第05章刚体的转动精选文档.ppt

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1、第05章刚体的转动本讲稿第一页，共四十六页5.1 5.1 刚体转动的描述刚体转动的描述刚刚体体可可以以看看成成是是很很多多质质元元组组成成的的质质点点系系，且且在在外外力作用下，各个质元的相对位置保持不变力作用下，各个质元的相对位置保持不变刚体刚体 在受力时不改变形状和体积的物体在受力时不改变形状和体积的物体刚体是固体物件的理想化模型刚体是固体物件的理想化模型本讲稿第二页，共四十六页平动和转动平动和转动平动：平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。保持平行。可以用质点动力学的可以用质点动力学的方法来处理刚体的平方法来处理刚体的平动问题。动

2、问题。注：注：本讲稿第三页，共四十六页转动：转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的动。这种运动称为刚体的转动转动。这条直线称。这条直线称为为转轴转轴。定轴转动：定轴转动：转轴固定不动的转动。转轴固定不动的转动。本讲稿第四页，共四十六页P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度旋转旋转(切向切向)加速度加速度向轴向轴(法向法向)加速度加速度瞬时轴瞬时轴v rrP 基点基点O刚体刚体刚体绕刚体绕O的转动其转轴是的转动其转轴是可以改变的，反映顺时轴可以改变的，反映顺时轴的方向及转动快慢，引入的方向及转动快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和

3、角加速度矢量度矢量本讲稿第五页，共四十六页5.2 5.2 转动转动惯量及计算惯量及计算质元：质元：组成物体的微颗粒元组成物体的微颗粒元质元对点的角动量为质元对点的角动量为 沿转轴沿转轴Oz的投影为的投影为本讲稿第六页，共四十六页刚体对刚体对Oz轴的角动量为轴的角动量为 令为刚体对为刚体对 Oz 轴的轴的转动惯量转动惯量。本讲稿第七页，共四十六页刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。布以及转轴的位置有关。结论：结论：对于质量连续分布的刚体：对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（面质量分布）（线质量分布）（线质量分布）（体质量分

4、布）（体质量分布）本讲稿第八页，共四十六页例例例例1.1.计算质量为计算质量为m，长为，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。的细棒绕一端的转动惯量。oxzdxdmx解：解：O1.将棒弯一半成将棒弯一半成90度度;2.将将Z轴移至细棒中心位置轴移至细棒中心位置;本讲稿第九页，共四十六页oR例例2.一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的盘面垂直的Z轴转动惯量。轴转动惯量。解：解：rdr1.是否可选择其它元面积是否可选择其它元面积;2.将轴平行移至与盘边缘将轴平行移至与盘边缘相切处相切处;3.将将Z轴移至通过圆心并在圆面上轴移至通过圆心并在

5、圆面上;本讲稿第十页，共四十六页mRJz z平行轴定理平行轴定理 若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为J Jc c，则刚体对，则刚体对与该轴相距为与该轴相距为d d的平行轴的平行轴z z的转动惯量的转动惯量J Jz z是是Jc c本讲稿第十一页，共四十六页平行轴定理证明平行轴定理证明:平行平行=m质心质心=0本讲稿第十二页，共四十六页 对薄平板刚体的正交轴定理对薄平板刚体的正交轴定理 y rix z yi xi mi 例例3.已知圆盘已知圆盘JZ=0.5mR2,求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的Jx yx z 圆盘圆盘 R C m由由JJJJJJJmRzyxxyx

6、y=+=142本讲稿第十三页，共四十六页回转半径回转半径设物体的总质量为设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径则定义物体对该转轴的回转半径rG G为：为：z本讲稿第十四页，共四十六页例例4.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径，半径为为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r）ro解：解：解：解：摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：本讲稿第十五页，共四十六页5.3 5.3 转动定律转动定律 由质点系对轴的角动量定理，可得由质点系对轴的角动量定理，可得两

7、边乘以两边乘以dt，并积分，并积分 刚体对定轴的角动量定理：刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。本讲稿第十六页，共四十六页当当 J 转动惯量是一个恒量时，有转动惯量是一个恒量时，有或或刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。动惯量成反比。转动定律：转动惯量 J 是刚体转动惯性的量度 5.4 5.4 转动定律的应用转动定律的应用 本讲稿第十七页，共四十六页例例5.质

8、量为质量为M=16 kg的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R=0.15 m。一根。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m=8kg的物体。求（的物体。求（1）由静止开始由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。）绳子的张力。解：MmmgTm1?本讲稿第十八页，共四十六页例例6.一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在o点，距点，距A端端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（点转动，求：（1）水）水平位置的角速度和角加速度。（平位置的角速度和角加速度。（2）

9、垂直位置时的角速度和角）垂直位置时的角速度和角加速度。加速度。解：（1）coBA本讲稿第十九页，共四十六页（2）coBA本讲稿第二十页，共四十六页例例7.一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为面上。若它的初速度为 o，绕中，绕中o心旋转，问经过多长时心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为间圆盘才停止。（设摩擦系数为）or解解drR本讲稿第二十一页，共四十六页本讲稿第二十二页，共四十六页刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理恒量恒量当时刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚当

10、刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。体对该转轴的角动量保持不变。注意：注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。动的任意物体系统。5.5 5.5 角动量守恒角动量守恒 本讲稿第二十三页，共四十六页说明：说明：1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。方向也不变。速度的乘积不变。方向也不变。2.几个物体组成的系统，绕几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该转轴的合外力矩为零时，该系

11、统对此轴的总角动量守恒系统对此轴的总角动量守恒本讲稿第二十四页，共四十六页常平架回转仪装置常平架回转仪装置轴承光滑，在不太长的时间轴承光滑，在不太长的时间内，空气与轴摩擦阻力的冲内，空气与轴摩擦阻力的冲量矩和回转仪的角动量相比量矩和回转仪的角动量相比是很小的是很小的!可近似认为可近似认为:角动量守恒，矢量方向不角动量守恒，矢量方向不变表现为转轴方向不变，变表现为转轴方向不变，大小不变表现为回转仪的大小不变表现为回转仪的恒定角速率转动恒定角速率转动 本讲稿第二十五页，共四十六页军舰的稳定性军舰的稳定性本讲稿第二十六页，共四十六页例例8.质量为质量为M0，半径为，半径为R的转盘的转盘,可绕铅直轴无

12、摩擦转动可绕铅直轴无摩擦转动,初初角速度为零角速度为零,一质量为一质量为m的人的人,在转盘上从静止开始沿半径为在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示如图所示.求当人在转盘上运动一求当人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时周回到盘上的原位置时,转盘相对地面转过的角度。转盘相对地面转过的角度。解：解：由系统角动量守恒知由系统角动量守恒知:设人相对于转盘角速度为设人相对于转盘角速度为orR转盘相对于地的角速度为转盘相对于地的角速度为本讲稿第二十七页，共四十六页本讲稿第二十八页，共四十六页5.6 5.6 转动中的功与能转动中的功与能 力矩：力矩：力矩对刚体所作

13、的功：力矩对刚体所作的功：功率：功率：力矩对刚体的瞬时功力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度率等于力矩和角速度的乘积。的乘积。力矩的功力矩的功 本讲稿第二十九页，共四十六页zmi第第i个质元的动能：个质元的动能：整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 本讲稿第三十页，共四十六页设在外力矩设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：元功：由转动定律由转动定律有有刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。等于刚体转动动能的增量。本讲稿

14、第三十一页，共四十六页例例9.质量为质量为M，长为，长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度的小球以速度u垂直垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以以及棒的角速度。及棒的角速度。ou解：解：由系统角动量守恒由系统角动量守恒小球作为刚体小球作为刚体,对定轴角动量为对定轴角动量为:规定方向向内为负规定方向向内为负!反弹后的小球角动量为正反弹后的小球角动量为正本讲稿第三十二页，共四十六页弹性碰撞动能无损失弹性碰撞

15、动能无损失本讲稿第三十三页，共四十六页设碰撞时间为设碰撞时间为 t消去消去 tyou由冲量与冲量矩由冲量与冲量矩本讲稿第三十四页，共四十六页例例10.一长为一长为l，质量为，质量为M的杆可绕支点的杆可绕支点o自由转动。一质量为自由转动。一质量为m，速度为，速度为v的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。问子弹的初速度为多少。解：解：角动量守恒：角动量守恒：oalv3030子弹作为刚体子弹作为刚体,射入前的角动量：射入前的角动量：射入后射入后,子弹与杆作为一个刚体的角动量：子弹与杆作为一个刚体的角动量：本讲稿第三十五页，共四十六页

16、机械能守恒：机械能守恒：oalv3030本讲稿第三十六页，共四十六页例例11.一质量为一质量为M，半径，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为有质量为m的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多时，其速度为多大？大？mgmmMm m解：解：T由力矩对刚体作功可知：由力矩对刚体作功可知：由力对质点作功可知：由力对质点作功可知：也可视为力矩对刚体作功也可视为力矩对刚体作功!本讲稿第三十七页，共四十六页mgmmMm mT本讲稿第三十八页，共四十六页例例12.长为长为 l 的均质细直杆的均质细直杆OA，一端悬于，一端悬于O点铅直下垂，点铅直

17、下垂，如图所示。一单摆也悬于如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为点，摆线长也为l，摆球质量为，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：细直杆细直杆的质量的质量M；碰撞后细直杆摆动的最大角度碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略。（忽略一切阻力）一切阻力）解解 按角动量守恒定律按角动量守恒定律 系统的动能守恒系统的动能守恒本讲稿第三十九页，共四十六页解得解得系统的机械能守恒，有系统的机械能守恒，有本讲稿第四十页，共四十六页杆与地球构成系统，只有重力做功杆与地

18、球构成系统，只有重力做功,机械能守恒机械能守恒初始：初始：，Ek10=令令 EP10=末态：末态：EJko2212=,EmglP24=-sin 则：则：12402Jmglo -=sin (1)例例13.已知均匀直杆质量为已知均匀直杆质量为m,长为长为l,初始水平静止初始水平静止,轴光滑轴光滑,AO=l/4.求杆下摆求杆下摆角度后角度后,角速度为多少角速度为多少?轴对杆作用力为轴对杆作用力为多少多少?解解 本讲稿第四十一页，共四十六页 由平行轴定理由平行轴定理 JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由由(1)、(2)得：得：=267glsin应用质心运动定理：应用质心

19、运动定理：v vv vv vNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：方向：-+=(3)$costmgNmatct方向：方向：+=(4)本讲稿第四十二页，共四十六页algcl=4672 sin (5)allmgJctlo=444a a cos=37g cos (6)由由(3)(4)(5)(6)可解得：可解得：Nmgl=137sin,Nmgt=-47cos v vNmglmgt=-13747sin$cos$Nmg=+7153162sin a a=-tgNNtgctgtl11413|()本讲稿第四十三页，共四十六页mghmv=122vgh=2(1)例例14.如图所示已知如图所示已知:M=2m

20、,h,=60=600 0,求求:碰撞后瞬间盘碰撞后瞬间盘的角速度是多少的角速度是多少?P?P转到转到x x轴时盘的角速度是多少轴时盘的角速度是多少?解解 m m下落下落:本讲稿第四十四页，共四十六页碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos =(2)JMRmRmR=+=122222 (3)由由(1)(2)(3)得：得：oghR=22cos (4)对对m+M+地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功，E守恒，守恒，则：则：P、x 重合时重合时EP=0。令令1mgRJJosin +=12222(5)本讲稿第四十五页，共四十六页由由(3)(4)(5)得：得：=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()=60o oa a=MJmgRmRgR222本讲稿第四十六页，共四十六页