概率论与数理统计第二章随机变量及其分布第15节课件.pptx

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1、 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；第1页/共110页2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就也就是说，是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运正如裁判员在运动场上不叫运动动场上不叫运动员的名字而叫号员的名字而叫

2、号码一样，二者建码一样，二者建立了一种对应关立了一种对应关系系.第2页/共110页这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)R这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！第3页/共110页（1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值.（2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这

3、种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率有一定的概率.称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间S上的实值单值函数上的实值单值函数X=X(e)为为随随量量机机变变简记为简记为 r.v.第4页/共110页 而表示随机变量所取的值时而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母一般采用小写字母 x,y,z,w,n等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z,W,N 等表示等表示第5页/共110页 有了随机变量有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来以通过随机变量的关系式表达出来.

4、引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫没有收到呼叫没有收到呼叫 X 1X=0 第6页/共110页 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究随机变量及其取值规律的研究.事件及事件及事件概率事件概率随机

5、变量及其随机变量及其取值规律取值规律第7页/共110页我们将研究两类随机变量：我们将研究两类随机变量：如如“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际中，实际中常遇到的常遇到的“测量误差测量误差”等等.随机变量的分类随机变量的分类第8页/共110页 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点同，又有其各自的特点.随随机

6、机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意它们各自的特点和描述方法学习时请注意它们各自的特点和描述方法.第9页/共110页例如例如，连续掷一颗骰子两次，观察两次出现的点数连续掷一颗骰子两次，观察两次出现的点数之和。其样本空间为之和。其样本空间为S=(i,j),i,j=1,2,3,4,5,6.我们关心的并不是第一次、第二次出现的点我们关心的并不是第一次、第二次出现的点数，而是两次出现的点数之和是多少。数，而是两次出现的点数之和是多少。如果以如果以 X 表示两次出现的点数之和，则对于每个表示两次出现的点数之和，则对于每个样本点样本点e=(i,j),X都有一个值与

7、之对应都有一个值与之对应,X=i+j，其可能的取值为其可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.X取不同的值，代表着不同的随机事件。取不同的值，代表着不同的随机事件。(X是离散型是离散型)第10页/共110页再如再如，在一批灯泡中任取一只，测试其寿命。，在一批灯泡中任取一只，测试其寿命。其样本空间为其样本空间为 如果用如果用X表示灯泡的表示灯泡的寿命值寿命值,则每一个灯泡的测试结果即每一个样本则每一个灯泡的测试结果即每一个样本点都对应着点都对应着 X 的一个值，且的一个值，且X取不同值对应着不取不同值对应着不同的事件。如同的事件。如 X=1000（小时）表示（小时）表示“灯

8、泡的寿命为灯泡的寿命为1000小小时时”，（小时）表示（小时）表示“灯泡的寿命为小于灯泡的寿命为小于或等于或等于1500小时小时”。（。（X是连续型）是连续型）在上述两例中，试验的结果本身就是数量性在上述两例中，试验的结果本身就是数量性质的随机现象，可直接用某一变量来表示。但还质的随机现象，可直接用某一变量来表示。但还有一些试验的结果不能直接用数量表示。有一些试验的结果不能直接用数量表示。第11页/共110页 例如例如考察一台机器在一年内是否发生故障这一随考察一台机器在一年内是否发生故障这一随机现象，可能的结果共有两个，机现象，可能的结果共有两个，“完好完好”或或“故障故障”。它们并不表示为数

9、量；又如掷硬币的试验也一样。它们并不表示为数量；又如掷硬币的试验也一样。对这些试验的结果，我们可以把它们数量化，对这些试验的结果，我们可以把它们数量化，如引入一个只取两个值如引入一个只取两个值(1或或0)的变量的变量X，用，用“X=1”表示机器完好这一随机事件，用表示机器完好这一随机事件，用“X=0”表示机器发表示机器发生故障这一随机事件。（生故障这一随机事件。（X是离散型的）是离散型的）第12页/共110页 解：分析解：分析再再如如 一一报报童童卖卖报报，每每份份0.15元元，其其成成本本为为0.10元元.报报馆馆每每天天给给报报童童1000份份报报，并并规规定定他他不不得得把把卖卖不不出出

10、的的报报纸纸退退回回.设设X为为报报童童每每天天卖卖出出的的报报纸纸份份数数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当当 0.15 X0.95 的最小的的最小的m.进货数进货数销售数销售数第34页/共110页求满足求满足P X m 0.95 的最小的的最小的m.查泊松分布表得查泊松分布表得P383PXm 0.05也即也即于是得于是得 m+1=10,m=9件件或或第35页/共110页例例3（15题）利用泊松逼近二项分布题）利用泊松逼近二项分布第36页/共110页练习题练习题第37页/共110页第38页/共110页第39页/共110页第40页/共11

11、0页第41页/共110页第42页/共110页第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 对于非离散型随机变量对于非离散型随机变量X，由于其取值不能，由于其取值不能一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机一个一个地列举出来，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来刻画它。另外，我们通变量那样可以用分布律来刻画它。另外，我们通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于值的概率都等于0（这一点在下一节将会讲到）。（这一点在下一节将会讲到）。再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量，再着，在实际问题的讨论中，对有些随机变量，例如误差

12、例如误差 ，元件的寿命，元件的寿命T等，我们并不会对误等，我们并不会对误差差 ，寿命，寿命T=1251.3(h)的概率感兴趣，的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的个值的概率，因而我们现在考虑随机变量所取的值落在一个区间的概率：值落在一个区间的概率：第43页/共110页为此，现引入随机变量的分布函数的概念。为此，现引入随机变量的分布函数的概念。定义：定义：定义：定义：设设X是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数称为称为X的的分布函数分布函数分布函数分布函数。分布函数

13、具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：分布函数具有以下几个性质：(1)F(x)是是x的不减函数，的不减函数，第44页/共110页(4)F(x)至多有可列个间断点，且在其间断点处是至多有可列个间断点，且在其间断点处是 右连续的。右连续的。对离散型随机变量对离散型随机变量X，若其分布律为，若其分布律为则其分布函数为则其分布函数为第45页/共110页 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内内的的概率概率.第46页/共110页(1)在分布函数的定义中在分布函数的定义

14、中,X是随机变量是随机变量,x是参变量是参变量.(2)F(x)是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3)对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间(x1,x2 内内的概率为：的概率为：P x1X x2 因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述.=P X x2 -P X x1=F(x2)-F(x1)请注意请注意请注意请注意 :第47页/共110页 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数学的工具

15、来研究随机变量学的工具来研究随机变量.第48页/共110页设离散型设离散型 r.v X 的分布律是的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=即即F(x)是是 X 取取 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.一般地一般地一般地一般地则其分布函数则其分布函数第49页/共110页例例1：设随机变量：设随机变量X的分布律为的分布律为求求X的分布函数的分布函数 ，并求，并求解：解：解：解：第50页/共110页即分布函数即分布函数F(x)为为F(x).-1 1 2 3 x 1.。第51页/共110页第52页/共110页例例3：一个靶子是半径为：一个靶子是半径为2米的圆盘

16、，设击中靶上米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积面积成正成正比，并设射击比，并设射击都能中靶都能中靶，以以X表示弹着点与圆心表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量的距离。试求随机变量X的分布函数。的分布函数。解：解：解：解：故得故得 k=1/4，于是于是上面两个例子是离散型的。上面两个例子是离散型的。第53页/共110页即分布函数即分布函数F(x)为为F(x).-1 1 2 3 x 1.第54页/共110页容易看出，对上述的容易看出，对上述的F(x)，存在存在 f(t)，使得，使得 这就是说，这就是说，F(x)恰是非负函数恰是非负函数 f(

17、t)在区间在区间 上的积分。上的积分。在这种情况我们称在这种情况我们称X为为连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量。第55页/共110页第四节第四节 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 如果对于随机变量如果对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x),存在非存在非负函数负函数f(x),使对于任意实数使对于任意实数 x 有有则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数f(x)称为称为X的的概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数，简称，简称概率密度概率密度概率密度概率密度。可以证明连续型随机变量可以证明连续型

18、随机变量X的分布函数的分布函数 F(x)是连续函数。是连续函数。概率密度函数概率密度函数概率密度函数概率密度函数 f f(x x)的性质：的性质：的性质：的性质：第56页/共110页概率密度的性质概率密度的性质 f(x)xo面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件第57页/共110页利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落在某个范围内的概率范围内的概率(3)对于任意实数对于任意实数 x1,x2,(x1 x2),对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:若若 x 是是 f(x)的连

19、续点，则的连续点，则 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X 落落在区间在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极之比的极限限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线相当于线密度密度.第58页/共110页也表明也表明f(x)不是不是 X 取值取值 x 的概率，而是的概率，而是 X 在在 x点概率分布的密集程度。由点概率分布的密集程度。由 f(x)的大小可反映出的大小可反映出X 在在 x 点附近取值的概率大小。点附近取值的概率大小。第59页/共110页由上式，还可得：由上式，还可得：对连续型随机变量对连续型随机

20、变量X，有，有因此，如因此，如A是不可能事件，则是不可能事件，则 P(A)=0,但反之不然。但反之不然。另外有：另外有：请注意与离散型的不同请注意与离散型的不同第60页/共110页 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点处在某点处a的高度，的高度，并不反映并不反映X取值的概率取值的概率.但是，这个高度越大，则但是，这个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa第61页/共110页 以后当我们提到一个随机变量以后当我们提到一

21、个随机变量X的的“概率分布概率分布”时，指的是它的分布函数；时，指的是它的分布函数；或者，当或者，当 X 是连续型随机变量时指的是是连续型随机变量时指的是它的概率密度，当它的概率密度，当 X 是离散型随机变量是离散型随机变量时指的是它的分布律。时指的是它的分布律。第62页/共110页例：设连续性随机变量例：设连续性随机变量X的概率密度为的概率密度为解：解：解：解：第63页/共110页第64页/共110页第65页/共110页几个常用的连续型随机变量的分布几个常用的连续型随机变量的分布（一）（一）（一）（一）均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布 如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X 的概率密度为的

22、概率密度为则称连续型随机变量则称连续型随机变量X在区间在区间 (a,b)上服从上服从均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布。记为记为 在区间在区间 (a,b)上服从均匀分布的随机变量上服从均匀分布的随机变量 X，具，具有下述意义的等可能性：即它落在区间有下述意义的等可能性：即它落在区间 (a,b)中任意中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。等长度的子区间内的可能性是相同的。第66页/共110页如果如果 X在区间在区间 (a,b)上服从均匀分布。上服从均匀分布。则其概率密度为则其概率密度为其分布函数为其分布函数为第67页/共110页 公交线路上公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车两辆公共汽车前后

23、通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某入，小数点后某一位小数引入的误差；一位小数引入的误差；第68页/共110页（二）（二）（二）（二）指数分布指数分布指数分布指数分布 如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则称连续型随机变量则称连续型随机变量 X 服从服从指数分布指数分布指数分布指数分布。其分布函数为其分布函数为第69页/共110页 在实际生活中，常用指数分布作为各种在实际生活中，常用指数分布作为各种“寿寿命命”分布

24、的近似。如电子元件的寿命、动物的寿分布的近似。如电子元件的寿命、动物的寿命等都假定服从指数分布。命等都假定服从指数分布。服从指数分布的随机变量服从指数分布的随机变量X具有一个很有趣具有一个很有趣的性质：的性质：无记忆性无记忆性无记忆性无记忆性。事实上，事实上，无记忆性的理论解释：无记忆性的理论解释：已知某一元件已使用了已知某一元件已使用了s小时，则它总共能小时，则它总共能使用至少使用至少s+t小时的条件概率，小时的条件概率，与它从开始使用与它从开始使用时算起它至少能使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。小时的概率相等。第70页/共110页 例例1 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，

25、每时起，每15分钟来一班分钟来一班车，即车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等等时刻有汽车到达此时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的之间的均匀随机变量均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解解依题意，依题意，X U(0,30)以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位第71页/共110页 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达车站.所求概率为

26、：所求概率为：即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，第72页/共110页第73页/共110页（三）（三）（三）（三）正态分布正态分布正态分布正态分布 正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是概率论中最重要的一种分布。一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布正态分布是自然界最常见的一种分布,如测量时的误如测量时的误差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分布、人的生理差、农作物的收获量、炮弹弹落点的分布、人的生理特

27、征的尺寸（身高、体重等）、学生成绩的分布等都特征的尺寸（身高、体重等）、学生成绩的分布等都近似服从正态分布；一般说来，如影响某一数量指标近似服从正态分布；一般说来，如影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用又不太大，的随机因素很多，而每个因素所起的作用又不太大，且它们是相互独立的，而影响又是可以相互叠加的，且它们是相互独立的，而影响又是可以相互叠加的，则这个指标服从正态分布。这一点可以用概率论中的则这个指标服从正态分布。这一点可以用概率论中的中心极限定理加以证明。（在第五章里将会介绍中心极限定理加以证明。（在第五章里将会介绍）第74页/共110页 另一方面，正态分布具有很多良好的性

28、质，它的分布另一方面，正态分布具有很多良好的性质，它的分布具有具有“两头小，中间大两头小，中间大”的特点，许多分布可用正态分布来的特点，许多分布可用正态分布来近似；另外一些分布又可以用正态分布来导出。因此在理近似；另外一些分布又可以用正态分布来导出。因此在理论研究中，正态分布又有十分重要的地位。论研究中，正态分布又有十分重要的地位。如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为则称连续型随机变量则称连续型随机变量 X 服从参数为服从参数为的的正态分布正态分布正态分布正态分布或或高斯高斯高斯高斯(GaussGauss)分布分布分布分布，记为记为第75页/共110页xf(x)0

29、f(x)具有的性质：具有的性质：第76页/共110页 X 的概率密度为的概率密度为 X 的分布函数为的分布函数为第77页/共110页 X 的概率密度特别记为的概率密度特别记为 X 的分布函数特别记为的分布函数特别记为标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布。第78页/共110页引理：引理：引理：引理：证：证：证：证：由此知由此知证毕证毕第79页/共110页于是，于是，则其分布函数则其分布函数F(x)可写成可写成 由于正态分布在概率计算中的重要性，再加上由于正态分布在概率计算中的重要性，再加上正态分布可化为标准正态分布来处理，因此人们已正态分布可化为标准正态分布来处理，因此人们已编制好了

30、标准正态分布的分布函数值表编制好了标准正态分布的分布函数值表(见书后附见书后附表表2)。第80页/共110页第81页/共110页x这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.第82页/共110页例例1：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器：将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在内。调节器整定在 液体的温度液体的温度X(以以 计计)是是一个随机变量，且一个随机变量，且 求求X小于小于89的概率；的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为若要求保持液体的温度至少为80的概率

31、不底于的概率不底于0.99，问，问d至少为多少？至少为多少？解：解：解：解：(1)所求概率为所求概率为(2)按题意需求按题意需求d满足满足第83页/共110页即即亦即亦即第84页/共110页例例2：设测量从某地到某一目标的距离时带有的随：设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差机误差X具有概率密度为具有概率密度为(1)求误差的绝对值不超过求误差的绝对值不超过30的概率；的概率；(2)如果接连测三次，各次测量是相互独立的。求如果接连测三次，各次测量是相互独立的。求 至少有一次误差的绝对值不超过至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。的概率。解：解：解：解：第85页/共110页(2)三次中至少

32、有一次误差的绝对值不超过三次中至少有一次误差的绝对值不超过30的的逆事件即三次的误差的绝对值都超过逆事件即三次的误差的绝对值都超过30。故所求的概率为故所求的概率为第86页/共110页解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h c

33、m,按设计要求按设计要求第87页/共110页因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.99因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.所以所以 .第88页/共110页 这一节，我们介绍了连续型随机变量这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、即均匀分布、指数分布、正态分布正态分布.其中正态分布其中正态分布的应用极为广泛，的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打

34、交道在本课程中我们一直要和它打交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布.第89页/共110页第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 在分析和解决实际问题时，经常要用到一些在分析和解决实际问题时，经常要用到一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量随机变量经过运算或变换而得到的某些变量-随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其截面积而关心的却是

35、其截面积 (也是也是r.v.)在本节中我们将论述如何由随机变量在本节中我们将论述如何由随机变量X的分的分布导出它的函数布导出它的函数 Y=g(X)(g(.)是已知的连续函是已知的连续函数数)的分布。的分布。第90页/共110页（一）（一）离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布例例1：设随机变量：设随机变量X的分布律为的分布律为解：解：解：解：由由X的分布律可得的分布律可得第91页/共110页由此可得由此可得第92页/共110页第93页/共110页（二）（二）连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布例例2：设随机变量：设随机变量X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机

36、变量 Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第94页/共110页第95页/共110页例例3：设随机变量：设随机变量X的概率密度为的概率密度为求随机变量求随机变量 的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第96页/共110页例如，例如，得得 的概率密度为的概率密度为第97页/共110页定理：定理：定理：定理：设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为第98页/共110页 事实上，我们利用现在的定理还可以证明事实上，我们利用现在的定理还可以证明更一般的情形：服从正态分布的随机变量的线更一般的情形：服从正态分

37、布的随机变量的线性函数仍旧服从正态分布。性函数仍旧服从正态分布。利用此一结论可解决下列例题。利用此一结论可解决下列例题。第99页/共110页解解 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 也也服从正态分布服从正态分布.第100页/共110页下面具体举一例下面具体举一例第101页/共110页例例4：某物体的温度：某物体的温度 T 是一个随机变量，且有是一个随机变量，且有已知已知的概率密度。的概率密度。解：解：解：解：第102页/共110页例例5：设随机变量：设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，解：解：解：解：第103页/共110页小结小结 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求 Y=g(X)的分布的分布时，时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X)y 转化为转化为X在一在一定范围内取值的形式定范围内取值的形式，从而可以利用，从而可以利用 X 的分布来的分布来求求 P g(X)y.这一节我们介绍了随机变量函数的分布这一节我们介绍了随机变量函数的分布.离散型的离散型的“算数值算数值”，连续型的，连续型的“算导数算导数”第104页/共110页练习题练习题第105页/共110页第106页/共110页第107页/共110页第108页/共110页第109页/共110页感谢您的观看。感谢您的观看。第110页/共110页