随机过程的基本概念.pptx

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1、1定义 1.5.10 设(,F,P)为概率空间，(E,E)为可测空间，TR，若 ，且 t给定时，Xt关于F可测，则称 为(,F,P)上取值于E 的随机过程.此时,X t()表示在时刻t系统的状态。称(E,E)为相空间或状态空间；称 T为参数集或时间域；通常取 或 1.5 随机过程的基本概念1.5.1 随机过程的概念与举例 第1页/共29页2数学解释：可认为X(,t)，t T 是定义在T上的二元函数。当t固定时，X(,t)是r.v.(stat)，当固定时，X(,t)是定义在T上的普通函数，称为随机过程的样本函数或轨道(path)，样本函数的全体称为样本函数空间。第2页/共29页3(2)由抛硬币决

2、定的随机过程:(随机游动)第3页/共29页4随机过程可按时间(参数)是连续的或离散的分为两类:(1)若T是有限集或可列集时,则称为离散参数随机过程或随机序列.(2)若T是有限或无限区间时,则称为连续参数随机过程.随机过程也可按任一时刻的状态是连续型随机变量或离散型随机变量分为两类:(1)若对于任意 都是离散型随机变量,称 为离散型随机过程；(2)若对于任意 都是连续型随机变量,称 为连续型随机过程.第4页/共29页5定义 1.5.1 设Xt，tT 为(,F,P)(E,E)随机过程，令其中F1.,FkE.称 为随机过程Xt，tT 的有限维分布族.1.5.2 随机过程的数字特征及有限维分布族特别,

3、对于一维随机过程X(t),t T 任意 nZ+和 t1,t n T，随机向量（X t1,X t n)的分布函数全体称为Xt，t T 的有穷维分布函数族。第5页/共29页6若对 ,随机向量 有密度函数,则这些密度函数的全体称为Xt，t T 的有穷维密度函数族。若对 ,随机向量 是离散型的,则这些分布律的全体称为Xt，t T 的有穷维概率分布族。第6页/共29页7设X(t),t T 为随机过程，称为X(t),t T的n维特征函数；称为X(t),t T的有穷维特征函数族。由于r.v.的特征函数与分布函数有一一对应关系，所以，也可以通过随机过程的有穷维特征函数族来描述它的概率特性。第7页/共29页8随

4、机过程的有限维分布满足下面的两个性质：(1)对称性：对于1,2,n 的任意排列(1),(2),(n)有(2)相容性：对于任意的自然数 k,m,反之，(Kolmogorovs 扩张定理).对一切性质(1)(2)的概率测度，则存在概率空间(,F,P)及定义在 上取值于E的随机过程Xt，使得令为Ek上满足以上第8页/共29页9例1.5.2.求随机过程的一维密度函数族.这里b 是常数,X是标准正态随机变量.解:(1)当cosbt0时,由X(t)=Xcosbt,XN(0,1)知X(t)N(0,cos2bt),则X(t)的一维密度函数为(2)当cosbt=0时,X(t)不存在一维密度函数.故X(t)的一维

5、密度函数族为第9页/共29页10定义1.5.2 给定随机过程Xt,tT,给定t,（1）随机变量Xt的均值或数学期望与t有关,记为称X(t)为随机过程Xt的均值函数(Mean)称为随机过程Xt,tT,的均方值函数.（2）随机变量Xt的二阶原点矩第10页/共29页11（3）随机变量Xt的方差称为随机过程Xt,tT,的方差函数(Varance)(4)设Xt1和Xt2是随机过程Xt,tT在任意二个时刻t1和t2时的状态.称Xt1和Xt2的二阶混合原点矩为随机过程Xt,tT的自相关函数(correlation),简称相关函数.第11页/共29页12（5）称Xt1和Xt2的二阶混合中心矩为随机过程Xt,t

6、T的自协方差函数covaricance,简称协方差函数.(6)对于两个随机过程Xt,tT,Yt,tT，若对任意t T，EXt2、EYt2存在，则称函数为随机过程 Xt,tT,与Yt,tT,的互协方差函数。第12页/共29页13为随机过程Xt,tT与Yt,tT的互相关函数.易知(7)称定义1.5.3 若对任意的s,t T，有EXsYt=0,则称随机过程Xt,tT与Yt,tT正交;若CXY(s,t)=0，则称随机过程Xt,tT与Yt,tT 互不相关；若对任意的n,mZ+，随机向量(Xt1,Xtn)与(Ys1,Ysm)相互独立，则称随机过程Xt,tT与Yt,tT相互独立。第13页/共29页14例1.

7、5.3 设 ,其中X0和V是相互独立的随机变量.且求随机过程X(t),-t的五种数字特征.解:第14页/共29页15定义1.5.4若Xt,tT,Yt,tT是两个实随机过程，则称Zt=X t+i Yt，t T 为复随机过程。它的均值函数、协方差函数、相关函数和方差函数分别定义如下：Z(t)=EZt=EXt+i EYt,t T第15页/共29页161.5.31.5.3 几类典型的随机过程(1)独立随机序列 对于任意n个不同的参数t1,t n T，r.v.X(t1),X(t n)相互独立，这样的随机序列称为独立随机序列。(2)独立增量过程定义1.3.1 若随机过程 满足 增量 与 独立,则称为独立增

8、量过程.或等价地写作第16页/共29页17 过程 满足,对任意 t1 t2 0,X0,t0,Xt t的特征函数的特征函数 决定了决定了X Xs+ts+t-X-Xs s的分布的分布.第18页/共29页19类似地，类似地，n,n,于是于是第19页/共29页20定义1.5.5 设随机过程 ,若对则称该过程为马尔可夫过程，简称“马氏过程”。马氏过程的特点：已知现在，将来与过去无关。称称为转移概率函数为转移概率函数.(transition probability function).(transition probability function)(3)马尔可夫过程（马氏过程）第20页/共29页21Ma

9、rkov性的等价描述:ii)若Xt 的母函数存在,第21页/共29页22Markov过程的判别-独立性定理:设X,Y为概率空间(,F,P)上的随机变量,G为F 的子代数,且设X与G 独立,Y关于G 可测.则对二元函数 f(x,y),例1.5.5 独立增量过程Xt是Markov过程.证:其中,Xt-Xs关于Fs独立,Xs 关于Fs 可测,根据独立性定理,第22页/共29页23根据参数集T及状态空间E的取值离散与否，通常将马氏过程分成四类进行研究：1、参数和状态都离散的马氏过程，简称马氏链；3、参数连续、状态离散的马氏过程，又称连续马氏链或纯不连续马氏过程；3、参数离散、状态连续的马氏过程，简称马

10、氏序列;4、参数和状态都连续的马氏过程，又称连续马氏过程。随机游动,Poisson过程,更新过程中的更新时间序列,Brown运动,分别是1-4的例子.第23页/共29页24设Bt,t0为一独立增量过程，求证：Xt,t0为Markov过程.第24页/共29页25(5)平稳随机过程 在工程应用和大量实际现象的理论分析研究中常会遇到一类过程。其统计特性随着时间的推移不发生任何变化。此类过程中，最重要的是“平稳过程”。例如无线电设备中热噪声电压X(t)是由于电路中电子的热运动引起的，这种热扰动不随时间而变；连续测量飞机飞行速度产生的测量误差X(t)，是由仪器震动、电磁波干扰、气候变化等因素引起的;纺纱

11、厂生产出的棉纱各处直径X(t)不同是由于纺纱机运行，棉条不匀、温湿度变化等因素引起的。第25页/共29页26严平稳过程严平稳过程定义1.5.7 设随机过程 X(t),t T 的有穷维分布函数族为Ft1,tn(x1,xn),t1,tn T,n1，若对n 和t1,tn T,及ti+T的，有Ft1,tn(x1,xn)=Ft1+,tn+(x1,xn)(1.3.1)则称 X(t)，t T 是严平稳过程。严平稳过程的特点：(1)若有概率密度，则式(1.3.1)等价于：f t1,tn(x1,xn)=f t1+,tn+(x1,xn);第26页/共29页27 (2)一维分布与 t 无关，二维分布仅与时间差有关，

12、而与时间的起点无关；(3)若存在二阶矩，则其均值函数是常数，相关函数或协方差函数仅是时间差的函数。严平稳过程的平稳性条件(1.3.1)过于严格而在应用上往往难于实现。在工程技术中一般只要知道过程的一、二阶矩，就能处理和解决有关问题，于是就产生了仅与过程的一、二阶矩有关的平稳过程理论。这类过程的理论称为平稳过程的相关理论，它涉及的平稳过程称为宽平稳过程。第27页/共29页28宽平稳过程定义1.5.6 设随机过程 X t，t T，若对 t T，X t的均值和方差有限，则称 X t，t T 为二阶矩过程。定义1.5.7 称二阶矩过程 X(t),t T 为宽（弱）平稳过程，如果 (1)m(t)=EX(t)=m;(2)R(t1,t2)=EX(t1)X(t2)=R(),=t2 t1相关内容详见:陈萍等 第八章第28页/共29页29感谢您的观看！第29页/共29页