热学第二章气体动理论幻灯片.ppt

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1、热学第二章气体动理论第1页，共45页，编辑于2022年，星期日分子集体运分子集体运动状状态描述。描述。气体分子按速气体分子按速率的分布率的分布气体分子按能量气体分子按能量的分布的分布气体气体压强气体温度气体温度用用统计方方法法本本 章章 要要 求求 掌握理想气体掌握理想气体压强的微的微观公式。公式。掌握理想气体温度的微掌握理想气体温度的微观统计意意义。掌握能量均分定理。掌握能量均分定理。掌握麦克斯韦速率分布率。掌握麦克斯韦速率分布率。第2页，共45页，编辑于2022年，星期日2.1 2.1 理想气体压强理想气体压强思路思路:压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生。压强由大量气体分子不断碰撞容器

2、壁而产生。压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁单位面积上的平均冲量。压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁单位面积上的平均冲量。建立理想气体微建立理想气体微观模型观模型单个粒子的运动遵从经典力学规律单个粒子的运动遵从经典力学规律大量粒子无规则运动遵从统计规律大量粒子无规则运动遵从统计规律得出结得出结论论一一.理想气体理想气体 模型模型a.单个分子的经典力学假设单个分子的经典力学假设对理想气体的微观假设对理想气体的微观假设(1)(1)气体分子可视为质点气体分子可视为质点(2)(2)除碰撞瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用力除碰撞瞬间外，分子之间以及分子与器壁之间无相互作用力(3)

3、(3)碰撞为完全弹性碰撞，即碰撞前后动能守恒碰撞为完全弹性碰撞，即碰撞前后动能守恒第3页，共45页，编辑于2022年，星期日b.b.统计概念和统计假设统计概念和统计假设:2.2.分子以各种方向入射角去碰分子以各种方向入射角去碰dsds面的概率相同，或说：分子按位置面的概率相同，或说：分子按位置 的分布是均匀的。的分布是均匀的。3.3.平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，或说：分子速度按平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，或说：分子速度按方向的分布是均匀的，因而有：方向的分布是均匀的，因而有：1.1.分子的运动速度各不相同，而且通过碰撞不断发生变化。分子的运动速度各不相同，而且通过碰

4、撞不断发生变化。二二.理想气体压强公式的推导理想气体压强公式的推导:把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差把所有分子按速度分为若干组，在每一组内的分子速度大小，方向都差不多。不多。以以n ni i表示第表示第i i组分子的分子数密度，组分子的分子数密度，总的分子数密度为总的分子数密度为:设第设第i i组分子的速度在组分子的速度在 区间内。区间内。第4页，共45页，编辑于2022年，星期日v vdsdsx xv vixixdtdt速度在速度在的分子一次碰撞的分子一次碰撞ds后的施与器壁冲量为后的施与器壁冲量为dt时间内时间内,凡是在底面积为凡是在底面积为ds,高为高为vi

5、xdt 的斜柱体内的斜柱体内,且速度在且速度在 的分子都能与的分子都能与ds相碰。这些分子作用于相碰。这些分子作用于dsds冲量为冲量为推导理想气体压强公式用图推导理想气体压强公式用图dtdt内各种速度分子对内各种速度分子对ds ds 的总冲量为的总冲量为:X第5页，共45页，编辑于2022年，星期日因而因而 压强压强由于由于这些分子作用于这些分子作用于 ds ds 冲量为冲量为dtdt内各种速度分子对内各种速度分子对ds ds 的总冲量为的总冲量为:平衡状态下分子沿任何方平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势向的运动都不占优势由于由于所以所以其中其中为分子的平均平动动能为分子的平均平动动能

6、第6页，共45页，编辑于2022年，星期日2.2 2.2 温度微观意义温度微观意义温度是气体分子平均平动动能的量度，具有统计意义。温度是气体分子平均平动动能的量度，具有统计意义。2）温度反映了统计的概念。组成系统的大量微观粒子的无规则运动的）温度反映了统计的概念。组成系统的大量微观粒子的无规则运动的剧烈程度。单个分子的温度是无意义的。剧烈程度。单个分子的温度是无意义的。3）温度所反映的运动是温度所反映的运动是质心系质心系中表现的分子的中表现的分子的无规则无规则运动。运动。对温度概念的理解：对温度概念的理解：1）描述热力学系统平衡态的一个物理量。）描述热力学系统平衡态的一个物理量。温度的微观意义

7、，从统计物理角度看，热力学系统的温度是分子平均平温度的微观意义，从统计物理角度看，热力学系统的温度是分子平均平动动能的量度。分子热运动的平均转动动能和振动动能也都和温度有直动动能的量度。分子热运动的平均转动动能和振动动能也都和温度有直接的关系。接的关系。第7页，共45页，编辑于2022年，星期日 方均根速率是分子速率的一种统计平均值。方均根速率是分子速率的一种统计平均值。方均根速率方均根速率 （A）温度相同、压强相同。）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。）温度、压强都不同。（C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强.（D）温度相同，但氦气的压强小

8、于氮气的压强）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.解解 一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们们都处于平衡状态，则它们讨讨 论论第8页，共45页，编辑于2022年，星期日（2 2）氧气分子的质量）氧气分子的质量（3 3）分子平均平动动能）分子平均平动动能（1 1）单位体积内的分子数）单位体积内的分子数例例:一容器内贮有氧气，其压强一容器内贮有氧气，其压强 ，温，温度度t=27t=27，求：，求：（1 1）单位体积内的分子数；）单位体积内的分子数；（2 2）氧分子的质量；）氧分子的质量；（3 3）

9、分子的平均平动动能。）分子的平均平动动能。压强不太高，温度不太低，可视为理想气体。压强不太高，温度不太低，可视为理想气体。解：解：由由第9页，共45页，编辑于2022年，星期日2.32.3能量均分定理能量均分定理 确定一个物体的空间位置所需要的确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标独立坐标数数 目。用目。用i i表示表示1.1.自由度自由度:例如例如:一个一个质点的自由度点的自由度自由运自由运动的的质点点:t =3 (x,y,z)被限制在平面内：被限制在平面内：t =2被限制在直被限制在直线上：上：t =1刚体：体：平平动+转动单原子分子单原子分子:i=3i=3，如，如HeHe、NeNe等。等

10、。a.a.单原子分子可视为质点，确定其空间位置需三个独立坐标单原子分子可视为质点，确定其空间位置需三个独立坐标第10页，共45页，编辑于2022年，星期日b.b.刚性双原子分子刚性双原子分子ox yzC(x,y,z)1号原子定位号原子定位:t=3 2号原子定位号原子定位:需确定它需确定它们连线的方位的方位,由由决定决定,不独立不独立这两个自由度两个自由度为转动自由度自由度,表示表示为r=2。刚性双原子分子刚性双原子分子:C.刚性多原子分子刚性多原子分子3个平动自由度个平动自由度,3个转动自由度个转动自由度第11页，共45页，编辑于2022年，星期日例：求温度在例：求温度在30时氧气分子的平均平

11、动动能，平均动能，平时氧气分子的平均平动动能，平均动能，平均能量以及均能量以及410-3kg的氧气的内能？的氧气的内能？在常温下，分子的振动可以忽略，在温度为在常温下，分子的振动可以忽略，在温度为T的平衡态下，对双的平衡态下，对双原子的氧气分子，由能量均分定理原子的氧气分子，由能量均分定理1、平均平动动能、平均平动动能2、平均动能为、平均动能为解：解：第12页，共45页，编辑于2022年，星期日3、氧分子的平均能量等于分子平均动能、氧分子的平均能量等于分子平均动能4、由理想气体内能公式得、由理想气体内能公式得也可由氧分子的平均能量来求也可由氧分子的平均能量来求第13页，共45页，编辑于2022

12、年，星期日由理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关系为由理想气体温度公式，分子平均平动动能与温度关系为2 2 能量均分定理能量均分定理 在温度为在温度为T T的平衡态下的平衡态下,气体分子每个自由度的平均动能气体分子每个自由度的平均动能都相等，而且等于都相等，而且等于刚性双原子分子除平动动能外，还有转动动能刚性双原子分子除平动动能外，还有转动动能 上述结论可推广到振动和转动。上述结论可推广到振动和转动。第14页，共45页，编辑于2022年，星期日 在平衡态时，没有哪一个自由度或哪一种运动形式占优势，分在平衡态时，没有哪一个自由度或哪一种运动形式占优势，分子平均动能只能按自由度均匀分配。子平

13、均动能只能按自由度均匀分配。能量均分定律是一个统计规律，是分子在热运动过程中频繁碰撞的结果。能量均分定律是一个统计规律，是分子在热运动过程中频繁碰撞的结果。它只适用于大量分子的集体。它只适用于大量分子的集体。分子在热运动过程中，能量可以从一个分子转移到另一个分子，从分子在热运动过程中，能量可以从一个分子转移到另一个分子，从一种运动形式转移到另一种运动形式，或从一个自由度转移到另一个自一种运动形式转移到另一种运动形式，或从一个自由度转移到另一个自由度。由度。分子的平均总动能为分子的平均总动能为:理想气体分子平均总动能理想气体分子平均总动能单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分

14、子第15页，共45页，编辑于2022年，星期日重要结论：重要结论：理想气体内能仅是温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。理想气体内能仅是温度的单值函数，与气体的压强、体积无关。单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子多原子分子多原子分子 一般只考虑前两种。对于理想气体，不计分子间势能，内能一般只考虑前两种。对于理想气体，不计分子间势能，内能仅包括所有分子的平均动能之和。仅包括所有分子的平均动能之和。3.3.理想气体的内能理想气体的内能 是热力学系统的全部微观粒子具有能量总和。包括大量分子是热力学系统的全部微观粒子具有能量总和。包括大量分子热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。

15、热运动的动能、分子间的势能、分子内原子内及核内的能量。第16页，共45页，编辑于2022年，星期日 2.4 麦克斯麦克斯韦速率分布律速率分布律单个分子速率不可个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循知，大量分子的速率分布是遵循统计规律律，是确定的。是确定的。1859年麦克斯年麦克斯韦用概率用概率论证明确有一种明确有一种规律。我律。我们称它称它为麦麦克斯克斯韦速率分布律。速率分布律。按按统计假假设分子速率通分子速率通过碰撞不断改碰撞不断改变，不好，不好说正正处于哪个速率的于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区分子数多少，但用某一速率区间内分子数占内分子数占总分子数的比例分子数的比例为多少的概

16、多少的概念比念比较合适，合适，这就是分子按速率的分布。就是分子按速率的分布。一一、问题的提出的提出二二、速率分布函数速率分布函数第17页，共45页，编辑于2022年，星期日数学上数学上,给出出Y(x)函数函数,可得可得Y与与x的的对应关系，关系，绘出出Y(x)x曲曲线,该曲曲线可可谓Y随随x变化的化的规律。律。物理上物理上,给出出f(v)函数函数,可得可得f与与v的的对应关系关系,绘出出f(v)v曲曲线,该曲曲线可可谓f随随v变化的化的规律。律。f(v)voY(x)xo类 比比第18页，共45页，编辑于2022年，星期日把气体分子按速率区把气体分子按速率区间分分组。例如以。例如以10m/s的的

17、间隔隔,可分可分为010，1020，2030 m/s，。每个小阴影面每个小阴影面积为相相应速率区速率区间内分子数的百分数内分子数的百分数相当数学上相当数学上:f(v)v 10o1 2 3 45 67 8 910 S第19页，共45页，编辑于2022年，星期日氧气分子速率在氧气分子速率在273K分布情况分布情况f(v)v 100o1 2 3 45 67 8 910(m/s)速率区速率区间(m/s)百分数百分数100以下以下100200200300300400400500500600600700700800800900900以上以上1.408.1016.521.420.615.19.204.802

18、.000.90第20页，共45页，编辑于2022年，星期日对应关系关系取取 v0,则of(v)v第21页，共45页，编辑于2022年，星期日三、三、麦克斯韦分子速率分布函数麦克斯韦分子速率分布函数在温度为在温度为T的平衡态下，理想气体分子速率在的平衡态下，理想气体分子速率在 vv+dv 范围内的概率范围内的概率速率分布函数速率分布函数-概率密度概率密度麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数满足归满足归-化条件化条件:麦克斯麦克斯韦给出出：在平衡在平衡态下下,气体分子速率在气体分子速率在 v v+dv 区区间内的分内的分子数占子数占总分子数的百分比分子数的百分比为第22页，共45页，编辑于20

19、22年，星期日vv2vp vv+dv f(vp)o f(v)v1四、讨论四、讨论:（1）f(v)曲线下面积的物理意义寛曲线下面积的物理意义寛度为度为dv的窄条面积的窄条面积:曲线下总面积曲线下总面积:v1v2区间的面积区间的面积:第23页，共45页，编辑于2022年，星期日（3）最概然速率（最可几速率）最概然速率（最可几速率）曲线曲线f(v)中极大值所对应的速率中极大值所对应的速率 vpvp 的物理意义：的物理意义：vp 附近概率密度最大附近概率密度最大（同样速率间隔（同样速率间隔dv,速率在速率在 vp vp+d v 的分子数最多的分子数最多)由由及及 f(vp)vp vv2vv+dvo f

20、(v)v1（2）由由同理同理可得速率可得速率 vp第24页，共45页，编辑于2022年，星期日f(v)f(v)为速率分布函数，为速率分布函数，n n为分子数密度为分子数密度注意区分以下几种表达式的含义！注意区分以下几种表达式的含义！表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内内的分子数。的分子数。(1)(1)表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分子数。内的分子数。(2)(2)第25页，共45页，编辑于2022年，星期日 表示分布在单位体积内，速率区间表示分布在单位体积内，速率区间 内内的分子数。的分子数。表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的平均分子数内的平均分子数。

21、(3)(3)(4)(4)第26页，共45页，编辑于2022年，星期日4.4.气体的三种统计速率气体的三种统计速率 速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应中的极大值对应 的分子速率的分子速率 。由极值条件：由极值条件：a.a.最概然速率大小最概然速率大小:而：而：第27页，共45页，编辑于2022年，星期日气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。b.b.平均速率平均速率:气体分子速率平方的平均值的平方根。气体分子速率平方的平均值的平方根。c.c.方均根速率方均根速率：第28页，共45页，编辑于2022年，星期日同种理想气体同一温度下同种理想气体同一温度下三种速率比较三种速率比较:三

22、种速率均与三种速率均与 成正比，与成正比，与 成反比，但三成反比，但三者有一个确定的比例关系者有一个确定的比例关系;三种速率使用于不同的三种速率使用于不同的场合。场合。第29页，共45页，编辑于2022年，星期日1.1.对对同一种气体同一种气体，三种速率均与温度三种速率均与温度T T开平方成正比；开平方成正比；温度越高，分子各种速率均增加，曲线右移。温度越高，分子各种速率均增加，曲线右移。T T1 1=73 K=73 KO O2 2v vf(v)f(v)T T2 2=273 K=273 K2.2.同一温度同一温度下，不同物质三种速率均与质量下，不同物质三种速率均与质量m m开平方成反比。开平方

23、成反比。分子质量越小，速率越大，分布曲线右移。分子质量越小，速率越大，分布曲线右移。v vf(v)f(v)273K273KO O2 2H H2 2第30页，共45页，编辑于2022年，星期日说明说明:1三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计规律，三种统计速率都反映了大量分子作热运动的统计规律，它们都与温度它们都与温度成正比，与分子质量成正比，与分子质量(或或)成反比成反比。在室温下，对质量的分子来说，三种速率数量级一般为每秒。在室温下，对质量的分子来说，三种速率数量级一般为每秒几百米。最概然速率最小，方均根速率最大。几百米。最概然速率最小，方均根速率最大。2三种速率应用于不同问题的研究中。

24、例如：三种速率应用于不同问题的研究中。例如：用来计算分子的平均平动动能，在讨论气体压强用来计算分子的平均平动动能，在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。和温度的统计规律中使用。用来讨论分子的碰撞，计算分子运动的平均距离，用来讨论分子的碰撞，计算分子运动的平均距离，平均碰撞次数等。平均碰撞次数等。由于它是速率分布曲线中极大值所对应的速率，所由于它是速率分布曲线中极大值所对应的速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用以在讨论分子速率分布时常被使用。第31页，共45页，编辑于2022年，星期日例：在例：在300K时空气中速率在时空气中速率在1、vp附近；附近；2、10 vp附近，单位速附近，单位速率区

25、间（率区间（dv=1m/s)的分子数占总分子数的百分比各是多少？平的分子数占总分子数的百分比各是多少？平均来讲，均来讲，105mol的空气中这区间的分子数又是多少？空气的摩尔的空气中这区间的分子数又是多少？空气的摩尔质量按质量按29g/mol计）计）麦克斯韦速率分布率为麦克斯韦速率分布率为当当T=300K时时解：解：第32页，共45页，编辑于2022年，星期日1、落在、落在v=vp,dv=1m/s区间分子数的概率为区间分子数的概率为2、同理落在、同理落在v=10vp,dv=1m/s区间分子数的概率为区间分子数的概率为3、105mol空气中，在空气中，在v=vp附近附近,dv=1m/s区间内的分

26、子数为区间内的分子数为4、同理，在、同理，在10 vp附近，附近，dv=1m/s区间的分子数为区间的分子数为 N2=0第33页，共45页，编辑于2022年，星期日例：有例：有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为1、作速率分布曲线并求常数、作速率分布曲线并求常数a；2、分别求速率大于、分别求速率大于v0和小于和小于v0的粒子数；的粒子数；3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。vof(v)v0a2v0解：解：1、由归一化条件、由归一化条件第34页，共45页，编辑于2022年，星期日2、3、第35页，共45页，编辑于2022年，星期日例例：试试计计算算气气体体分分子子热热运运动动速

27、速率率的的大大小小介介于于 v vp p-v vp p/100/100 和和 v vp p+v+vp p/100 100 之间的分子数占总分子数的百分比。之间的分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦速率分布律可改写成如下形式：麦克斯韦速率分布律可改写成如下形式：按题意按题意解解:而：而：第36页，共45页，编辑于2022年，星期日 2.9 2.9 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程 平衡态下，一个分子在单位时平衡态下，一个分子在单位时间内受到的平均碰撞次数。间内受到的平均碰撞次数。若若 时间内，分子运动平均速度为时间内，分子运动平均速度为则分子运动平均自由程为则分子运动平均自由程为 一定宏观

28、条件下，气体分子在连一定宏观条件下，气体分子在连续两次碰撞间所通过的自由路程的续两次碰撞间所通过的自由路程的平均值。平均值。1.1.平均自由程平均自由程2.2.平均碰撞频率平均碰撞频率第37页，共45页，编辑于2022年，星期日 在在 A运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子，其中心与为半径的圆柱体内的分子，其中心与A 中心间距小于中心间距小于d的（即凡是中心在此圆柱体内的分子），都将与分的（即凡是中心在此圆柱体内的分子），都将与分子子A 碰撞碰撞该圆柱体的面积该圆柱体的面积 称为称为碰撞截面碰撞截面设分子设分子 A 以相对平均速率以相对平均速率 运动，其它分子可设为静止运动

29、，其它分子可设为静止 =d2A dddd第38页，共45页，编辑于2022年，星期日A dddd 在在 时间内，凡分子中心在以分子时间内，凡分子中心在以分子A A 运动轨迹运动轨迹为轴，半径等于分子有效直径为轴，半径等于分子有效直径d d，长为长为 的曲折圆的曲折圆柱体内的分子均能与柱体内的分子均能与A A相碰。相碰。平均碰撞频率：平均碰撞频率：设分子数密度为设分子数密度为n n，第39页，共45页，编辑于2022年，星期日 平均自由程与分子有效直径的平方及单位体积内的分子平均自由程与分子有效直径的平方及单位体积内的分子数成反比，与平均速率无关。数成反比，与平均速率无关。一定温度下，平均自由程

30、与压强成反比。一定温度下，平均自由程与压强成反比。第40页，共45页，编辑于2022年，星期日 当压强很小时当压强很小时,分子自由程有可能大于容器线度，即分分子自由程有可能大于容器线度，即分子很少与其它分子碰撞，子很少与其它分子碰撞，这时分子将不断与器壁碰撞，其平均自由程即容器这时分子将不断与器壁碰撞，其平均自由程即容器的线度。的线度。如空气分子：如空气分子：d d 约为约为3.5 3.5 10 10-10-10 m mA dddd在标准状态下：在标准状态下：=6.9 6.9 10 10-8-8 m m =6.5=6.5 10 10 9 9s s第41页，共45页，编辑于2022年，星期日例：

31、在标准状况下，例：在标准状况下，1cm1cm3 3中有多少个氮分子？，氮分子的中有多少个氮分子？，氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数为多少？平均自由程为多平均速率为多大？平均碰撞次数为多少？平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径大？（已知氮分子的有效直径d=3.7610d=3.7610-10-10m)m)解：解：1 1、由由2 2、氮分子的平均速率、氮分子的平均速率第42页，共45页，编辑于2022年，星期日3、平均碰撞次数即平均碰撞频率、平均碰撞次数即平均碰撞频率4、平均自由程、平均自由程 气体分子以每秒气体分子以每秒500米的平均速率运动，但由于每秒上亿米的平均速率运动，但由于每秒上亿

32、次的频繁碰撞，分子的自由程只有几十纳米，因此宏观上任次的频繁碰撞，分子的自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间。何实际过程的完成都需要一段时间。第43页，共45页，编辑于2022年，星期日自由程数为自由程数为运动的总路程为：运动的总路程为：例：风速为例：风速为60km/h，考虑此风中一氮分子，它的热运动平均，考虑此风中一氮分子，它的热运动平均速率约为速率约为500m/s。连续两次与其它分子碰撞之间的自由飞行时。连续两次与其它分子碰撞之间的自由飞行时间平均为间平均为 。当此分子顺风移动。当此分子顺风移动1cm时，它经历了多时，它经历了多少个自由程？总共运动了多少路程？少个自由程？总共运动了多少路程？解：解：第44页，共45页，编辑于2022年，星期日作业作业第二章第二章2.12.52.62.9第45页，共45页，编辑于2022年，星期日