空间直线方程.pptx

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1、直线方程的三种表示法：一般式、点直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；向式、参数式；主要内容主要内容空间直线的一般方程空间直线的一般方程第1页/共64页直线的点向式方程直线的点向式方程其中方向向量其中方向向量已知点已知点直线的参数方程直线的参数方程第2页/共64页两直线的夹角公式两直线的夹角公式 ；直线与平面的夹角公式。直线与平面的夹角公式。第3页/共64页定义定义 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第4页/共64页方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一

2、条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量二、空间直线的点向式方程与参数方二、空间直线的点向式方程与参数方程程注：注：同一条直线的方向向量有无穷多个。同一条直线的方向向量有无穷多个。有单位向量，还有一般的向量。有单位向量，还有一般的向量。第5页/共64页/下面导出直线的点向式方程下面导出直线的点向式方程直线的对称式方程直线的对称式方程第6页/共64页令令直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦称为直线的称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程下面得出直线的参数方程下面得出直线的参数方程在求直线上一点的坐标或

3、交点时，利用直线的在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的参数方程求解更加简便参数方程求解更加简便第7页/共64页直线的对称式方程直线的对称式方程直线的一般方程直线的一般方程下面从对称式方程得出直线的一般方程下面从对称式方程得出直线的一般方程第8页/共64页从空从空间直线的一般方程到对称式方程间直线的一般方程到对称式方程先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。注：直线方程的表示形式均不唯一。注：直线方程的表示形式均不唯一。第9页/共64页例例1 1 用点向式方程表示直线用点向式方程表示直线举例说明如何将直线的一般方程转化为举例说明如何将直线的一般方程转化

4、为点向式方程。点向式方程。方法一：用点向式表示直线方程方法一：用点向式表示直线方程方法二：用消元法求直线方程方法二：用消元法求直线方程第10页/共64页解解 方法一：方法一：点向式点向式下找所求直线的方向向量，由已知可知下找所求直线的方向向量，由已知可知于是点于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。是所求直线上的一点。先找直线上的一点，在直线方程中令先找直线上的一点，在直线方程中令z=0第11页/共64页用点向式写出直线方程用点向式写出直线方程第12页/共64页方法二：方法二：消元法求直线方程消元法求直线方程将方程将方程分别消去分别消去x，y得到得到第13页/共64页于是直线方程为于是直线方

5、程为化简整理得直线方程为化简整理得直线方程为第14页/共64页练练 习习解解第15页/共64页第16页/共64页定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角第17页/共64页两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，第18页/共64页解解从题意可得：两直线的方向向量为从题意可得：两直线的方向向量为于是，代入两直线的夹角公式于是，代入两直线的夹角公式第19页/共64页所以两直线的夹角为所以两直线的夹角为第20页/共64页练练 习习解解第21页/共64页第22页

6、/共64页第23页/共64页直线方程的三种表示法：一般式、点直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；向式、参数式；回顾回顾空间直线的一般方程空间直线的一般方程第24页/共64页直线的点向式方程直线的点向式方程其中方向向量其中方向向量已知点已知点直线的参数方程直线的参数方程第25页/共64页两直线的夹角公式两直线的夹角公式 ；第26页/共64页解解3737页页 习题习题8-48-4第27页/共64页第28页/共64页解解第29页/共64页定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角

7、第30页/共64页直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式第31页/共64页直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：第32页/共64页解解从题意可得：已知平面的法向量就是从题意可得：已知平面的法向量就是所求直线的方向向量。所求直线的方向向量。于是，直线的方程为于是，直线的方程为第33页/共64页解解为所求夹角为所求夹角练练 习习第34页/共64页五、综合举例五、综合举例解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取第35页/共64页所求直线的方程所求直线的方程第36页/共64页解解练练 习习第37页/共64页于是所求平面方程为于是所求平面方程为即即第38页/共6

8、4页解解即求方程组即求方程组的解。的解。利用直线的参数方程求解更简便利用直线的参数方程求解更简便第39页/共64页 设设 代入题中平面方程代入题中平面方程 代入参数方程中得：代入参数方程中得：于是所求交点坐标为于是所求交点坐标为中得：中得：第40页/共64页解解练练 习习第41页/共64页设设代入平面方程代入平面方程综上，投影坐标为综上，投影坐标为第42页/共64页例例6方法一：方法一：点向式求直线方程。关键在于求点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过出两条直线的交点。用过A A的直线与垂直已的直线与垂直已知平面的交点来求。知平面的交点来求。方法二：方法二：点向式求直线方程。假设交

9、点坐点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。标，解未知数的方法来求。方法三：方法三：利用所求直线是由两个平面的交利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：线来求。这两个平面分别是：1 1、过已知点过已知点和已知直线的平面；和已知直线的平面；2、过点过点A且垂直于已且垂直于已知直线的平面。知直线的平面。第43页/共64页解解先作一过点先作一过点A且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点B,例例6方法一：方法一：点向式求直线方程。关键在于求点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过出两条直线的交点。用过A A

10、的直线与垂直已的直线与垂直已知平面的交点来求。知平面的交点来求。第44页/共64页令令代入平面方程得代入平面方程得取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为第45页/共64页所求直线方程为所求直线方程为第46页/共64页解解先求出直线上任意一点先求出直线上任意一点B的坐标的坐标例例6方法二：点向式求直线方程。假设交点坐方法二：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。标，解未知数的方法来求。第47页/共64页取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为第48页/共64页所求直线方程为所求直线方程为第49页/共64页解解例例6方法三：方法三：利用所求直线是由两个平面的交利用所求直线是

11、由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：线来求。这两个平面分别是：1 1、过已知点过已知点和已知直线的平面；和已知直线的平面；2、过点过点A且垂直于已且垂直于已知直线的平面。知直线的平面。第50页/共64页下求过已知点和已知直线的平面。下求过已知点和已知直线的平面。第51页/共64页第52页/共64页练练 习习第53页/共64页练练 习习方法一：方法一：用所求直线在用所求直线在A A与直线与直线1 1确定的平确定的平面上，同时也在面上，同时也在A A与直线与直线2 2确定的平面上来确定的平面上来求。即所求直线为两平面的交线。求。即所求直线为两平面的交线。方法二：方法二：点向式求直线方程。假设两

12、个交点向式求直线方程。假设两个交点分别为点分别为B B、C C。利用交点与。利用交点与A A共线来求。共线来求。第54页/共64页解解第55页/共64页第56页/共64页第57页/共64页第58页/共64页设直线设直线L的一般方程为的一般方程为其中其中下面研究方程下面研究方程用平面束解题用平面束解题与与不成比例不成比例通过直线通过直线L的所有平面的全体，称为通过的所有平面的全体，称为通过直线直线L的平面束。的平面束。第59页/共64页解解第60页/共64页所求投影直线方程为所求投影直线方程为第61页/共64页解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为练练 习习第62页/共64页由题设知由题设知由此解得由此解得代回平面束方程为代回平面束方程为第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页