空间解析几何与向量代数.pptx

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1、2023/2/171横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间点的直角坐标即以右手握住z轴，当右手的四个手指 从正向轴以角 度转向正向y轴时，大拇指的指向 就是z轴的正向第一节第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系第1页/共213页2023/2/172面面面空间直角坐标系共有八个卦限第2页/共213页2023/2/173空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点第3页/共213页2023/2/174二、空间两点间的距离第4页/共213页2023/2/175空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为第5页/共213页2023/2/176解解原结论成立.第6页/共

2、213页2023/2/177向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或第二节第二节 向量代数向量代数自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.第7页/共213页2023/2/178相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原

3、点构成的向量构成的向量.确定一个向量的两个要素确定一个向量的两个要素:方向和大小方向和大小(模模).).第8页/共213页2023/2/1791 加法：（平行四边形法则）特殊地：若 分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法第9页/共213页2023/2/1710向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法第10页/共213页2023/2/1711三、向量与数的乘法(数乘)第11页/共213页2023/2/1712数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）

4、结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系第12页/共213页2023/2/1713按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.第13页/共213页2023/2/1714例例1 1 化简解解第14页/共213页2023/2/1715例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证证与 平行且相等,结论得证.第15页/共213页2023/2/1716四、向量的投影(投影定理)第16页/共213页2023/2/1717空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或空

5、间两轴空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.第17页/共213页2023/2/1718空间一点在轴上的投影第18页/共213页2023/2/1719空间一向量在轴上的投影第19页/共213页2023/2/1720关于向量的关于向量的投影定理投影定理第20页/共213页2023/2/1721定理的说明：定理的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；第21页/共213页2023/2/1722五、向量的坐标五、向量的坐标第22页/共213页2023/2/1723第23页/共213页2023/2/1724 向量在 轴上的

6、投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影第24页/共213页2023/2/1725按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的坐标坐标：向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：（向径）第25页/共213页2023/2/1726向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式第26页/共213页2023/2/1727非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.六、向量的模与方向余弦的坐标表示式第27页/共213页2023/2/1728由图分析可知向向

7、量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第28页/共213页2023/2/1729当 时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第29页/共213页2023/2/1730方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为第30页/共213页2023/2/1731解解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向或第31页/共213页2023/2/1732解解第32页/共213页2023/2/1733第33页/共213页2023/2/1734解解第34页/共213页2023/2/1735启示启示实例实例

8、两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积第三节第三节 数量积数量积 向量积向量积第35页/共213页2023/2/1736数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.第36页/共213页2023/2/1737关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证第37页/共213页2023/2/1738数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：（3 3）若）若 为数为数：

9、若若 、为数为数：第38页/共213页2023/2/1739设数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式第39页/共213页2023/2/1740两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为第40页/共213页2023/2/1741解解第41页/共213页2023/2/1742证证第42页/共213页2023/2/1743实例实例二、两向量的向量积第43页/共213页2023/2/1744定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.第44页/共213页2023/2/1745向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：

10、（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：证证/第45页/共213页2023/2/1746设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式第46页/共213页2023/2/1747向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出第47页/共213页2023/2/1748补充补充例如，第48页/共213页2023/2/1749解解第49页/共213页2023/2/1750解解三角形ABC的面积为第50页/共213页2023/2/1751解解第51页/共213页2023/2/1752定义定义设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积第52页/共213页2023/2/1753（1）向量混合积的几

11、何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：第53页/共213页2023/2/1754水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：一、曲面方程的概念第四节第四节 曲面及其方程（一）曲面及其方程（一）第54页/共213页2023/2/1755以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为第55页/共213页2023/2/1756解解根据题意有所求方程为第56页/共213页2023/2/1757根据题意有化简得所求方程解解第57页/共213页2023/2/1758例例4 4 方程 的图形是怎样的？根据题意

12、有图形上不封顶，下封底解解第58页/共213页2023/2/1759以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第59页/共213页2023/2/1760二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴播放播放第60页/共213页2023/2/1761旋转过程中的特征：

13、如图将 代入第61页/共213页2023/2/1762将 代入得方程第62页/共213页2023/2/1763解解 圆锥面方程第63页/共213页2023/2/1764例例6 6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转双曲面第64页/共213页2023/2/1765旋转椭球面旋转抛物面第65页/共213页2023/2/1766播放播放定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.第66页/共213页2023/2/1767

14、柱面举例抛物柱面平面第67页/共213页2023/2/1768从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 /轴双曲柱面 /轴抛物柱面 /轴第68页/共213页2023/2/1793空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程第四节第四节 空间曲线及其方程（二）空间曲线及其方程（二）第93页/共213页2023/2/1794例例1 1 方程组 表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.第94页/共213页2023/2/1795例例2 2

15、 方程组 表示怎样的曲线？解解上半球面,圆柱面,交线如图.第95页/共213页2023/2/1796空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程第96页/共213页2023/2/1797 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程取时间t为参数，解解第97页/共213页2023/2/1798螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比即上升的高度螺距第98页/共213页2023/2/1799消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间

16、曲线在坐标面上的投影第99页/共213页2023/2/17100如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第100页/共213页2023/2/17101类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线投影曲线,面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线投影曲线第101页/共213页2023/2/17102例例4 4 求曲线 在坐标面上的投影.解解（1）消去变量z后得在 面上的投影为第102页/共213页2023/2/17103所以在 面上的投影为线段.（3）同理在 面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面 上，第103页/共213页2023/2/17104截线方程为解解

17、如图,第104页/共213页2023/2/17105第105页/共213页2023/2/17106补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面第106页/共213页2023/2/17107例例6解解 半球面和锥面的交线为一个圆,第107页/共213页2023/2/17108 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量已知设平面上的任一点为必有一、平面的点法式方程第五节第五节 平面及其方程（一）平面及其方程（一）第108页/

18、共213页2023/2/17109平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形其中法向量已知点第109页/共213页2023/2/17110解解取所求平面方程为化简得第110页/共213页2023/2/17111取法向量化简得所求平面方程为解解第111页/共213页2023/2/17112由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量二、平面的一般方程第112页/共213页2023/2/17113平面一般方程的几

19、种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.第113页/共213页2023/2/17114设平面为由平面过原点知所求平面方程为解解第114页/共213页2023/2/17115设平面为将三点坐标代入得解解第115页/共213页2023/2/17116将代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程第116页/共213页2023/2/17117设平面为由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）解解第117页/共213页2023/2/17118化简得令代入体积式所求平面方程为第118页/共

20、213页2023/2/17119定义定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.三、两平面的夹角第119页/共213页2023/2/17120按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/第120页/共213页2023/2/17121例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角第121页/共213页2023/2/17122两平面平行两平面平行但不重合两平面平行两平面重合.第122页/共213页2023/2/17123解解第123页/共213页2023/2/17124第124页

21、/共213页2023/2/17125点到平面距离公式点到平面距离公式第125页/共213页2023/2/17126定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程第五节第五节 空间直线及其方程（二）空间直线及其方程（二）第126页/共213页2023/2/17127方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程第127页/共213页2023/2/17128直线的对称式方程直线的

22、对称式方程令直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程第128页/共213页2023/2/17129例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点取解得点坐标第129页/共213页2023/2/17130因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程第130页/共213页2023/2/17131解解所以交点为取所求直线方程第131页/共213页2023/2/17132定义定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角第132页/共213页2

23、023/2/17133两直线的位置关系：两直线的位置关系：/直线直线例如，第133页/共213页2023/2/17134解解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程第134页/共213页2023/2/17135解解先作一过点M且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点N,令第135页/共213页2023/2/17136代入平面方程得 ,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为第136页/共213页2023/2/17137定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角第137页/共213页20

24、23/2/17138直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/第138页/共213页2023/2/17139解解为所求夹角第139页/共213页2023/2/17140二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面第

25、六节 二次曲面第140页/共213页2023/2/17141（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：第141页/共213页2023/2/17142椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面 的交线为椭圆同理与平面 和 的交线也是椭圆.第142页/共213页2023/2/17143椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为与平面 的交线为圆.第143页/共213页2023/2/17144球面球面截面上圆的方程方程可写为第144页/共213页2023/2/17145（二）抛物

26、面（二）抛物面（与 同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.第145页/共213页2023/2/17146与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆的中心中心都在 轴上.与平面 不相交.（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线第146页/共213页2023/2/17147与平面 的交线为抛物线.它的轴平行于 轴顶点（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得抛物线.同理当 时可类似讨论.第147页/共213页2023/2/17148zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：第148页/共213页2023/2/17149特殊地：当 时，

27、方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）与平面 的交线为圆.当 变动时，这种圆的中心中心都在 轴上.第149页/共213页2023/2/17150（与 同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo第150页/共213页2023/2/17151（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点 的椭圆.第151页/共213页2023/2/17152与平面 的交线为椭圆.当 变动时，这种椭圆的中心中心都在 轴上.（2）用坐标面 与曲面相截截得中心在原点的双曲线.实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.第152

28、页/共213页2023/2/17153双曲线的中心中心都在 轴上.与平面 的交线为双曲线.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.截痕为一对相交于点 的直线.第153页/共213页2023/2/17154截痕为一对相交于点 的直线.（3）用坐标面 ，与曲面相截均可得双曲线.第154页/共213页2023/2/17155单叶双曲面图形 xyoz平面 的截痕是两对相交直线两对相交直线.第155页/共213页2023/2/17156双叶双曲面双叶双曲面xyo第156页/共213页2023/2/17157第一章第一章 空间解析几何空间解析几何与向量代数与向量代数习题课习题课主要

29、内容典型例题第157页/共213页2023/2/17158一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何第158页/共213页2023/2/17159向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积混合积混合积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数第159页/共213页2023/2/171601 1、向量的概念、向量的概念定义:既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、相等向量、负向量、向径.重要概念:零向量、向量的模、单位向量、平行向量、第160页/共213页2023/2/17161(1)加法：2 2、

30、向量的线性运算、向量的线性运算(2)减法：(3)向量与数的乘法：第161页/共213页2023/2/17162向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：3 3、向量的表示法、向量的表示法第162页/共213页2023/2/17163向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式第163页/共213页2023/2/17164向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第164页/共213页2023/2/171654 4、数量积、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式第165页/共213页2023/2/171665 5、向量积、向量积(叉积、外积)向

31、量积的坐标表达式第166页/共213页2023/2/17167/6 6、混合积、混合积第167页/共213页2023/2/17168直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何第168页/共213页2023/2/17169横轴纵轴竖轴定点1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点有序数组第169页/共213页2023/2/17170空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点,

32、三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.第170页/共213页2023/2/17171它们距离为两点间距离公式:第171页/共213页2023/2/17172曲面方程的定义：2 2、曲面、曲面第172页/共213页2023/2/17173研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.第173页/共213页2023/2/17174方程特点:第174页/共213页2023/2/17175（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面第175页/共2

33、13页2023/2/171762 柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.第176页/共213页2023/2/17177从柱面方程看柱面的特征：(1)平面 第177页/共213页2023/2/17178(3)抛物柱面(4)椭圆柱面(2)圆柱面 第178页/共213页2023/2/171793 二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面第179页/共213页2023/2/17180（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面第180页/共213页2023/2/171813 3、空间曲线、空间曲线

34、1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程第181页/共213页2023/2/17182如图空间曲线一般方程为参数方程为第182页/共213页2023/2/171833 空间曲线在坐标面上的投影消去变量z后得：设空间曲线的一般方程：曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线第183页/共213页2023/2/17184如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第184页/共213页2023/2/171854 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面第185页/共213页2023/2/171864 4、平面、平面1 平面的点法式方程2 平面的一般方程3 平面的截距式方程第1

35、86页/共213页2023/2/171874 平面的夹角5 两平面位置特征：/第187页/共213页2023/2/171885 5、空间直线、空间直线1 空间直线的一般方程第188页/共213页2023/2/171893 空间直线的参数方程2 空间直线的对称式方程第189页/共213页2023/2/17190直线直线两直线的夹角公式4 两直线的夹角第190页/共213页2023/2/171915 两直线的位置关系：/6 直线与平面的夹角第191页/共213页2023/2/17192直线与平面的夹角公式7 直线与平面的位置关系/第192页/共213页2023/2/17193二、典型例题二、典型例

36、题例例1 1解解由题设条件得解得第193页/共213页2023/2/17194例例2 2解解过已知直线的平面束方程为第194页/共213页2023/2/17195由题设知由此解得代回平面束方程为第195页/共213页2023/2/17196例例3 3解解将两已知直线方程化为参数方程为第196页/共213页2023/2/17197即有第197页/共213页2023/2/17198第198页/共213页2023/2/17199例例4 4解解第199页/共213页2023/2/17200所求投影直线方程为第200页/共213页2023/2/17201例例5 5解解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为第

37、201页/共213页2023/2/17202测测 验验 题题 第202页/共213页2023/2/17203第203页/共213页2023/2/17204第204页/共213页2023/2/17205第205页/共213页2023/2/17206第206页/共213页2023/2/17207第207页/共213页2023/2/17208第208页/共213页2023/2/17209第209页/共213页2023/2/17210第210页/共213页2023/2/17211测验题答案测验题答案第211页/共213页2023/2/17212第212页/共213页2023/2/17213感谢您的观看！第213页/共213页