程都不满足方程,则称该则称该方程方程为曲面为曲面 的方程的方程.而曲面而曲面 就称为该方程就称为该方程的图形的图形.而不在球面而不在球面上的点的坐标都不满足上的点的坐标都不满足方程方程,所以该所以该方程方程为球面为球面方程方程.特殊地特殊地,球心在原点球心在原点,半径为半径为R的球面方程为的球面方程为球心在球心在 M0(x0,y0,z0),半径为半径为R 的球面方程的球面方程.设设 M(x,y,z)为球面上任意一点为球面上任意一点,则则M在球面上在球面上的充要条件为的充要条件为 即即二二.几个常见的曲面方程几个常见的曲面方程1.1.球面方程球面方程.例例6.6.下列方程表示怎

11、样的曲面？下列方程表示怎样的曲面？2.柱面方程柱面方程 柱面的概念柱面的概念 动直线动直线 L 沿给定曲线沿给定曲线 C 平行移动平行移动形形成的曲面称为柱面成的曲面称为柱面.动直线动直线 L 称为柱面的母线称为柱面的母线,定曲线定曲线 C 称为柱面的准线称为柱面的准线.（1）以）以xOy 坐标面上曲线坐标面上曲线 C:f(x,y)=0 为准线为准线,母母线平行于线平行于z 轴的柱面方程为轴的柱面方程为柱面方程柱面方程f(x,y)=0 特点是方程特点是方程中不含有变量中不含有变量z.（2）以）以yOz 坐标面上曲线坐标面上曲线 C:g(y,z)=0 为准为准线线,母线平行于母线平行于x 轴的柱

12、面方程为轴的柱面方程为 （3）以）以zOx 坐标面上曲线坐标面上曲线 C:h(x,z)=0 为准为准线线,母线平行于母线平行于y 轴的柱面方程为轴的柱面方程为 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴就平行于哪一个坐标轴 .常用的柱面方程及图形常用的柱面方程及图形（1 1）圆柱面）圆柱面（2 2）抛物柱面）抛物柱面 平面曲线平面曲线 C 绕同一平面上定直线绕同一平面上定直线 L 旋转所形成的旋转所形成的曲面称为旋转曲面曲面称为旋转曲面.定直

13、线定直线 L 称为旋转轴称为旋转轴.3.旋转曲面的方程旋转曲面的方程 设设 yoz 平面上曲线平面上曲线 C:f(y,z)=0 绕绕 z 轴旋转形轴旋转形成旋转曲面成旋转曲面 .则旋转曲面方程为则旋转曲面方程为C 设设 yoz 坐标面上的直线坐标面上的直线 z=ay(a 0),绕绕 z 轴轴旋旋转转,确定旋转曲面方程确定旋转曲面方程.因为将直因为将直线线 z=ay 绕绕z轴旋转轴旋转,故故z 保持保持不变不变,将将 y 换成换成则得此曲面称为圆锥面此曲面称为圆锥面.即例例 圆锥面方程圆锥面方程1.71.7、空间曲线及其方程、空间曲线及其方程 空间两平面相交为直线空间两平面相交为直线.因此，可以

14、把空间直线看因此，可以把空间直线看作是两平面的交线作是两平面的交线.相应地，可以把空间曲线看作是两相应地，可以把空间曲线看作是两曲面的交线曲面的交线.所表示的曲线方程称为空方程组方程组特殊地，直线方程特殊地，直线方程间曲线的一般方程间曲线的一般方程.一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 z=3 是平行于是平行于 x y 坐标面的平面，坐标面的平面，因而它们的交线是因而它们的交线是在平面在平面 z=3 上的圆上的圆.解解 因为因为 x2+y2+z2=25 是球心在原点是球心在原点,半径为半径为 5 5 的球面的球面.表示什么曲线?例例1 方程组方程组过曲线过曲线C上的每一点作上的每一点作

15、xOy坐标面的垂线坐标面的垂线,这些垂线形这些垂线形成了一个母线平行于成了一个母线平行于z轴且过曲线轴且过曲线C的柱面的柱面,称其为曲线称其为曲线C关于关于xOy坐标面的的投影柱面坐标面的的投影柱面.这个柱面与这个柱面与xOy面的交面的交线称为曲线在面上的投影曲线线称为曲线在面上的投影曲线,简称投影简称投影.投影柱面方程的确定：投影柱面方程的确定：由方程组由方程组消去变量消去变量z，所得方程，所得方程 为投影柱面为投影柱面方程方程.设空间曲线设空间曲线C的方程为的方程为xOy坐标面上的坐标面上的投影曲线方程投影曲线方程二二 空间曲线空间曲线在在坐标面的投影坐标面的投影 例例2 2 求曲线求曲线

16、 在在 xoy坐标面坐标面上的投影曲线的方程上的投影曲线的方程.解 方程就是就是 关于关于xoy 坐标面的投影坐标面的投影柱面方程，因而曲线柱面方程，因而曲线 在在 x y 坐标面上的坐标面上的投影曲线是圆投影曲线是圆.定义定义 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.讨论二次曲面形状的截痕法：讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察考察其交线（即截痕）的形状其交线（即截痕）的形状,然后加以综合然后加以综合,从而了解曲面从而了解曲面的全貌的全貌,这种方法称为截痕法这种方法称为截痕法.1.8 1

17、.8 二次曲面二次曲面（1）椭球面）椭球面由方程得由方程得即曲面介于平面即曲面介于平面之间之间曲面与三个坐标面的交线为：曲面与三个坐标面的交线为：椭球面与平行坐标平面的交线为椭圆，且椭圆截面椭球面与平行坐标平面的交线为椭圆，且椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化的大小随平面位置的变化而变化.（与与 同号同号）（4 4）椭圆抛物面）椭圆抛物面（2）单叶双曲面）单叶双曲面（3）双叶双曲面）双叶双曲面（与与 同号同号）（5 5）双曲抛物面）双曲抛物面作业布置作业布置 第一次课第一次课 P11 习题1.1 第1、3小题，P22 习题1.4 第1、2、3小题;第二次课 P33 习题1.6 第1、2小题，P41 习题1.8 第1题1、3、5小题第一章期中考试4分,期末2分,从作业或课件中选题.