稳定性定义与稳定性条件.pptx

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1、4.1.1 范数的概念 1.向量的范数 定定义义：n维向量空间 的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数 定义定义：mxn矩阵A的范数定义为:(4.2)第1页/共28页 (4.3)4.1.2 平衡状态 系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的，这样的状态称为系统的平衡状态平衡状态。根据平衡状态的定义可知,连续系统 的平衡状态 是满足平衡方程 即 的系统状态。离散系统 的平衡状态，是对所有的k，都满足平衡方程 的系统状态。第2页/共28页 首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A为奇异矩阵

2、时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。第3页/共28页 例4.1 求下列非线性系统的平衡状态 解 由 平 衡 状 态 定 义，平 衡 状 态 应满足:得非线性系统有三个平衡状态三个平衡状态：,.第4页/共28页4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定 定义定义:如果对于任意给定的每个实数 ,都对应存在着另一实数 ,使得从满足不等式 的任意初态 出发的系统响应,在所有的时间内都满足 则称系统的平衡状态 是稳定稳定的.若 与 的选取无关,则称平衡状态 是一致稳定一致稳定的.第5页/共28页2.渐近稳定

3、 定定义义：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 时，,即 ，则称平衡状态是渐进稳定渐进稳定的。3.大范围（渐近）稳定 定定义义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的，则称系统是大范围（渐进）稳定的。如果系统总是渐进稳定的，则称系统是大大范范围围渐进稳定渐进稳定的。第6页/共28页 4.不稳定 定定义义：如果对于某一实数 ，不论 取多小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越出 ，则称平衡状态为不稳定不稳定.上述定义对于离散系统也是适用的，只是将连续时间t理解为离散时间k。注注意意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自由运动状态。所以，通常通过分析系统的

4、零零输输入入响响应应，或者脉脉冲冲响响应应来分析系统的稳定性。第7页/共28页4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件 设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为:(4.5)第8页/共28页 设特征方程(4.5)有k个实根 ，r对共轭复根 ，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：1）若 ，均为负实部，则有 ，因此，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定稳定的；2）若 ，中有一个或者几个为正，则有 ，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部时，系统是不稳定不稳定的；第9页/共28页3）若 中有一个或者几个为零,而其它 ，

5、均为负，则有 为常数。若 中有一个或者几个为零，而其它 、均为负，则y(t)y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定临界稳定的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。结结论论：线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系系统统的的全全部部特特征征根根或或闭闭环环极极点点都都具有负实部，或者说都位于复平面左半部。具有负实部，或者说都位于复平面左半部。第10页/共28页 2.MIMO线性定常连续系统稳定的条件 描述MIMO线性定常连续系统的状态

6、方程为：（4.7）设A有相异特征值 ，则存在非奇异线性变换 ，使 为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:第11页/共28页 由于 ，所以，原状态方程的零输入解为:(4.8)可见 (4.9)将上式展开,的每个元素都是 的线性组合，所以可写成矩阵多项式:第12页/共28页 所以 (4.10)从上式可见，当A A的所有特征值位于复平面复平面左半平面左半平面，即 ，则对任意x(0)x(0)，有 ，系统渐进稳定。只要有一个特征值的实部大于零实部大于零，对于 ，系统不稳定。当有特征值的实部等于零实部等于零，而其它特征值的实部小于零实部小于零，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波

7、，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临界稳定的。第13页/共28页 当A具有重特征值时,x(t)含有 诸项，稳定性结论同上。结论：MIMO线性定常连续系统稳定的充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征值具有负实部，或者说都位于复平面左半部。第14页/共28页4.1.5 线性定常离散系统的稳定性 1.SISO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则系统输出的Z变换为：(4.11)现在讨论系统在单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下的输出响应序列。第15页/共28页 （1）有个互异的单极点 ，。Y(z)可以展成:相应的脉冲响应序列为:(4.12)如果所有的极点在单位圆

8、内,即 ，则 ，所以，系统是渐近稳定的。第16页/共28页 如 果 其 中 有 一 个 极 点 在 单 位 圆 上，设 ，而其余极点均在单位圆内，则 ，所以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临界稳定。如果有一个或一个以上的极点在单位圆外,则 ，所以，系统是不稳定的。第17页/共28页 （2）有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:由于特征方程是实系数，所以，必定是共轭的。设 第18页/共28页 代入上式得:(4.13)由此可见，该对复数极点若在单位圆内（），系统是渐近稳定的；若在单位圆外（），系 统 是 不 稳 定 的；在 单 位 圆 上（），系统是临界稳定的。第19页/共2

9、8页（3）含有重极点 不失一般性，设含有两重极点 ，则Y(z)可展开为:对应的脉冲响应序列为:(4.14)第20页/共28页 显然，若重极点在单位圆内，即 ，系统是渐近稳定的；重极点在单位圆外,即 ，系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即 ，由式（4.14）可得:系统是不稳定的。结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是，闭环脉冲传递函数的所有极点都位于平面的单位圆内。第21页/共28页 2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)做非奇异线性变换 ,式(4.15)变换为:(4.16)第22页/共28页 （1）A有n个互异的特征值 ，总可以找到一个非奇异阵

10、P，使矩阵 化为对角型，即 于是 (4.17)根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为 (4.18)第23页/共28页 变换回原来的变量，有 (4.19)由式(4.19)看出：当 时，的充分必要条件是 ，。（2）特征值是特征方程的重根 不失一般性，设为两重根。经非奇异线性变换可以化为下面的约当型：(4.20)第24页/共28页 状态方程(4.20)的状态转移矩阵为:齐次方程(4.20)的解为:(4.21)显然，当 时，都趋于零的充分必要条件是 。第25页/共28页 结论：线性定常离散系统稳定的充分必要条件是:所有特征值全部在复平面的单位圆内。第26页/共28页第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页