蒙特卡罗方法介绍及其建模应用Part III .pptx

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1、2023/2/18 19:25课程说明公用邮箱：key：ahualian2008参考书目:n黄燕、吴平.SAS统计分析及应用，机械工业出版社.n陈杰.Matlab宝典，电子工业出版社.n薛益、陈立萍.统计建模与R软件，清华大学出版社.第1页/共94页2023/2/18 19:25主要内容蒙特卡洛方法应用实例2排队论模拟介绍3蒙特卡洛方法介绍12009-B 眼科病床安排应用4第2页/共94页2023/2/18 19:25排队论模型介绍排队系统的基本概念1典型排队系统的理论结果2排队系统计算机模拟3第3页/共94页2023/2/18 19:25排队系统的基本概念1第4页/共94页2023/2/18

2、 19:25排队现象到达的顾客到达的顾客要求服务内容要求服务内容服务机构服务机构1.不能运转的机器修理修理技工2.修理技工领取修配零件发放修配零件的管理员3.病人诊断或动手术医生(或包括手术台)4.电话呼唤通话交换台5.文件稿打字打字员6.提货单提取存货仓库管理员7.到达机场上空的飞机降落跑道8.驶入港口的货船装(卸)货装(卸)货码头(泊位)9.上游河水进入水库放水，调整水位水闸管理员10.进入我方阵地的敌机我方高射炮进行射击我方高射炮在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题：第5页/共94页2023/2/18 19:25排队论排队论(Queueing Theory)：通过研究各种服务系统等

3、待现象中的概率特征，从而解决服务系统最优设计与最优控制的一种理论，是运筹学的一个重要分支由于顾客到达和服务时间的随机性，排队过程通常是一个随机过程，排队论又称“随机服务系统理论”第6页/共94页2023/2/18 19:25排队系统排队服务过程-三个基本部分顾客输入过程排队结构与排队规则服务机构与服务规则第7页/共94页2023/2/18 19:25排队系统顾客输入过程：顾客源(总体)：有限/无限;顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形)顾客到达间隔：随机型/确定型;顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性)第8页/共94页2023/2/18

4、 19:25排队系统排队结构与排队规则：顾客排队方式：等待制/损失制/混合制排队系统容量：有限制/无限制;排队队列数目:单列/多列;是否中途退出:允许/禁止;是否列间转移:允许/禁止;(仅研究禁止退出和转移的情形)第9页/共94页2023/2/18 19:25排队系统等待时间等待时间+服务时间服务时间无限排队无限排队损失制排队损失制排队混合制排队系统混合制排队系统排队排队有限排队有限排队队长有限队长有限等待时间有限等待时间有限逗留时间有限逗留时间有限等待制系统等待制系统第10页/共94页2023/2/18 19:25排队系统服务机构服务台(员)数目：单个/多个服务台(员)排列形式：并列/串列/

5、混合服务台(员)服务方式：逐个/逐批服务时间分布：随机型/确定型服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳1 11 12 2c c 1 12 2c c 1 12 2c c 服务规则：先到先服务(FCFS)；后到先服务(LCFS)；随机服务(RS)；优先服务第11页/共94页2023/2/18 19:25排队模型1.排队模型表示方法：X/Y/ZX 顾客到达间隔时间分布Y 服务台（员）服务时间分布Z 服务台（员）个数（单个或多个并列）国际排队论标准化会议(1971)表示法：X/Y/Z/A/B/CA 系统容量限制B 顾客源（总体）数目C 服务规则（FCFS，LCFS等）约定：如略去后三项，即指X/Y/Z/F

6、CFS的情形第12页/共94页2023/2/18 19:25排队模型2.到达间隔和服务时间典型分布：M：负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov性)D：确定型(deterministic)Ek：k阶爱尔朗(erlang)分布GI：一般相互独立(general independent)的时间间隔的分布G：一般(general)服务时间的分布第13页/共94页2023/2/18 19:25排队模型3.排队模型示例：M/M/S/：表示输入过程是Poisson流,服务时间服从负指数分布,系统有S个服务台平行服务,系统容量为无穷的等待制排队系统.M/G/1/：表示输

7、入过程是Poisson流，顾客所需的服务时间为独立、服从一般概率分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统.GI/M/1/：表示输入过程为顾客独立到达且相继到达的间隔时间服从一船概率分布，服务时间是相互独立、服从负指数分布，系统中只有一个服务台，容量为无穷的等待制系统D/M/S/K：表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布、服务时间相互独立、服从负指数分布，系统中有S个服务台平行服务，容量为K的混合制系统.第14页/共94页2023/2/18 19:25系统参数-运行状态参数系统状态 N(t)：指排队系统在时刻t时的全部顾客数 N(t)，包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”系统状态的

8、可能值如下：系统容量无限制，N(t)=0，1，2，系统容量为N时,N(t)=0,1,2,N服务台个数为c/损失制,N(t)=0,1,2,c系统处于这些状态的概率一般是随时间t变化的，所以在时刻t、系统状态为n的概率可以用Pn(t)表示。第15页/共94页2023/2/18 19:25系统参数-运行状态参数系统状态概率：瞬态概率Pn(t)：表示时刻系统状态 N(t)=n 的概率;稳态概率Pn：一般，排队系统运行了一定长的时间后，系统状态的概率分布不再随时间t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的概率分布(Pn(0)，n0）的影响将消失求稳态概率Pn时，不需要求t时Pn(t)的极限，而只需令导数P(

9、t)=0即可。第16页/共94页2023/2/18 19:25系统参数-运行指标参数系统运行指标参数-评价排队系统的优劣队长与等待队长：队长:系统中的顾客数（n），期望值为：等待队长:系统中排队等待服务的顾客数，期望值为：第17页/共94页2023/2/18 19:25系统参数-运行指标参数系统运行指标参数-评价排队系统的优劣逗留时间与等待时间逗留时间:指一个顾客在系统中全部停留时间；期望值，记为Ws等待时间:指一个顾客在系统中排队等待时间；期望值，记为Wq逗留时间等待时间服务时间其他相关指标:忙期:指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲的时间长度忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成服务

10、的顾客数损失率:指顾客到达排队系统，未接受服务而离去的概率服务强度：=/c 第18页/共94页2023/2/18 19:25排队系统时间参数分布规律到达间隔的分布和服务时间的分布 经验分布泊松流负指数分布爱尔朗分布第19页/共94页2023/2/18 19:25经验分布例1.大连港大港区载货500吨以上船舶到达(不包括定期到达的船舶)逐日记录：将数据整理成船舶到达数的分布表：可以计算出：平均到达率=到达总数/总天数=1271/365=3.48(艘/天)船舶到达数船舶到达数n频数频数频率频率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.13462

11、60.0717190.052840.011920.00510以上10.003合计3651.000第20页/共94页2023/2/18 19:25经验分布实际中测定相继到达时间间隔的方法实际中测定相继到达时间间隔的方法以i表示第i号顾客到达的时刻，以si表示对它的服务时间，这样可算出相继到达的间隔时间ti(ti=i+1-i)和排队等待时间wi，它们的关系如下：相继到达时间间隔等待时间：第21页/共94页2023/2/18 19:25经验分布例2 某服务机构是单服务台，先到先服务，对41个顾客记录到达时刻和服务时间s(单位为分钟)，在表中以第1号顾客到达时刻为0，对所有顾客的全部服务时间为127分

12、钟。将原始记录整理成下表。到达间隔到达间隔/分钟分钟次数次数162103846536272819110以上1合计40服务时间服务时间/分钟分钟次数次数1102103745546271819以上1合计41第22页/共94页2023/2/18 19:25经验分布例2平均间隔时间=142/40=3.55(分钟/人)平均到达率=41/142=0.28(人/分钟)平均服务时间=127/41=3.12(分钟/人)平均服务率=41/127=0.32(人/分钟)第23页/共94页2023/2/18 19:25泊松流设 表示在时间区间 内到达的顾客数 ，令 表示在时间区间 内有 个顾客到达的概率，即：当 合于下

13、列三个条件时，我们说顾客的到达形成泊松流：1.无后效性(Markov性):在不相重叠的时间区间内顾客到达数是相互独立2.平稳性:对充分小的 ，在时间区间内有1个顾客到达的概率与t无关，而与区间长度 成正比，即 是常数，表示单位时内有一个顾客到达的概率，称为概率强度。3.普通性：对于充分小的 ，在时间区间 内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即：第24页/共94页2023/2/18 19:25泊松流当顾客到达为泊松流时，到达数n的概率分布由条件(2)，总可以取时间由0算起，并简记由条件(2)和(3)，容易推得在 区间内没有顾客到达的概率 将区间 分成两个互不重叠的区间 和 。则

14、在到达数n分别出现在这两个区间上，有下列三种情况：概率个数概率个数概率个数区间情况第25页/共94页2023/2/18 19:25泊松流在 内到达n个顾客应是表中三种互不相容的情况之一，所以概率 ，应是表中三个概率之和(各 合为一项)令 ，得下列方程，并注意到初始条件，则有当n=0 时，没有(B)，(C)两种情况，所以得第26页/共94页2023/2/18 19:25泊松流解上述两式，可得 表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率，随机变量 服从泊松分布，它的数学期望和方差分别是：第27页/共94页2023/2/18 19:25负指数分布负指数分布的定义：负指数分布的定义：如果随机变量T的概率

15、密度是：则称T服从负指数分布。它的分布函数是：数学期望为 方差为 标准差为 第28页/共94页2023/2/18 19:25负指数分布负指数分布的性质（无记忆性或马尔柯夫性）负指数分布的性质（无记忆性或马尔柯夫性）(1)由条件概率公式容易证明该性质说明：一个顾客到来所需的时间与过去顾客到达的时间无关，也就是说该顾客是随机地到达。(2)当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的间隔时间T必然服从负指数分布。这是因为对于泊松流，在区间 内至少有1个顾客到达的概率是 又可表示为 结合负指数分布函数即得所证。第29页/共94页2023/2/18 19:25令 ，则称为服务强度。负指数分布相继到达时间间隔

16、为负指数分布与到达为泊松流的等价性相继到达时间间隔为负指数分布与到达为泊松流的等价性顾客相继到达的间隔时间独立且为同负指数分布(密度函数为 )与输入过程为泊松流(参数为)是等价的。对于泊松流，表示单位时间平均到达的顾客数，1/表示相继顾客到达平均间隔时间。服务时间服务时间v v 的分布的分布对顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从负指数分布。设它的分布函数和密度分别是其中 表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率，表示对顾客的平均服务时间。第30页/共94页2023/2/18 19:25 爱尔朗分布爱尔朗分布的定义：设 是k个相互独立的随机变量，服从相同参

17、数 的负指数分布，那么 的概率密度是：称T服从k阶爱尔朗分布，其均值和方差分别为例子：串列的k个服务台，每台服务时间相互独立，服从相同的负指数分布(参数k)，那么一顾客走完这k个服务台总共所需要服务时间就服从k阶爱尔朗分布。第31页/共94页2023/2/18 19:25 爱尔朗分布爱尔朗分布的意义当k=1时，爱尔朗分布化为负指数分布，可看成是一种完全随机的分布；当k增大时，爱尔朗分布的图形逐渐变为对称的当k30时爱尔朗分布近似于正态分布；k时,VarT0，这时爱尔朗分布化为确定型分布。一般k阶爱尔朗分布可看成完全随机与完全确定的中间型，能对现实世界提供更为广泛的适应性。第32页/共94页20

18、23/2/18 19:25生灭过程与状态转移方程在排队论模型中，以“生灭过程”(Birth-and-Death)模拟顾客到达与离去的随机发生过程：如果N(t)表示时刻t系统中的顾客数，用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，N(t),t0就是一类特殊的随机过程-生灭过程。定义:设N(t),t0为一个随机过程.若N(t)的概率分布具有以下的性质，则称N(t),t0为一个生灭过程：假设N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为n的负指数分布,n=0,1,2假设N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为n的负指数分布,n=0,1

19、,2同一时刻只有一个顾客到达或离去.第33页/共94页2023/2/18 19:25生灭过程与状态转移方程生灭过程状态变化的性质（具有Markov性）在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既不生长又不灭亡（概率:1-n(t)-n(t)）;系统生长一个的概率n(t)与t有关，而与t无关;与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关系统灭亡一个的概率n(t)与t有关，而与t无关;与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关排队系统的随机过程N(t),t=0具有Markov性,为一个生灭过程.第34页/共94页2023/2/18 19:25生灭过程与状态转移方程当系统运行相当时间而达到平稳状态后，对任

20、意一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理(Rate In=Rate Out Principle)。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程(Balance equation)。一般情况，我们寻求的是当系统到达平衡状态后的转态分布，记 pn,n=0,1,2.为处于不同状态下的概率。n为状态n下的顾客的平均达到率,n为状态n下的顾客服务率.第35页/共94页2023/2/18 19:25生灭过程与状态转移方程012n-1nn+1第36页/共94页2023/2/18 19:25生灭过程与状态转移方程由平衡方程进

21、一步计算求得平衡状态的由平衡方程进一步计算求得平衡状态的Pn分布为分布为由概率分布的要求，由概率分布的要求，队列中无人的概率队列中无人的概率第37页/共94页2023/2/18 19:25Little（利特尔）公式（利特尔）公式对一般排队系统，性能指标之间均有下式成立：其中有效到达率为：第38页/共94页2023/2/18 19:25典型排队系统的理论结果2第39页/共94页2023/2/18 19:25典型排队模型的理论结果：M/M/11模型条件：单位时间平均到达率 和平均服务率，顾客源无限，容量无限，单列，FCFS2.系统的状态概率和主要运行指标：第40页/共94页2023/2/18 19

22、:25例1：某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试对此排队队系统进行分析。解：对此排队队系统分析如下：先确定参数值：这是单服务台系统，有：故服务强度为：第41页/共94页2023/2/18 19:25（2）计算稳态概率：这就是急诊室空闲的概率，也是病人不必等待立即就能就诊的概率。而病人需要等待的概率则为：这也是急诊室繁忙的概率。第42页/共94页2023/2/18 19:25（3）计算系统主要工作指标：急诊室内外的病人平均数：急诊室外排队等待的病人平均数：病人在急诊室内外平均逗留时间：病人平均等候时间：第43

23、页/共94页2023/2/18 19:25（4）为使病人平均逗留时间不超过半小时，那么平均服务时间应减少多少？由于代入=3，解得5，平均服务时间为：15123min即平均服务时间至少应减少3min。第44页/共94页2023/2/18 19:25(5)若医院希望候诊的病人90%以上都能有座位,则候诊室至少应安置多少座位?设应该安置个座位,加上急诊室的一个座位,共有+1个。要使90%以上的候诊病人有座位，相当于使“来诊的病人数不多于+1个”的概率不少于90%，即第45页/共94页2023/2/18 19:25两边取对数 （x2）lg lg0.1因 1，故所以 x 6即候诊室至少应安置6个座位。第

24、46页/共94页2023/2/18 19:25M/M/S 模型1、状态概率第47页/共94页2023/2/18 19:252、主要运行指标3、系统状态N S的概率第48页/共94页2023/2/18 19:25例2 承接例1，假设医院增强急诊室的服务能力，使其同时能诊治两个病人，且平均服务率相同，试分析该系统工作情况。解：这相当于增加了一个服务台，故有：S=2,=3人/h，=4人/h第49页/共94页2023/2/18 19:25病人必须等候的概率,即系统状态N2N2的概率：第50页/共94页2023/2/18 19:25排队系统计算机模拟3第51页/共94页2023/2/18 19:25等待

25、制排队模型的模拟S=1的情况（M/M/1/）第52页/共94页2023/2/18 19:25等待制排队模型的模拟S=1的情况（M/M/1/）第53页/共94页2023/2/18 19:25等待制排队模型的模拟S=1的情况（M/M/1/）第54页/共94页2023/2/18 19:25R软件源程序queue1-function(lambda,mu,T)k-0;wt-0;wn-0;ws-0;tp-0;nA-0;n-0;t-0 r-runif(1);tA-1/lambda*log(r);tD-Inf repeat k-k+1;wtk-t;wnk-n if(tA T)wsk-min(tA,tD)-t

26、if(tA tD)t-tA;n-n+1;nA-nA+1 r-runif(1);tA-t-1/lambda*log(r)if(n=1)r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)else t-tD;n-n-1 if(n=0)tD-Inf else r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)else wsk0)t-tD;n0)r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)else tp=1)/t)第55页/共94页2023/2/18 19:25S=1的情况（M/M/1/）第56页/共94页2023/2/18 19:25等待制排队模型的模拟S1的情况（M/M/S/）第5

27、7页/共94页2023/2/18 19:25等待制排队模型的模拟S1的情况（M/M/S/）第58页/共94页2023/2/18 19:25R软件源程序queue2-function(lambda,mu,T,S=2)k-0;wt-0;wn-0;ws-0 tp-0;nA-0;t-0 r-runif(1);tA-1/lambda*log(r)tD-rep(Inf,S);SS-rep(0,S+1)repeat t1-if(SS1=0)Inf else min(tD)i1-if(SS1=0)1 else which.min(tD)k-k+1;wtk-t;wnk-SS1 if(tA T)wsk-min(t

28、A,t1)-t if(tA t1)t-tA;nA-nA+1 r-runif(1);tA-t-1/lambda*log(r)n-SS1;SS1-n+1 for(i in 1:S)if(SS1+i=0)SS1+i-1 r-runif(1);tDi-t-1/mu*log(r)break else t-t1;n-SS1;SS1-n-1 if(n=1)SS2:(S+1)-0;tD1:S-Inf else if(n=S)SS1+i1-0;tDi1-Inf else r-runif(1);tDi1-t-1/mu*log(r)else wsk-if(t1=Inf)0 else t1-t n0)t-t1;SS1

29、-n-1;if(n=1)SS2:(S+1)-0;tD1:S-Inf else if(n=S)SS1+i1-0;tDi1-Inf else r-runif(1);tDi1-t-1/mu*log(r)else tp=S)/t)第59页/共94页2023/2/18 19:25S1的情况（M/M/S/）第60页/共94页2023/2/18 19:25损失制与混合制排队模型的模拟S=1的情况（M/M/1/K）第61页/共94页2023/2/18 19:25S=1的情况（M/M/1/K）第62页/共94页2023/2/18 19:25R软件源程序queue3-function(lambda,mu,T,K=

30、1)k-0;wt-0;wn-0;ws-0 tp-0;nA-0;n-0;t-0 r-runif(1);tA-1/lambda*log(r);tD-Inf repeat k-k+1;wtk-t;wnk-n if(tA T)wsk-min(tA,tD)-t if(tA=tD)t-tA;n-n+1;nA-nA+1 r-runif(1);tA-tA-1/lambda*log(r)if(n=1)r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)if(n=K)while(tA tD)r-runif(1);tA-tA-1/lambda*log(r)else t-tD;n-n-1 if(n=0)tD-Inf

31、 else r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)else wsk0)t-tD;n0)r-runif(1);tD-t-1/mu*log(r)else tp=K)/t)第63页/共94页2023/2/18 19:25S=1的情况（M/M/1/K）第64页/共94页2023/2/18 19:25损失制与混合制排队模型的模拟S1的情况（M/M/S/K）第65页/共94页2023/2/18 19:25S1的情况（M/M/S/K）第66页/共94页2023/2/18 19:25R软件源程序queue4-function(lambda,mu,T,S=1,K=1)if(KS)K-S k-0;

32、wt-0;wn-0;ws-0 tp-0;nA-0;t-0 r-runif(1);tA-1/lambda*log(r)tD-rep(Inf,S);SS-rep(0,S+1)repeat t1-if(SS1=0)Inf else min(tD)i1-if(SS1=0)1 else which.min(tD)k-k+1;wtk-t;wnk-SS1 if(tA T)wsk-min(tA,t1)-t if(tA t1)t-tA;nA-nA+1 r-runif(1);tA-t-1/lambda*log(r)n-SS1;SS1-n+1 for(i in 1:S)if(SS1+i=0)SS1+i-1 r-ru

33、nif(1);tDi-t-1/mu*log(r)break if(SS1=K)t1-min(tD)while(tA t1)r-runif(1);tA-tA-1/lambda*log(r)else t-t1;n-SS1;SS1-n-1 if(n=1)SS2:(S+1)-0;tD1:S-Inf else if(n=S)SS1+i1-0;tDi1-Inf else r-runif(1);tDi1-t-1/mu*log(r)else wsk-if(t1=Inf)0 else t1-t n0)t-t1;SS1-n-1;if(n=1)SS2:(S+1)-0;tD1:S-Inf else if(n=S)SS

34、1+i1-0;tDi1-Inf else r-runif(1);tDi1-t-1/mu*log(r)else tp=K)/t)第67页/共94页2023/2/18 19:25S1的情况（M/M/S/K）第68页/共94页2023/2/18 19:25实习二：Dupit公司的售后服务的排队系统DupitDupit公司的售后服务问题公司的售后服务问题背景:Dupit公司是一家生产办公复印机的企业,该公司一向以良好的服务获得客户声誉.为此公司非常重视售后服务部门的工作状态.公司目前有10,000(年总薪金约为6亿美圆)的技术服务代表,承担设备的售后维护,每个服务代表负责一个区域,这使公司能够提供个性

35、化的服务.服务现状:每位服务代表的服务区域内约有150台设备,使其在大约75%的时间里处于维修状态.当连续工作时,每个技术代表应能够平均一天修4台设备(2小时/台).为了使顾客的等待时间最短,每个工作日平均要接到3个维修电话.问题:公司推出了新产品,十分畅销.但销售量增加的同时,客户的服务要求也提高了.反映在客户平均等待时间这一指标上,以前是6小时.而现在更多的客户表示等待时间太长了,抱怨不断.为了保持公司的声誉,公司决定准备制定新的服务水平标准(顾客的平均等待时间不超过2小时),从而提高服务质量.第69页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统具体的举措:为

36、达到新的服务标准,提出了四个可选方案.1.降低服务代表的工作强度,这涉及简单地减少每个代表负责的设备台数及增加技术代表的数量.从而提高服务水平,满足市场新需求.2.为每个代表配备新装备,提高工作效率,缩短平均维修时间.尽管增加的成本不低,但可以有效减少维修的平均等待时间.3.将单个技术服务代表负责的区域转变为较大区域,由多个技术服务代表提供服务.在忙的时候通过团队的支持可以大大缩短平均维修等待的时间而无需雇用新的代表.研研究究分分析析:用用排排队队论论的的思思想想模模拟拟分分析析比比较较这这四四个个方方案案,哪哪一一种种最最为为经经济济可可行行，给给出出小型分析报告小型分析报告!7 7月月15

37、15日日前以前以小组方式小组方式提交到：提交到： 第70页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统DupitDupit公司的售后服务的排队系统公司的售后服务的排队系统:1.1.顾客顾客:需要维修的设备需要维修的设备2.2.顾客到达顾客到达:打给每个代表要求维修的电话打给每个代表要求维修的电话3.3.队列队列:等待修理的设备等待修理的设备4.4.服务者服务者:技术服务代表技术服务代表5.5.服务时间服务时间:花在设备维修上的时间花在设备维修上的时间分析分析:1.1.技术服务代表平均每天接到技术服务代表平均每天接到3 3个电话个电话,因此因此平均到达率平均到达率

38、=3.=3.2.2.每个修理任务每个修理任务2 2小时小时,按一天按一天8 8小时工作时算小时工作时算,平均服务率平均服务率 =8/2=4=8/2=4.即平均每天维修即平均每天维修4 4台复印设备台复印设备.3.3.服务强度服务强度 =/=75%=75%4.4.一次维修一台设备一次维修一台设备,因此因此s=1s=1.第71页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统假设:1.1.顾客到达顾客到达(打电话要求维修打电话要求维修)是随机发生的是随机发生的,符合负指数分布符合负指数分布,平均到达的时间间隔为平均到达的时间间隔为1/1/.2.2.假设服务时间也符合负指数

39、分布假设服务时间也符合负指数分布,平均服务率为平均服务率为.3.3.该排队系统的模型设为该排队系统的模型设为M/M/1M/M/1第72页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统建立该问题的Excel求解模型第73页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统结果分析结果分析.在该系统中平均需要维修在该系统中平均需要维修N=3N=3台设备台设备.等待维修的设备平均数为等待维修的设备平均数为Nq=2.25Nq=2.25台台.设备从报修到维修完毕平均需要设备从报修到维修完毕平均需要W=1W=1天时间天时间.设备从保修到维修前平均需要设备

40、从保修到维修前平均需要Wq=0.75Wq=0.75天，按小时工作制度，天，按小时工作制度，Wq=6 Wq=6 小时小时 5P0=0.25,即系统中没有等待维修的设备的概率说明服务代表大约一天中有即系统中没有等待维修的设备的概率说明服务代表大约一天中有6个小时忙，个小时忙，2个小时空闲个小时空闲即其服务强度为即其服务强度为75%.6P0+P1+P2=58%.即技术代表在超过一半的时间中不会有多于即技术代表在超过一半的时间中不会有多于2台设备要维修台设备要维修.第74页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统7 7有的时候技术代表会很忙有的时候技术代表会很忙,因为

41、因为P0+P1+P7=0.9,P0+P1+P7=0.9,即在系统中有至少即在系统中有至少8 8台设备等待维修的概率占到台设备等待维修的概率占到10%,10%,这大概是两天或更多的工作量这大概是两天或更多的工作量.说明说明,虽然服务人员的工作强度达到了虽然服务人员的工作强度达到了75%,75%,也会偶然出现大量的积压也会偶然出现大量的积压现象现象,导致顾客的不满导致顾客的不满.8.由由P(w 1)=0.368可知顾客在损坏的设备能够继续工作之前需要等待超过一天的概率为可知顾客在损坏的设备能够继续工作之前需要等待超过一天的概率为36.8%.9.由由P(wq1)=0.276可知在维修前需要等待超过一

42、天的概率为可知在维修前需要等待超过一天的概率为27.6%.这些结果说明这些结果说明,顾客需要等待超过顾客需要等待超过1天才能使设备得以维修的概率占到天才能使设备得以维修的概率占到30%左右左右.这也就是为什么顾客抱怨这也就是为什么顾客抱怨不断不断,服务质量下降的主要原因了服务质量下降的主要原因了.第75页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统 方案方案1 降低服务代表的工作强度降低服务代表的工作强度,这涉及简单地减少每个代表负责的设备台数及增加技术代表的数量这涉及简单地减少每个代表负责的设备台数及增加技术代表的数量.分析分析:按原标准按原标准,服务代表负责区

43、域服务代表负责区域150台设备台设备.若每一台设备每若每一台设备每50个工作日修理一次个工作日修理一次,则平均到达率为则平均到达率为 =150/50=3.现负责的设备台数降低至现负责的设备台数降低至100台台,则新标准下则新标准下 =100/50=2,若服务率不变若服务率不变=4,则服务强度则服务强度 =/=50%第76页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案1 将M/M/1模型应用于方案1,计算：第77页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案1 分析分析:1.1.服务代表的服务强度降至服务代表的服务强度降至50%

44、,50%,使顾客的平均等待时间达到使顾客的平均等待时间达到0.250.25天天(约约2 2小时小时).).顾客需要等待顾客需要等待1 1天方能得到天方能得到维修的概率降至维修的概率降至6.7%.6.7%.可见可见,降低服务代表的工作强度能够很好地满足新标准降低服务代表的工作强度能够很好地满足新标准.2.2.降低服务代表的服务强度意味着需要增加降低服务代表的服务强度意味着需要增加新雇员约新雇员约50005000名名.工资成本工资成本=2.7=2.7亿亿,管理培训及设施配备所需费管理培训及设施配备所需费用用=0.3=0.3亿亿.总成本总成本=3=3亿亿.总结总结:方案方案1 1可很好地满足新标准的

45、要求可很好地满足新标准的要求,增加成本增加成本3 3亿元亿元.第78页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案方案2 2：为每个代表配备新装备为每个代表配备新装备,提高工作效率提高工作效率,缩短平均维修时间缩短平均维修时间.分析分析:1.1.提提高高工工作作效效率率意意味味着着降降低低平平均均服服务务时时间间经经过过分分析析，服服务务时时间间建建议议均均值值1/1/由由1/41/4降降至至1/51/5天天，标标准准差差 建建议从议从1/41/4天降低到天降低到1/101/10天天将将M/G/1M/G/1模型应用于该方案模型应用于该方案第79页/共94页20

46、23/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案2 M/G/1模型的Excel模板M/M/1模型 1/=1/4第80页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案方案2 2：分析分析:1.1.采用采用M/M/1M/M/1模型，均值模型，均值1/1/由由1/41/4降至降至1/51/5可使得可使得Wq=0.3.Wq=0.3.进一步的降低标准差进一步的降低标准差 从从1/41/4减至减至1/10,1/10,得得Wq=0.188Wq=0.188。可见，从目前政策下的。可见，从目前政策下的 （服务时间的波动）服务时间的波动）的的大大下降该方案能够满足新

47、的标准大大下降该方案能够满足新的标准WqWq 0.25.0.25.2.增加的成本增加的成本:为每个技术服务代表提供价值万美圆的新装备，一次性总成本投资亿圆为每个技术服务代表提供价值万美圆的新装备，一次性总成本投资亿圆总结总结:方案方案2可很好地满足新标准的要求可很好地满足新标准的要求,但需增加成本但需增加成本5亿元亿元.第81页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案3：将单个技术服务代表负责的区域转变为较大区域将单个技术服务代表负责的区域转变为较大区域,由多个技术服务代表提供服务由多个技术服务代表提供服务.在忙的时候通过团队的支持在忙的时候通过团队的支持

48、可以大大缩短平均维修等待的时间而无需雇用新的代表可以大大缩短平均维修等待的时间而无需雇用新的代表.分析分析:合并服务区域合并服务区域,同时服务代表以小组形式提供维修服务同时服务代表以小组形式提供维修服务.排队模型为排队模型为M/M/s,M/M/s,分别取分别取s=2s=2或或3,3,比较结果比较结果.第82页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案3S=2,将两个区域合并为一个大区域将两个区域合并为一个大区域,则平均达到率则平均达到率=2*3=6,平均服务率平均服务率 仍为仍为4,但服务强度为但服务强度为=/s =0.75第83页/共94页2023/2/1

49、8 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案3：S=3,将三个区域合并为一个大区域,则平均达到率=3*3=9,平均服务率 仍为4,服务强度仍为为=/s=0.75.第84页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案3杜皮特公司问题不同大小区域对应Wq值的比较.技术服务代表技术服务代表数数设备数设备数 swq1150340.7510.752300640.7520.3213450940.7530.189第85页/共94页2023/2/18 19:25Dupit公司的售后服务的排队系统方案3：分析分析:1.结果表明通过合并区域的做法,可以有效地降低平均等待时

50、间.当取s=3时间,甚至可达到wq=0.189天(1.512 小时),不到两个小时的等待时间.且无需更多的成本.2.然而,增大区域的做法也有不足之处 (1)增大区域使技术服务代表将花费更多的时间在前往维修的途中,因此平均服务时间1/将产生变化,即服务率可能会有所下降.(2)区域合并导致技术服务代表间的协调更加困难.(3)面对小组服务,顾客将不会有接受个性化服务的感觉.总结总结:如果将三个连续的单人技术服务代表合并为一个大的区域,能够很好地满足建议的新服务标准(Wq 0.25天(2小时).由于技术服务代表的总数量不变,采纳该方案不会增加太多的成本.但考虑到区域过大的不足之处,不应该采纳超过三个人