随机过程幻灯片.ppt

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1、随机过程第1页，共48页，编辑于2022年，星期三（3 3）若）若 ，则对常数，则对常数 a,b 有有（5）极限）极限存在的充分必要条件是存在的充分必要条件是（4）若）若有极限有极限，又，又X 是随机变是随机变量，则量，则亦即亦即第2页，共48页，编辑于2022年，星期三 定理定理2随机过程随机过程在在T上均方连续的充分必要上均方连续的充分必要条件是其相关函数条件是其相关函数在第一象限的分角线中在第一象限的分角线中的所有点上是连续的。的所有点上是连续的。均方连续均方连续均方导数均方导数 第3页，共48页，编辑于2022年，星期三(5.2)定理定理3随机过程随机过程在在t处均方可导的充分必要处均

2、方可导的充分必要条件是存在极限条件是存在极限均方导数的性质均方导数的性质（1）若随机过程若随机过程在在t 处可导，则它在处可导，则它在t 处连续。处连续。（2）随机过程随机过程的均方导数的均方导数的数学期望是的数学期望是第4页，共48页，编辑于2022年，星期三（4）若若X是随机变量，则是随机变量，则（3 3）随机随机过过程程 的均方导数的均方导数的相关函数是的相关函数是（6）若若是是可微函数，而可微函数，而是随机过程，则是随机过程，则（5）若若是随机是随机过过程，而程，而 是常数，则是常数，则第5页，共48页，编辑于2022年，星期三证明：若随机过程证明：若随机过程的自相关函数的自相关函数在

3、对角线在对角线上连续，则它在整个上连续，则它在整个上都是连续的。上都是连续的。证：设证：设在任意点在任意点处连续，处连续，由定理知由定理知X(t)在在处均方连续，处均方连续，再由均方极限的性质，知再由均方极限的性质，知即即在在处连续。处连续。再由再由的任意性，得所欲证。的任意性，得所欲证。第6页，共48页，编辑于2022年，星期三 定义定义设设是随机过程，是随机过程，是函数。是函数。把区间把区间a,b分成分成n 个子区间，分点为个子区间，分点为作和式作和式四、均方积分四、均方积分其中其中是子区间是子区间中任意一点，中任意一点，令令，若均方极限，若均方极限第7页，共48页，编辑于2022年，星期

4、三存在，且与子区间的分法和存在，且与子区间的分法和的取法无关，则称此极限为的取法无关，则称此极限为在区间在区间a,b上的上的均方积分均方积分，记为，记为此时亦称此时亦称在在区间区间a,b上是均方可积的上是均方可积的。下面看均方积分存在的一个充分条件。下面看均方积分存在的一个充分条件。第8页，共48页，编辑于2022年，星期三 定理定理4在区间在区间a,b上均方可积的充分条件是二上均方可积的充分条件是二重积分重积分存在；且有存在；且有证证 利用均方极限性质利用均方极限性质(5),(5),要积分要积分 存在只需存在只需 其中其中是区间是区间a,b的另一组分点，的另一组分点，而而亦即亦即第9页，共4

5、8页，编辑于2022年，星期三即即 由二重积分定义，左边极限等于由二重积分定义，左边极限等于 第10页，共48页，编辑于2022年，星期三充分性获证。充分性获证。因为均方积分因为均方积分 存在，利用均方极限性质存在，利用均方极限性质(2)(2)，有，有存在，且等于存在，且等于 亦即亦即证毕。证毕。第11页，共48页，编辑于2022年，星期三此式表明数学期望与积分号可交换次序；但前者积分此式表明数学期望与积分号可交换次序；但前者积分为随机过程的积分，而后者积分为普通积分。为随机过程的积分，而后者积分为普通积分。下面叙述均方积分的性质。利用均方积分的定义和均下面叙述均方积分的性质。利用均方积分的定

6、义和均方极限的性质就能对这些性质进行证明，故它们的证明方极限的性质就能对这些性质进行证明，故它们的证明在此省略。在此省略。（1）若随机过程）若随机过程在区间在区间上均方连续，则上均方连续，则在在T上均方可积。上均方可积。第12页，共48页，编辑于2022年，星期三(4)若若，是常数，则是常数，则(5)若若X 是随机变量，则是随机变量，则（7）设随机过程）设随机过程在区间在区间上均方连续，则上均方连续，则在在上均方可导，且上均方可导，且 第13页，共48页，编辑于2022年，星期三（8）设随机过程）设随机过程在区间在区间a,b上均方可导，上均方可导，且且在此区间上均方连续，则在此区间上均方连续，

7、则解：解：由均方积分的性质知由均方积分的性质知例（补充）：设随机过程例（补充）：设随机过程X(t)的均值函数为的均值函数为试求试求的均值函数。的均值函数。第14页，共48页，编辑于2022年，星期三例（补充）：设随机过程例（补充）：设随机过程X(t)的协方差函数为的协方差函数为试求试求的协方差函数和方差函数。的协方差函数和方差函数。解：解：第15页，共48页，编辑于2022年，星期三例（补充）：设随机过程例（补充）：设随机过程X(t)的协方差函数为的协方差函数为试求试求的协方差函数和方差函数。的协方差函数和方差函数。第16页，共48页，编辑于2022年，星期三均方积分的定义还可以推广到无限区间

8、。均方积分的定义还可以推广到无限区间。定义定义设随机过程设随机过程及函数及函数若均方极限若均方极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为在无穷区间在无穷区间上的上的均均方积分方积分。记为。记为 无限区间上的均方积分具有类似于前面均方积分从无限区间上的均方积分具有类似于前面均方积分从（1）到（）到（5）的性质，只要把）的性质，只要把b换成换成即可。同样地还可即可。同样地还可以定义均方积分以定义均方积分和和，我们不再赘述。我们不再赘述。第17页，共48页，编辑于2022年，星期三五、均方斯蒂尔吉斯积分五、均方斯蒂尔吉斯积分下面介绍另一种均方积分下面介绍另一种均方积分-均方斯蒂尔吉斯积分。均方斯蒂尔吉

9、斯积分。定义定义设设是随机过程，而是随机过程，而是函数。把区间是函数。把区间a,b分成分成n 个子区间，分点为个子区间，分点为作和式作和式 其中其中是子区间是子区间中的任意一点，中的任意一点，。令令。若均方极限。若均方极限第18页，共48页，编辑于2022年，星期三存在，且与子区间的分法和存在，且与子区间的分法和的取法无关，则称此极限的取法无关，则称此极限为为对对在区间在区间上的上的均方斯蒂尔吉斯积分均方斯蒂尔吉斯积分。记为记为，此时也称，此时也称对对在在区间区间上上均方斯蒂尔吉斯可积。均方斯蒂尔吉斯可积。对均方斯蒂尔吉斯积分有如下定理。对均方斯蒂尔吉斯积分有如下定理。定理定理5均方斯蒂尔吉斯

10、积分均方斯蒂尔吉斯积分存在的充分条件存在的充分条件是二重积分是二重积分存在。存在。此式中积分为此式中积分为二重斯蒂尔吉斯积分二重斯蒂尔吉斯积分，定义为，定义为第19页，共48页，编辑于2022年，星期三其中其中和和分别是区间分别是区间的两组分点的两组分点,而而是满足是满足的任意两个数值的任意两个数值;且且均方斯蒂吉斯积分具有下列性质：均方斯蒂吉斯积分具有下列性质：第20页，共48页，编辑于2022年，星期三 有限区间上的均方斯蒂尔吉斯积分，也可以推广到无限有限区间上的均方斯蒂尔吉斯积分，也可以推广到无限区间上。区间上。定义定义设设是随机过程，而是随机过程，而是函数。若均方极限是函数。若均方极限

11、存在，则称此极限为存在，则称此极限为对对在在无限区间无限区间上的上的均方斯蒂尔吉斯积分均方斯蒂尔吉斯积分，记为，记为。上面两条均方积分性质也可推广到无限区间，只要取上面两条均方积分性质也可推广到无限区间，只要取 第21页，共48页，编辑于2022年，星期三 平稳过程是平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变一类统计特性不随时间推移而变的随机过程，的随机过程，在工程技术中这类过程有较多的应用在工程技术中这类过程有较多的应用第二章第二章 平稳过程平稳过程本章将讨论：本章将讨论：平稳过程的基本概念平稳过程的基本概念各态历经性各态历经性谱密度谱密度平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解线性系统中的平稳过程线性

12、系统中的平稳过程第22页，共48页，编辑于2022年，星期三2.1平稳过程概念平稳过程概念在自然界中有一类随机过程，它的特征是产生随机现象在自然界中有一类随机过程，它的特征是产生随机现象的主要因素不随时间而变例如，无线电设备中热噪声电的主要因素不随时间而变例如，无线电设备中热噪声电压压是由于电路中电子的热运动引起的，这种热扰动是由于电路中电子的热运动引起的，这种热扰动不随时间而变。不随时间而变。又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差，由很多因素（如仪器振动、电磁波干扰，气候等）引起，由很多因素（如仪器振动、电磁波干扰，气候等）引起，但主要因素不随时间而

13、变但主要因素不随时间而变。第23页，共48页，编辑于2022年，星期三再如棉纱各处直径不同是由于纺纱机运行，棉条不均，再如棉纱各处直径不同是由于纺纱机运行，棉条不均，温湿度等引起，这些主要因素也不随时间而变，所以产生温湿度等引起，这些主要因素也不随时间而变，所以产生随机现象的主要因素不随时间而变，因而随机过程的统计随机现象的主要因素不随时间而变，因而随机过程的统计特性不随时间推移而变特性不随时间推移而变 对任意对任意n个时刻个时刻上的上的n维分布函数与维分布函数与上的上的n维分布函数相同，维分布函数相同，这类随机过程称为平稳随机过程这类随机过程称为平稳随机过程.第24页，共48页，编辑于202

14、2年，星期三(1.2)(1.1)对于连续概率分布情形对于连续概率分布情形,定义中定义中(1.1)式的条件换为式的条件换为则称则称是是平稳平稳(随机随机)过程过程.定义定义设随机过程设随机过程的有限维分布函数族为的有限维分布函数族为若对于任意的若对于任意的n和任意的和任意的,以及使以及使的任意的的任意的,有有第25页，共48页，编辑于2022年，星期三(1.1)(1.2)当当(1.2)式成立时式成立时,称称是是连续平稳连续平稳(随机随机)过程过程.当当T为离散集时为离散集时,如取如取是随机序列是随机序列,可记为可记为对于随机序列对于随机序列,上述定义中的上述定义中的应取整数应取整数m,符合平稳过

15、程定义的随机序符合平稳过程定义的随机序列称为列称为平稳随机序列平稳随机序列.第26页，共48页，编辑于2022年，星期三以下讨论平稳过程的数字特征以下讨论平稳过程的数字特征-数学期望数学期望,相关函数相关函数,假设假设其一阶矩其一阶矩,二阶矩存在。二阶矩存在。结论结论平稳过程的数学期望是常数；相关函数是一元函数。平稳过程的数学期望是常数；相关函数是一元函数。证证设设是平稳过程是平稳过程.对于一维分布对于一维分布一维分布与一维分布与无关无关,其数学期望满足其数学期望满足可见数学期望与可见数学期望与无关。无关。第27页，共48页，编辑于2022年，星期三因此因此平稳过程的数学期望是常数平稳过程的数

16、学期望是常数,可记可记对于二维分布对于二维分布,有有与与t 无关。无关。平稳过程的相关函数是一元函数平稳过程的相关函数是一元函数。可见相关函数仅与时间间隔可见相关函数仅与时间间隔有关。有关。记记(1.3)通常写为通常写为第28页，共48页，编辑于2022年，星期三 平稳过程的数学期望是常数，它与样本函数的图象平稳过程的数学期望是常数，它与样本函数的图象如图如图21第29页，共48页，编辑于2022年，星期三(1.5)(1.6)平稳过程的方差可由协方差函数获得平稳过程的方差可由协方差函数获得(1.4)下面考察平稳过程的协方差函数和方差函数。利用协下面考察平稳过程的协方差函数和方差函数。利用协方差

17、函数与相关函数的关系方差函数与相关函数的关系,有有此时此时协方差函数与协方差函数与t 无关，亦是一元函数。无关，亦是一元函数。记记,(1.4)式可改写为式可改写为因而因而方差与方差与t 无关，它是一个常数无关，它是一个常数记为记为DX 。第30页，共48页，编辑于2022年，星期三 平稳过程还有另一种意义，它是用一阶矩数学期望平稳过程还有另一种意义，它是用一阶矩数学期望和二阶矩相关函数进行定义和二阶矩相关函数进行定义(常数常数)（1.7)定义定义设随机过程设随机过程的一、二阶矩存在，若的一、二阶矩存在，若有数学期望有数学期望和相关函数和相关函数(1.8）与与t 无关，则称无关，则称为为弱平稳过

18、程弱平稳过程.第31页，共48页，编辑于2022年，星期三 前面用有限维分布函数满足（前面用有限维分布函数满足（1.1）式定义的平稳过程。）式定义的平稳过程。相对地称为相对地称为强平稳过程强平稳过程。弱弱平稳过程亦称平稳过程亦称宽宽平稳过程或平稳过程或广广义义平稳过程；相对地，平稳过程；相对地，强强平稳过程也称为平稳过程也称为严严平稳过程或平稳过程或狭狭义义平稳过程。平稳过程。下面讨论强平稳过程和弱平稳过程的关系下面讨论强平稳过程和弱平稳过程的关系一般地说，一般地说，强平稳过程不一定是弱平稳的强平稳过程不一定是弱平稳的，这是因为强，这是因为强平稳过程定义只涉及有限维分布，而并不要求一、二阶矩平

19、稳过程定义只涉及有限维分布，而并不要求一、二阶矩存在。但是，对二阶矩过程来说，强平稳过程必定也是弱存在。但是，对二阶矩过程来说，强平稳过程必定也是弱平稳过程平稳过程反过来，弱平稳过程是否是强平稳的呢？反过来，弱平稳过程是否是强平稳的呢？第32页，共48页，编辑于2022年，星期三从定义看，弱平稳过程只要求数学期望与从定义看，弱平稳过程只要求数学期望与t 无关无关,导不出导不出一维分布与一维分布与t 无关；又相关函数无关；又相关函数与与t 无关，导不无关，导不出二维分布出二维分布与与t 无关，所以，无关，所以，弱平稳过弱平稳过程不一定是强平稳的程不一定是强平稳的.定理定理正态过程是强平稳过程的充

20、要条件是它为弱平稳正态过程是强平稳过程的充要条件是它为弱平稳过程，即正态过程的强平稳性和弱平稳性等价。过程，即正态过程的强平稳性和弱平稳性等价。证证必要性显然，这是因为正态过程是二阶矩过程必要性显然，这是因为正态过程是二阶矩过程下面证充分性。若正态过程下面证充分性。若正态过程是弱平稳的，是弱平稳的，则有则有因此因此第33页，共48页，编辑于2022年，星期三正态过程的有限维分布密度完全地为数学期望和协方差函正态过程的有限维分布密度完全地为数学期望和协方差函数所确定数所确定它的它的n维分布密度为维分布密度为其中其中而协方差阵为而协方差阵为第34页，共48页，编辑于2022年，星期三第35页，共4

21、8页，编辑于2022年，星期三所以所以故故为强平稳过程为强平稳过程.第36页，共48页，编辑于2022年，星期三在以后的讨论中所述的平稳过程都是指弱平稳过程。在以后的讨论中所述的平稳过程都是指弱平稳过程。在本章中，由于以后的讨论只涉及平稳过程的一、二阶在本章中，由于以后的讨论只涉及平稳过程的一、二阶矩，我们把这种只涉及一、二阶矩的平稳过程理论称为矩，我们把这种只涉及一、二阶矩的平稳过程理论称为平平稳过程的相关理论稳过程的相关理论。举一些平稳过程的例子。举一些平稳过程的例子。例例1设随机序列设随机序列，其中，其中是两两不相关的随机变量，而是两两不相关的随机变量，而 试说明试说明X(n)是平稳序列

22、。是平稳序列。第37页，共48页，编辑于2022年，星期三例例1设随机序列设随机序列，其中，其中是两两不相关的随机变量，而是两两不相关的随机变量，而 与与n无关，所以无关，所以是平稳序列。是平稳序列。试说明试说明X(n)是平稳序列。是平稳序列。因为因为是常数，又相关函数是常数，又相关函数解解这个平稳序列称为这个平稳序列称为离散白噪声离散白噪声。如果随机变量。如果随机变量又服从又服从正态分布，那么称为正态白噪声。正态分布，那么称为正态白噪声。第38页，共48页，编辑于2022年，星期三解解数学期望数学期望又相关函数又相关函数 例例2设设是例是例1中的随机序列。作中的随机序列。作其中其中N 是自然

23、数，而是自然数，而是离散白噪声是离散白噪声的的滑动和，试说明滑动和，试说明Y(n)是平稳序列。是平稳序列。第39页，共48页，编辑于2022年，星期三它与它与n无关。所以无关。所以是平稳序列是平稳序列 例例2设设是例是例1中的随机序列。作中的随机序列。作其中其中N 是自然数，而是自然数，而是离散白噪声是离散白噪声的的滑动和，试说明滑动和，试说明Y(n)是平稳序列。是平稳序列。第40页，共48页，编辑于2022年，星期三上式中的级数应理解为上式中的级数应理解为数学期望数学期望另外，作随机序列另外，作随机序列其中由常数系数构成的级数其中由常数系数构成的级数收敛。我们称收敛。我们称是是离散白噪声离散

24、白噪声的无限滑动和。的无限滑动和。第41页，共48页，编辑于2022年，星期三它与它与n 无关，所以无关，所以也是平稳序列。也是平稳序列。又相关函数又相关函数第42页，共48页，编辑于2022年，星期三即即和和例例3随机相位过程随机相位过程其中是其中是正常数，而随机变量正常数，而随机变量服从在服从在区间区间上的均匀分布，试说明上的均匀分布，试说明X(t)是平稳过程。是平稳过程。表明数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，表明数学期望是常数，相关函数仅与时间间隔有关，所以所以是平稳过程。是平稳过程。解解在第一章在第一章2例例1中，已经计算得到中，已经计算得到第43页，共48页，编辑于2022年

25、，星期三 例例4试说明如下随机过程是平稳过程试说明如下随机过程是平稳过程其中其中是正常数，而是正常数，而A,B 是相互独立随机变量，且有是相互独立随机变量，且有解解先算数学期望先算数学期望又相关函数又相关函数仅与仅与有关，故有关，故X(t)是平稳过程。是平稳过程。第44页，共48页，编辑于2022年，星期三下面讨论下面讨论的平稳性。的平稳性。而正负号的变化是随机的。在而正负号的变化是随机的。在时间内正负号变化时间内正负号变化的次数记为的次数记为。设随机变量。设随机变量服从参服从参数为数为的泊松分布，其中的泊松分布，其中。它的样本函数如图它的样本函数如图22所示，对固定的所示，对固定的t，例例5

26、随机电报信号随机电报信号是只取是只取+I 或或-I变化的电流信号。变化的电流信号。第45页，共48页，编辑于2022年，星期三先算数学期望先算数学期望再算相关函数。当再算相关函数。当时时这里事件这里事件表示表示与与是是同号的，要求在区间同号的，要求在区间中正负号变换中正负号变换0次，次，2次，次，4次，次，。其概率。其概率第46页，共48页，编辑于2022年，星期三又事件又事件表示表示异异号，要求在区间号，要求在区间中正负号变换中正负号变换1次，次，3次，次，其概率其概率所以所以第47页，共48页，编辑于2022年，星期三下面介绍复平稳过程。下面介绍复平稳过程。它与它与t 无关，故随机电报信号是平稳过程。无关，故随机电报信号是平稳过程。综合两种情况，相关函数可以表示为综合两种情况，相关函数可以表示为当当时，同理可得时，同理可得定义定义是复随机过程。若是复随机过程。若(复常数复常数),且且仅与仅与有关，而与有关，而与无关，即无关，即则称则称是是复平稳过程复平稳过程。第48页，共48页，编辑于2022年，星期三