第 偏导数和全微分.PPTx

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1、第1页/共68页第2页/共68页偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 第3页/共68页解解(1)解解(2)第4页/共68页证证结论成立结论成立第5页/共68页解解第6页/共68页不存在不存在第7页/共68页有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解解第8页/共68页、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，第9页/共68页4、偏导数的、偏导数的几何意义几何意义如图如图第1

2、0页/共68页几何意义几何意义:第11页/共68页纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.高阶偏导数第12页/共68页解解第13页/共68页原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：第14页/共68页解解第15页/共68页问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？第16页/共68页解解第17页/共68页由一元函数微分学中增量与微

3、分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全微分的概念第18页/共68页全增量的概念全增量的概念第19页/共68页定义定义第20页/共68页事实上事实上第21页/共68页可微的必要条件第22页/共68页证证总成立总成立,同理可得同理可得第23页/共68页第24页/共68页第25页/共68页此时，切平面方程为此时，切平面方程为第26页/共68页切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为第27页/共68页其中其中第28页/共68页设曲面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线曲面的切平面与法线第29页/共68

4、页令令则则切平面方程为切平面方程为第30页/共68页法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量称为曲面的法向量.第31页/共68页特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令第32页/共68页解解切平面方程为法线方程为第33页/共68页解解令令切平面方程法线方程第34页/共68页解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得第35页/共68页因为

5、因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)第36页/共68页一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，第37页/共68页则则当当 时，时，第38页/共68页说明：说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存 在，下面讨论二元函数可微的充分条件在，下面讨论二元函数可微的充分条件证证 设设第39页/共68页第40页/共68页证证第41页/共68页（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理证毕证毕

6、第42页/共68页习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况第43页/共68页解解所求全微分所求全微分第44页/共68页解解第45页/共68页解解所求全微分所求全微分第46页/共68页第47页/共68页证证令令则则同理同理第48页/共68页不存在不存在.第49页/共68页第50页/共68页多元函数连续、偏导数、可微的关系多元函数连续、偏导数、可微的关系函数可微函数可微函数连续偏导数连续偏导数连续函数

7、偏导数函数偏导数第51页/共68页全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成第52页/共68页解解由公式得由公式得第53页/共68页偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导混合偏导（相等的条件）小结小结 偏导数偏导数第54页/共68页、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）全微分全微分第55页/共68页曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）切平面第56页/共68页思考题一思考题一第57页/共68页思考题一解答思考题一解答不能.例如例如,第58页/共68页思考题二思考题二第59页/共68页思考题三思考题三第60页/共68页思考题三解答思考题三解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程第61页/共68页练练 习习 题题第62页/共68页第63页/共68页第64页/共68页练习题答案练习题答案第65页/共68页第66页/共68页第67页/共68页感谢您的观看！第68页/共68页