空间的直线方程.pptx

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1、在(1)式中，令则t为参数 （2）称（2）式为直线L的参数方程第1页/共44页约定：约定：第2页/共44页例例1 求过点求过点 A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线的直线 l 的对称式的对称式 方程、参数方程方程、参数方程.解：l 的方向则得 l 的对称式方程参数方程第3页/共44页2 2 空间直线一般方程称（3）式为空间直线L的一般方程 当把直线看作两个相交平面的交线时，直线L L的就可以写成联立方程组的形式：点P0 0(x0 0,y0 0,z0 0)在L L上的充要条件是：x0 0,y0 0,z0 0同时满足（3 3）式的两个平面方程.化一般方程为点向式方程或参数方程。第4页/共44页

2、例2 用对称方程及参数方程表示直线l：解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方向即可.第5页/共44页现求一定点.将联立方程组相加:令z=1得 x=3,y=1,得一定点(3,1,1).故得对称式 第6页/共44页即而得参数方程：x=3+4t,y=1 t,z=1 3t.t 为参数.第7页/共44页练习 用对称方程表示直线l：解：解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上上一定点和一定点和 l 的方向即可的方向即可.第8页/共44页现求一定点.将联立方程组令x=1得 y=

3、1,z=2,得一定点(1,1,2).故得对称式 第9页/共44页定理定理二 两直线的位置关系第10页/共44页第11页/共44页第12页/共44页三 点到直线的距离第13页/共44页四、两直线的夹角、直线与平面的夹角两直线两直线l1,l2的方向的方向s1,s2之间夹角称为该两之间夹角称为该两直线的夹角直线的夹角(通常指锐角通常指锐角).易知易知令s1=(m1,n1,p1),s2=(m2,n2,p2).1、两直线的夹角第14页/共44页特例：l1/l2 l1 l2 s1 s2=0 s1,s2线性相关.s1 s2=0第15页/共44页例例4 求直线求直线l1：直线直线l2：的夹角。的夹角。解：解：

4、两直线的方向向量分别为：两直线的方向向量分别为：第16页/共44页2 2、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角我们称直线我们称直线 l 与它所在平面与它所在平面 上的投影直线上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求通常要求 ).ln第17页/共44页设直线 l：平面 ：ln则 n 与 s 的夹角为 第18页/共44页【注】（2）一般情形平面 的法向量n,l的方向向量v，则有：（1）当直线 l 垂直与平面 时，其夹角为由此可知：（I）（II）第19页/共44页例例5 求直线求直线l：且有平面且有平面：则直线则直线l（）解：解：直线直线l的方向向量的方向向量（A）平

5、行平面）平行平面 （C）在平面在平面上上（B）垂直平面）垂直平面 （D）与平面与平面斜交斜交第20页/共44页定义定义定理定理五 平面束第21页/共44页第22页/共44页这样，方程第23页/共44页定理定理 第24页/共44页第25页/共44页第26页/共44页定义定义六 两直线之间的距离 若两直线相交则距离为0，若平行则两直线之间的距离等于任意一点到另一条直线之间的距离.第27页/共44页定理定理证明由上图的几何意义容易得到第28页/共44页第29页/共44页第30页/共44页【1】求过点M0(3,3,0)且与直线 l1:垂直相交的直线 l 的方程.解：M0M1 l1 设所求直线 l 与

6、l2 与交点为M1(x1,y1,z1).则 M0M1 s1=(1,1,2).本节综合习题本节综合习题第31页/共44页令 t+t+2 2t 6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为直线方向 s=M0M1=(1 3,1 3,2 0)=(2,2,2).第32页/共44页【2】设平面过直线 l1:且平行于直线l2：解：两直线的方向向量分别为求平面的方程。则平面的法向量故可假设平面的方程为：代入(1,2,3)，得D=2所以平面的方程为：第33页/共44页【3】过点P0(1,2,1)和直线 l1:的平面方程。解：由于P0不在平面上，故平面不为所求平面；通过直线l的全体平面可表

7、示为：由于点在所求平面上，故代入上式可得从而所求平面的方程为：第34页/共44页【练习】求直线 l1:x+y 1=0,y+z+1=0,在平面 :2x+y+2z=0 上的投影直线的方程.解：直线l1的方向=(1,1,1).第35页/共44页再求 l1 与 的交点M0(x0,y0,z0).即联立求解 x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.消元 x+y 1=0,y+z+1=0,y+2z+2=0.x+y 1=0,y+z+1=0,3z+3=0.M0l1nM1得(x0,y0,z0)=(1,0,1).第36页/共44页任取 l1上(不在 上)一点M1(x,y,z)=(0,1,2).作过 M1且

8、垂直于 的直线l2:M0l1nM1第37页/共44页设 l2 与 交点为M2(x2,y2,z2)，则相应参数 t 满足2 2t+1+t+2(2+2t)=0得交点 M2(x2,y2,z2)所求直线方程为即第38页/共44页思想：求直线与 交点M0；求直线上平面 外一点M1；求过 M1 垂直于 的直线 l2;求 l2 与 的交点M2；求过M0，M2 的投影直线方程.M0l1nM1第39页/共44页解解：由题意，只需求过：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直的平面束中的一个垂直于于 的平面的平面 1，即由直线的一般形式，即由直线的一般形式(也称也称交面式交面式)求得投影直线求得投影直线.过 l

9、 的平面束为 l下面我们用平面束来解题第40页/共44页得 1：投影直线为 x z 2=0,过 1,2x+y+2z=0,过.令 1=1,即第41页/共44页小结空间平面空间直线一般形式法点式截距式(三元一次方程)Ax+By+Cz+D=0.交面式对称式:参数形式:两点式:(一般形式)：三元一次方程组.x=x0+mt,y=y0+nt,z=z0+pt;第42页/共44页关系直线间夹角：平面间夹角：直线与平面间夹角：直线在平面上的投影：过直线的平面束中的一条垂直于已知平面的平面与已知平面的交线(交面式)点到直线的距离点到平面的距离Ax+By+Cz+D=0 s1,s2间夹角 n,n 间夹角与 s1,n 间夹角互余dMlsM0M0M1nn=(A,B,C)数量积 向量积平行相交垂直第43页/共44页感谢您的观看！第44页/共44页