极值和最值教材.pptx

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1、10.5 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值与条件极值 多元函数的极值多元函数的极值内容小结与作业内容小结与作业条件极值与拉格朗日乘子法条件极值与拉格朗日乘子法第1页/共53页多元函数的极值多元函数的极值 若函数 极大值和极小值 统称为极值极值,使函数取得极值的点称为极值点极值点.的某邻域定义定义则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).对 n 元函数可类似定义极值.内有1.多元函数的极值多元函数的极值第2页/共53页例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.分析各函数在点分析各函数在点(0,0)处的梯度与极值的关系处的梯度与极值的关系.第3页/

2、共53页且在该点取得极值,则有定理定理(极值的必要条件极值的必要条件)若函数在点存在偏导数,证证:从而取得极值,取得极值,取得极值,故或即即第4页/共53页 使偏导数都为 0 的点称为驻点驻点(或稳定点稳定点)；驻点不一定是极值点；若点 是可微函数的驻点，且在其任何邻域内既存在函数值大于 的点，又存在函数值小于 的点，则称该点为鞍点鞍点.二元函数的驻点条件:三元函数的驻点条件:第5页/共53页(1)如果 H(x0)正定，则 x0 为 f(x)的极小值点；在点（极值的必要条件）定理推广定理推广 设 n 元函数在点处对各个自变量的一阶处取极值，则有偏导数都存在，且在点定理定理(极值的充分条件)设

3、n 元函数处具有二阶连续偏导数，且(2)如果 H(x0)负定，则 x0 为 f(x)的极大值点；(3)如果 H(x0)不定，则 x0 为 f(x)的鞍点;(4)如果 H(x0)半正定，则需要进一步判别.第6页/共53页证：证：函数 在点 处展开成泰勒公式：关于关于 的二次型的二次型 若 正定，由二阶偏导数的连续性知，从而即 为 的极小值点.同理可证其它情形.第7页/共53页若若 正定正定,曲面与其切平面有何位置关系曲面与其切平面有何位置关系?正定）此时曲面位于切平面上方.凸凸函函数数凹凹函函数数第8页/共53页(二元函数极值的充分条件二元函数极值的充分条件)A0 时取极小值.2)当3)当时,没

4、有极值.时,不能确定,需另行讨论.时,具有极值 1)当定理定理一阶和二阶连续偏导数,且若函数某邻域内具有令，则第9页/共53页求具有二阶连续偏导数的二元函数极值的步骤求具有二阶连续偏导数的二元函数极值的步骤:第一步 求驻点.求函数的一阶偏导数,解方程组求得一切实数解,即可求得一切驻点.第二步 对于每个驻点,求出二阶偏导数值 A,B,C;根据极值充分条件判别各驻点是否为极值点,是极大值点还是极小值点.第15页/共53页例例1.求函数解解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第16页/共53页在

5、点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第17页/共53页例例2.讨论函数讨论函数及是否取得极值.解解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为第18页/共53页1.讨论函数的极值问题时,如果函数在所讨论的区域内具有偏导数,则极值只可能在驻点处取得,然而如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但可能是极值点.如 在(0,0)是极值点而不是它的驻点.2.计算隐函数极值的方法与计算显函数极值方法相同,即先在函数的定义域内找出驻点,再计算出

6、A,B,C,最后利用极值充分条件进行判别,所不同的是在计算驻点坐标时要利用隐函数求导法.注注:第19页/共53页例例3.求由方程解解:将方程两边分别对 x,y 求偏导,得所确定的函数 z=f(x,y)的极值.由函数取得极值的必要条件,得驻点为P(1,1).将方程组再分别对 x,y 求偏导,得第20页/共53页由故函数在 P点处有极值,将 P(1,1)代入方程有当 时,为极小值;当 时,为极大值.第21页/共53页2.多元函数最值问多元函数最值问题题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 可能最值点 驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点 P 时,为极小 值为最

7、小 值(大)(大)依据第22页/共53页1.如果 f(x,y)定义在有界闭区域上,则先求出 D内部的全部驻点,不可导点及相应的函数值,然后求出 f 在 D上的最值(可将边界曲线代入 f(x,y),化为一元函数的最值问题),最后取所有这些函数值的最大者为最大值,最小者为最小值.多元函数最值的计算方法多元函数最值的计算方法2.如果 f(x,y)定义在无界区域上,则去掉明显取不到最值的无界子区域部分,使之成为有界闭区域上的最值问题.第23页/共53页3.利用 对 x,y累次求最值.4.如果 f(x,y)定义在有界开区域 D上,有时先将f(x,y)的定义域连续延拓到 D+D 上,然后求有界闭区域上的最

8、大值和最小值,最后分析结果.第24页/共53页例例4.求函数解解:先求函数在区域 D 内的驻点.在区域上的最大值和最小值.由于所以驻点为(0,0).为函数的最小值.再求函数在区域边界上的驻点.将区域 D 的边界曲线方程改写成参数方程第25页/共53页故求函数在边界曲线上的驻点时，可化为求的驻点.令得驻点计算当 即时,函数取得最大值25.第26页/共53页例例5.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.

9、即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.第27页/共53页例例6.有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁的长方形铁板板,把它折起来做成解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面第28页/共53页令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.第29页/共53页例例7.在 xoy 平面上有3个点 O(0,0),A(1,0),B(0,1),在三角形 OAB 的闭区域上求至3个顶点的距离的平方和为最大和最小的点.解解.OAB 上的点 P(x,y)至它的3个顶点的距离的平方和:问题归结为求函数

10、 f(x,y)在OAB 的闭区域上的最大值和最小值.由于 f(x,y)在闭区域上连续,故函数在此三角形闭区域上必有最大值和最小值.第30页/共53页将三角形闭区域分为三部分考虑:三角形开区域内,三角形边界(不包括三个顶点),三角形三顶点.1.求开区域内的驻点.解方程组得驻点在此驻点处函数值2.三角形边界(不包括三个顶点).在OA边上,y=0(0 x 1)得驻点在此驻点处函数值第31页/共53页在OB边上,x 0(0 y 1)得驻点在此驻点处函数值在AB边上,y 1x(0 x 1)得驻点在此驻点处函数值3.在三角形三个顶点处.比较所有各点的函数值知 第32页/共53页极值问题无条件极值:条 件

11、极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化条件极值条件极值第33页/共53页方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.例如,观察函数的等值线的变化:沿曲线函数的值减小 函数的值增加 在点处，恰好与曲线相切 有一条等值线第34页/共53页引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日拉格朗日(Lagrange)函数函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法.第35页/共53页定理定理(Lagrange定理定理)设 在点 x0 n 处可微,在点 x0处具

12、有一阶连续偏导数,且向量组 线性无关,若 x0 是问题(3.2.1)的局部极小点,则存在实数 使 意义意义:Lagrage定理将等式约束最优化问题的求解定理将等式约束最优化问题的求解化为无约束最优化问题的求解化为无约束最优化问题的求解 第36页/共53页推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件第37页/共53页例例8.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 第38页/共5

13、3页得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为思考思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等.第39页/共53页已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解解:设 C 点坐标为(x,y),则 例例9.第40页/共53页设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.第41页/共53页例例10.求半径为求

14、半径为R 的圆的内接三角形中面积最的圆的内接三角形中面积最大者大者.解解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 第42页/共53页例例11.求函数 在球面上的最大值,并证明对任何正数a,b,c 有解解:作拉格朗日函数令即解得第43页/共53页因此函数的可能极值点为在第一卦限内球面的三条边界线上,函数值均趋于负无穷大,故函数的最大值必在曲面内部取得,而可能极值点唯一,因此在 处函数取得最大值.对于球面上的所有点(x,y,z)有:即令得第44页/共53页1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域

15、内找驻点.第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法(2)一般问题用拉格朗日乘数法内容小结与作业内容小结与作业设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,在条件第45页/共53页第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题作业作业:教材教材173-174页页 2,3,5,7,12第46页/共53页问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系 yf(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景2.确定近似函数

16、的标准 实验数据有误差,不能要求附附 最小二乘法最小二乘法 第47页/共53页 偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对来确定近似函数 f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.,它们大体 第48页/共53页特别特别,当数据点分布近似一条直线时当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a,b 令满足:使得解此线性方程组即得 a,b称为法方程组第49页/共53页例例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据

17、大体适合的经验公式.解解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7第50页/共53页得法方程组解得 故所求经验公式为0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:第51页/共53页称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 第52页/共53页感谢您的观看。第53页/共53页