泰勒公式93145学习.pptx

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1、特点:一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x 的一次多项式上页 下页 返回 结束 第1页/共29页1.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故令则Pn(x)称为函数称为函数f(x)按按(x-x0)的幂展开的的幂展开的 n 次近似多项次近似多项式式.上页 下页 返回 结束 第2页/共29页2.余项估计余项估计令(称为余项),则有上页 下页 返回 结束 第3页/共29页上页 下页 返回 结束 第4页/共29页公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒泰勒(Taylor)中值定中值定理理:阶的导数

2、,时,有其中则当公式 称为 按(x-x0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式阶泰勒公式.上页 下页 返回 结束 第5页/共29页公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可泰勒公式可写为写为注意到公式 称为 按(x-x0)的幂展开的带有佩亚诺佩亚诺(Peano)余余项的n 阶泰勒公式阶泰勒公式.上页 下页 返回 结束 第6页/共29页特例特例:(1)当 n=0 时,泰勒公式变为(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差上页 下页 返回 结束 第7页/共29页补例：求函数 按(x-4)

3、的幂展开的带有拉格朗日型余项的3 阶泰勒公式.解：故上页 下页 返回 结束 第8页/共29页称为麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式.则有在泰勒公式中若在泰勒公式中若取取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式上页 下页 返回 结束 第9页/共29页二、几个初等函数的麦克劳林公二、几个初等函数的麦克劳林公式式其中上页 下页 返回 结束 第10页/共29页其中上页 下页 返回 结束 第11页/共29页类似可得其中上页 下页 返回 结束 第12页/共29页其中上页 下页 返回 结束 第13页/共29页已知其中类似可得上页 下页 返回 结束 第14页/共29页三、泰勒公式的应用

4、三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0,x 的某区间上的上界.上页 下页 返回 结束 第15页/共29页已知补例补例.计算无理数计算无理数 e 的近似值的近似值,使误差不使误差不超过超过解解:令 x=1,得由于欲使由计算可知当 n=9 时上式成立,因此的麦克劳林公式为上页 下页 返回 结束 第16页/共29页2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限补例补例.求解解:由于可用洛必塔法则!用泰勒公式将分子展到项,上页 下页 返回 结束 第18页/共29页3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式补例补例.证明证证:上页 下页 返回 结束 第19页/共

5、29页内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式.上页 下页 返回 结束 第20页/共29页2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P140 P142)3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数,上页 下页 返回 结束 第21页/共29页42246420246泰勒多项式逼近上页 下页 返回 结束 第22页/共29页42246420246泰勒多项式逼近上页 下页 返回 结束 第23页/共29页思考与练习思考与练习 1.计算解解:原式上页 下页 返回 结束 第24页/共29页由题设对证证:2.有且上页 下页 返回 结束 第25页/共29页下式减上式,得令上页 下页 返回 结束 第26页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页