函数极限PPT讲稿.ppt

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1、函数极限第1页，共89页，编辑于2022年，星期五5.初等函数初等函数我们所研究的函数，通常是基于一些最简单的函数，这些函数在中学中也已有过介绍：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。以上六类函数统称为基本初等函数基本初等函数。由基本初等函数经过有限次有限次四则运算和复合运算所得到的函数统称为初等函数初等函数，否则称为非初等函数。思考题：证明实轴上任一函数都可以表示为思考题：证明实轴上任一函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。一个奇函数与一个偶函数之和。第2页，共89页，编辑于2022年，星期五第二章第二章 极极 限限2.1 2.1 数列极限数列极限2.2 收敛数列

2、收敛数列2.3 函数极限函数极限2.4 函数极限的定理函数极限的定理2.5 无穷大与无穷小无穷大与无穷小第3页，共89页，编辑于2022年，星期五2.1 2.1 数列极限数列极限 问题问题1 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,显然n越大,An越接近于S 因此,需要考虑当n时,An的变化趋势第4页，共89页，编辑于2022年，星期五问题2：一个富翁欲将一枚价值连城的钻戒均分给两个儿子，请问怎样分？问题3：第5页，共89

3、页，编辑于2022年，星期五问题问题6 芝诺的芝诺的“阿基里斯和乌龟赛跑悖论阿基里斯和乌龟赛跑悖论”如果让爬得极慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将如果让爬得极慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。其理由如下：如果阿基里斯前面有一永远追不上乌龟。其理由如下：如果阿基里斯前面有一只乌龟只乌龟(正从正从A点向前爬点向前爬)，则他要追上乌龟必须要经过乌龟，则他要追上乌龟必须要经过乌龟出发的地方出发的地方A；但当他追到这个地方的时候，乌龟又向前爬；但当他追到这个地方的时候，乌龟又向前爬了一段距离，到了了一段距离，到了B点；他要追上乌龟又必须经过点；他要追上乌龟又必须经过B点，但当点，但当

4、他追到他追到B点的时候，乌龟又爬到了点的时候，乌龟又爬到了C点点.所以阿基里斯永远所以阿基里斯永远也追不上乌龟！也追不上乌龟！第6页，共89页，编辑于2022年，星期五二、数列的定义二、数列的定义1.1.定义：定义：数列是按次序排列的一列无穷多个数数列是按次序排列的一列无穷多个数LL,21nxxx或者可以说，数列或者可以说，数列是定义在自然数集是定义在自然数集N N上的函数，即上的函数，即以以N N为定义域由小到大取值所对应的一列函数值为定义域由小到大取值所对应的一列函数值。nx，记为数列记为数列称为第称为第n项或通项。项或通项。数列对应着数轴上一个点列：数列对应着数轴上一个点列：第7页，共8

5、9页，编辑于2022年，星期五xyo12.1.23n如何用数学语言描述如何用数学语言描述“越来越接近越来越接近1”。三、数列的极限三、数列的极限第8页，共89页，编辑于2022年，星期五任意任意第9页，共89页，编辑于2022年，星期五若数列没有极限若数列没有极限,则称数列是则称数列是发散发散的的.注意：注意：第10页，共89页，编辑于2022年，星期五几何解释几何解释:等价定义等价定义第11页，共89页，编辑于2022年，星期五例例1 1证证所以所以,第12页，共89页，编辑于2022年，星期五例例2证证第13页，共89页，编辑于2022年，星期五例例3 3证证其中第14页，共89页，编辑于

6、2022年，星期五定理定理1(1(唯一性唯一性)每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.证证由定义由定义,2.2 2.2 收敛数列收敛数列一、收敛数列的性质一、收敛数列的性质第15页，共89页，编辑于2022年，星期五2、有界性、有界性定理定理2(有界性有界性)收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.第16页，共89页，编辑于2022年，星期五3、保序性、保序性定理定理3(3(保序性保序性)若若且且则则有有推论推论则若若且第17页，共89页，编辑于2022年，星期五二、收敛数列的四则运算二、收敛数列的四则运算定定理理4定定理理5第18页，

7、共89页，编辑于2022年，星期五定定理理6第19页，共89页，编辑于2022年，星期五思考题思考题第20页，共89页，编辑于2022年，星期五证证三、数列的收敛判别法三、数列的收敛判别法1.1.夹逼准则夹逼准则第21页，共89页，编辑于2022年，星期五上两式同时成立上两式同时成立,上述数列极限存在的准则上述数列极限存在的准则以后以后可以推广到函数的极限可以推广到函数的极限第22页，共89页，编辑于2022年，星期五例例5 5解解由夹逼定理得由夹逼定理得第23页，共89页，编辑于2022年，星期五2.2.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释

8、:第24页，共89页，编辑于2022年，星期五例例6 6证证(舍去舍去)第25页，共89页，编辑于2022年，星期五例例7 7 证明数列证明数列收收敛敛证明证明则第26页，共89页，编辑于2022年，星期五类似地类似地,第27页，共89页，编辑于2022年，星期五四、子数列四、子数列注意：注意：例如，例如，第28页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理1 1 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同证证证毕证毕定理定理2 2 数列数列 收敛收敛 奇子列奇子列 与偶子与偶子列列 都收敛，且它们的极限相等都收敛，且它们的极限相等.第29页，共89页，编辑于20

9、22年，星期五定理3 Weierstrass定理 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列定理的几何直观证明思路证明：必要性证明：必要性第30页，共89页，编辑于2022年，星期五充分性充分性 由魏尔斯特拉斯定理可证。由魏尔斯特拉斯定理可证。作业作业2.求求第31页，共89页，编辑于2022年，星期五3.求4.求5.第32页，共89页，编辑于2022年，星期五xxyyoo1111.2.3 2.3 函数极限函数极限一、当一、当 时函数时函数 的极限的极限第33页，共89页，编辑于2022年，星期五第34页，共89页，编辑于2022年，星期五3、另两种情形、另两种情形:第35页，共89页，编辑于2

10、022年，星期五例例1 证明证明证证故不妨设故不妨设|x|1，而当而当|x|1时时第36页，共89页，编辑于2022年，星期五第37页，共89页，编辑于2022年，星期五三、当三、当 时函数时函数 的极限的极限引例引例 这个函数虽在这个函数虽在x=1处无处无定义，但从它的图形上定义，但从它的图形上可见，当点从可见，当点从1的左侧或的左侧或右侧无限地接近于右侧无限地接近于1时，时，f(x)的值无限地接近于的值无限地接近于4，我们称常数，我们称常数4为为f(x)当当x1 时时f(x)的极限。的极限。1xyo4第38页，共89页，编辑于2022年，星期五 定义：定义：设设 在点在点 的去心邻域的去心

11、邻域有定义，是常数。有定义，是常数。若对若对 当当 时，有时，有 则称则称b b是是 在在 点的极限，记为点的极限，记为:第39页，共89页，编辑于2022年，星期五 左极限左极限:右极限右极限:2 2、左右极限、左右极限第40页，共89页，编辑于2022年，星期五3 3、几何解释、几何解释:注意：注意：第41页，共89页，编辑于2022年，星期五分析|f(x)b|(2x1)1|2|x1|例例5 5 因为 0 证明|f(x)b|(2x1)1|2|x1|0 当0|x1|时 有 /2只要|x1|/2 要使|f(x)b|0 取 当0|x1|时 有 例例6 6 0 只要|x1|要使|f(x)b|第43

12、页，共89页，编辑于2022年，星期五例例7 7 证明证明 证证第44页，共89页，编辑于2022年，星期五例例8 8 证明证明证证不妨设不妨设第45页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理1 1(惟一性惟一性)2.4 函数极限的定理函数极限的定理 若函数若函数 在在 存在极限存在极限,则它则它的极限是唯一的的极限是唯一的.证证 不妨设 以及 .由极限的定义，对于任意的正数 ,存在正数第46页，共89页，编辑于2022年，星期五由由 的任意性，推得的任意性，推得 b=c.令 ,当 时,(1)与(2)式均成立,所以第47页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理 2 2（局部有界性）（

13、局部有界性）由此得由此得证明证明:对对 ,存在存在 ，当，当 时时 若若 ,则存在则存在 ，在在 上有界上有界.（表示表示 的去心邻域）的去心邻域）这就证明了这就证明了 在某个空心邻域在某个空心邻域 上有界上有界.这就证明了这就证明了 在某个空心邻域在某个空心邻域 上有界上有界.第48页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理3.(3.(保序性保序性)若 与 且 ,则 ,有 .证明：证明：已知 与 ,则 ，有 即第49页，共89页，编辑于2022年，星期五推论推论1 1 若 与 ,且 有 (或 ),则 (或 ).推论推论2 2 若 ,且 (或 )则有 (或 ).第50页，共89页，编辑于2

14、022年，星期五在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,且且都存在都存在,则则在点在点 x0 的极限也存在的极限也存在,定理定理 4 4（四则运算法则）（四则运算法则）若并有并有第51页，共89页，编辑于2022年，星期五推论推论1 1推论推论2 2注注:定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立。任何一个过程都成立。第52页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理5 5(复合函数极限复合函数极限)设有复合函数 若1)2)3)则则第53页，共89页，编辑于2022年，星期五证证由极限定义得由极限定义得第54页，共89页，编辑于202

15、2年，星期五注注定理中的限制条件定理中的限制条件的条件不能少。例如的条件不能少。例如,令令第55页，共89页，编辑于2022年，星期五例例1 1解解第56页，共89页，编辑于2022年，星期五例例2 2解解(消去零因子法消去零因子法)第57页，共89页，编辑于2022年，星期五例例3 3解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第58页，共89页，编辑于2022年，星期五求求 A A 和和 B.B.作业作业2 2 （1 1）已知已知（2）第59页，共89页，编辑于2022年，星期五二、函数极限与数列极限的关系二、函数极限与数列极限的关系定理定理6 6(海涅归结原理海涅归结原理)对任意数列对任意数

16、列 且且 有有证证(必要性必要性)设设则对任给则对任给 那么对上述,存在第60页，共89页，编辑于2022年，星期五所以所以这就证明了这就证明了(充分性充分性)（下面的证法很典型，特别注意不以某个下面的证法很典型，特别注意不以某个常数为极限的数学逻辑语言叙述。）常数为极限的数学逻辑语言叙述。）恒有恒有时时,不以不以 b 为极限为极限,则存在正数则存在正数设任给设任给第61页，共89页，编辑于2022年，星期五现分别取现分别取存在相应的存在相应的使得使得对于任意正数对于任意正数使得使得第62页，共89页，编辑于2022年，星期五 另一方面另一方面,所以所以这与这与矛盾矛盾.注注 归结原理重要应用

17、：归结原理重要应用：推论推论2:若若但但不存在不存在.推论推论1:1:：若：若 ,且且 而而 不不存在极限，则存在极限，则 在点在点 处也不存在极限处也不存在极限.第63页，共89页，编辑于2022年，星期五例例7都不存在都不存在.解解故故不存在不存在.故故不存在不存在.第64页，共89页，编辑于2022年，星期五密集的等幅振荡密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值当然不会趋于一个固定的值.-1-0.50.511-1的图象在的图象在 x=0 附近作无比附近作无比从几何上看，从几何上看，第65页，共89页，编辑于2022年，星期五三、函数极限存在判别法三、函数极限存在判别法 定理定理7 7 (

18、夹逼性定理定理)若 ，有，有 则：则：.证明：证明思想、过程完全类似于数列极限的夹逼证明：证明思想、过程完全类似于数列极限的夹逼性定理性定理.定理定理8 8 若若 ,有有且且 则则 第66页，共89页，编辑于2022年，星期五证证所以所以不等式中的三个表达式均是偶函数不等式中的三个表达式均是偶函数,故当故当例例9:证明证明：第67页，共89页，编辑于2022年，星期五解解所以所以即即例例10 求求第68页，共89页，编辑于2022年，星期五例例11解解例例12解解第69页，共89页，编辑于2022年，星期五证证 我们只需证明：我们只需证明：例例13:证明证明：第70页，共89页，编辑于2022

19、年，星期五第71页，共89页，编辑于2022年，星期五例例1414解解一般地一般地第72页，共89页，编辑于2022年，星期五解一解一解二解二例例1515 求求第73页，共89页，编辑于2022年，星期五例6,求极限 作业作业3 3 求极限求极限（3）（4）（5）（6）第74页，共89页，编辑于2022年，星期五2.5 2.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0 0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得单独给出定义。价值，值得单独给出

20、定义。若若,则称函数则称函数 是当是当 时时无穷小无穷小.性质性质1其中其中 是无穷小。是无穷小。第75页，共89页，编辑于2022年，星期五 性质性质2 2 若函数若函数 都是无穷小，都是无穷小，则函数则函数 也是无穷小也是无穷小.性质性质3 3 若函数若函数 是无穷小是无穷小,函数函数 在在 的某去心邻域的某去心邻域 有界，则有界，则 是无穷小是无穷小.第76页，共89页，编辑于2022年，星期五二、无穷大量二、无穷大量 定义定义 设函数设函数 在在 有定义有定义.若若 有有 ，则称函数则称函数 是是无穷大无穷大，有时也称函数，有时也称函数 在在 的的“极限极限”是无穷大，表为是无穷大，表

21、为第77页，共89页，编辑于2022年，星期五问题：出如下定请给义：问题：出如下定请给义：唐诗唐诗 王之涣：白日依山尽王之涣：白日依山尽 黄河入海流黄河入海流 欲穷千里目欲穷千里目 更上一层楼更上一层楼诗中藏极限诗中藏极限第78页，共89页，编辑于2022年，星期五 若将上述定义中的不等式若将上述定义中的不等式 分别改为分别改为则分别称函数则分别称函数 是是正无穷正无穷与与负无穷大负无穷大，并分别表为并分别表为与与第79页，共89页，编辑于2022年，星期五例例1.1.证明证明证明证明例例2.2.证明证明证明证明第80页，共89页，编辑于2022年，星期五 性质性质1 1 若函数若函数 都是无

22、穷大，都是无穷大，则函数则函数 是无穷大是无穷大.性质性质3 3 若函数若函数 是是无穷小无穷小(或无穷或无穷大大),),且且 ,则函数则函数 是是无穷大无穷大(或无穷小或无穷小).).性质性质2 2 若函数若函数 是无穷大，是无穷大，是有界函数，则函数是有界函数，则函数 为无穷大为无穷大.第81页，共89页，编辑于2022年，星期五例例4 4解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得第82页，共89页，编辑于2022年，星期五 两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、给给出如下定义出如下定义.察察两个无穷小量之间趋于零的

23、速度的快慢，我两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们们定的定的.这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于为了便于考考积仍积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确确三、无穷小的比较三、无穷小的比较第83页，共89页，编辑于2022年，星期五例如：例如：第84页，共89页，编辑于2022年，星期五2.若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 a 的某一空心邻域的某一空心邻域内，有内，有则称则称 与与 是是时的时的同阶无穷小量同阶无穷小量.第85页，共89页，编辑于2022年，星期五等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作第86页，共89页，编辑于2022年，星期五定理定理 设函数设函数 f,g,h 在在内有定义内有定义,且且证证所以所以(2)类似可证类似可证.第87页，共89页，编辑于2022年，星期五在求极限时，上述定理很有用。在求极限时，上述定理很有用。例例5解解所以所以例例6解解第88页，共89页，编辑于2022年，星期五作业作业4 p.55 第第2、4题，题，8题的单数题，题的单数题，9（2）（）（4）（）（7）（）（8）（）（9），），16题。题。第89页，共89页，编辑于2022年，星期五