数理统计吕晓玲.pptx

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1、统计推断的过程总体总体总体均值、总体均值、比例、方差比例、方差样样本本样本统计量样本统计量样本统计量例如：样本均例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差第1页/共47页 0 0 0 0 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它无法给出这个近似值的精度（也可用均方误差来刻画），使用起来把握不大（间接）.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷（可直接给出误差限）.第2页/共47页 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，

2、在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.第3页/共47页也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里 是一个 很小的正数，其大小是根据实际需要选定的.第4页/共47页1、区间估计第5页/共47页第6页/共47页第7页/共47页2、回顾分位数第8页/共47页第9页/共47页第10页/共47页第11页/共47页3 3、置信区间置信区间第12页/共47页注1：第13页/共

3、47页第14页/共47页这里有两个要求:注2：对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量).第15页/共47页可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求 以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率 要尽可能大.即要求估计尽量可靠.2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.第16页/共47页4、同等置信区间第17页/共47页 N(0,1)选 的点估计为 ,求参数 的置信度为 的置信区间.例1 设X1,Xn是取自 的样本，明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解 寻

4、找一个待估参数和统计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.5、置信区间的求法、置信区间的求法第18页/共47页从中解得对给定的置信水平查正态分布表得使第19页/共47页也可简记为于是所求 的 置信区间为第20页/共47页 从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1）明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平 是多少?2）寻找参数 的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn)3）寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数 U(T,),且其分布为已知.第21页/共47页 4）对于给定的置信水平 ，根据U(T,)的分布，确定常数a,b，使得 P(a U(T,)

5、b)=5）对“aS(T,)b”作等价变形,得到如下形式:即即于是 就是 的100()的置信区间.第22页/共47页 需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.例如，设 X1,Xn 是取自 的样本，求参数 的置信水平为 的置 N(0,1)信区间.由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得 P(aUb).第23页/共47页N(0,1)例如，由P(-1.96U1.96)=0.95我们得到均值 的置信水平为的置信区间为第24页/共47页由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些.置信区间为我们得到均值 的置信水平为的第

6、25页/共47页我们总是希望置信区间尽可能短.类似地，我们可得到若干个不同的置信区间.任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.第26页/共47页在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b第27页/共47页 即使在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于 1 的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长.第28页/共47页 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如

7、对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了过长没什么问题，过短就有问题了.这时,可将置信上限取为+，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.6、置信限（单侧置信区间）第29页/共47页第30页/共47页设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值 的置信水平为0.95的单侧置信下限.例2 从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280方差 未知解 的点估计取为样本均值 ,第31页/共47页 对给定的置信水平 ，确定分位点使即于是得到 的置信水平为 的单

8、侧置信区间为 第32页/共47页 将样本值代入得的置信水平为0.95的单侧置信下限是1065小时的置信水平为 的单侧置信下限为即第33页/共47页课堂练习课堂练习 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 ,炮口速度服从正态分布炮口速度服从正态分布.求这求这种炮弹的炮口速度的标准差种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.第34页/共47页由解 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 ,炮口速度服从正态分布炮口速度服从正态分布.求这求这种炮弹的炮口速度的标准差种炮弹的炮口速度的标准差 的置信水平为的置信水平为0.95 的置信区间的置信区间.第35页/共47页于是得到 的置信水平为 的置信区间为这里可得到 的置信水平为 的置信区间为第36页/共47页7、枢轴量第37页/共47页上述三步中，关键是第一步，构造枢轴量G,G的分布不能含有未知参数，譬如标准正态分布N(0，1)、t分布等不含未知参数。第38页/共47页第39页/共47页例3：第40页/共47页第41页/共47页第42页/共47页第43页/共47页例4：第44页/共47页第45页/共47页第46页/共47页感谢您的观看。第47页/共47页