线性代数向量的内积幻灯片.ppt

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1、线性代数向量的内积线性代数向量的内积第1页，共21页，编辑于2022年，星期一定义定义1 1一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质称称 为为向量向量x与与y的内积的内积第2页，共21页，编辑于2022年，星期一说明说明 内积是向量的一种运算，如果内积是向量的一种运算，如果x，y都是列向量，都是列向量，内积可用矩阵记号表示为内积可用矩阵记号表示为第3页，共21页，编辑于2022年，星期一内积的运算性质内积的运算性质对称性对称性齐次性齐次性可加性可加性第4页，共21页，编辑于2022年，星期一许瓦兹许瓦兹(Schwarz)不等式不等式：设设x，y是是n维向量空间维向量空间Rn中的任意两个中的任意

2、两个向量，则有不等式向量，则有不等式总成立总成立第5页，共21页，编辑于2022年，星期一定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质第6页，共21页，编辑于2022年，星期一性质（性质（1），（），（2）可由定义直接得出，下面我们证）可由定义直接得出，下面我们证明性质（明性质（3）由许瓦兹不等式由许瓦兹不等式即即可得可得即即第7页，共21页，编辑于2022年，星期一（1）长度为）长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量夹角夹角时时当当当当x=0或或y=0时，规定时，规定x与与y的夹角为的夹角为 上上不确定的角

3、不确定的角 任何一个非零向量都可以通过除以它的长度化成任何一个非零向量都可以通过除以它的长度化成单位向量。把向量化成单位向量的过程叫做把向量单位向量。把向量化成单位向量的过程叫做把向量规规范化范化或或单位化单位化。记作记作第8页，共21页，编辑于2022年，星期一 正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为向量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念三、正交向量组的概念若若，则，则称称向量向量x与与y正交，正交，记作记作第9页，共21页，编辑于2022年，星期一向量的正交性的性质向量的正交性的性

4、质（1）若向量）若向量x与与y正交，则有正交，则有（在二维几何空间中，这就是勾股定理。（在二维几何空间中，这就是勾股定理。)证明证明x与与y正交，所以正交，所以第10页，共21页，编辑于2022年，星期一证明证明设设（2）若）若 是一个正交向量组，是一个正交向量组，则则 线性无关。线性无关。第11页，共21页，编辑于2022年，星期一例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量 使使 构成三维空间构成三维空间的一个正交基的一个正交基.向量空间的正交基向量空间的正交基第12页，共21页，编辑于2022年，星期一即即解之得解之得由上可

5、知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解第13页，共21页，编辑于2022年，星期一正交规范基正交规范基例如例如第14页，共21页，编辑于2022年，星期一 同理可知同理可知 如何构造向量空间的正交规范基？如何将一组如何构造向量空间的正交规范基？如何将一组线性无关的向量化成正交规范基？下面介绍将线性线性无关的向量化成正交规范基？下面介绍将线性无关的向量组正交规范化的无关的向量组正交规范化的施密特施密特(Schmidt)正交化正交化方法。方法。第15页，共21页，编辑于2022年，星期一四、四、施密特施密特(Schmidt)正交化方法正交化方法定理定理 设设 是

6、一组线性无关的向是一组线性无关的向量，则可以找到一组正交的向量量，则可以找到一组正交的向量 使得向量组使得向量组 与与 等价。等价。证明证明首先，令首先，令即即 从而求出从而求出再令再令 及及第16页，共21页，编辑于2022年，星期一再令再令 及及可求出可求出一般地，由一般地，由 求出求出 的公式为的公式为第17页，共21页，编辑于2022年，星期一 由以上公式的构成可知向量组由以上公式的构成可知向量组 两两正交，且两两正交，且 都可由都可由 线性表示，反之线性表示，反之 也都可由也都可由 线性表示，所以线性表示，所以,两向量组等价。两向量组等价。第18页，共21页，编辑于2022年，星期一以上求等价正交向量组的方法称为施密特以上求等价正交向量组的方法称为施密特(Schmide)正交化方法。正交化方法。将所求正交向量组单位化：将所求正交向量组单位化：从而可以进一步得到与从而可以进一步得到与 等价的等价的正交规范向量组正交规范向量组第19页，共21页，编辑于2022年，星期一解解例例2 设设试用施密特正交化方法把这组向量规范正交化。试用施密特正交化方法把这组向量规范正交化。第20页，共21页，编辑于2022年，星期一再把它们单位化，取再把它们单位化，取第21页，共21页，编辑于2022年，星期一