第5章常微分方程数值解法.pptx

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1、2023年2月17日1一阶常微分方程的初值问题：求解注意：解函数解函数、积分曲线积分曲线；微分函数微分函数。确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。第1页/共24页2023年2月17日2Lipschitz 条件条件：式中，为常量，、为任意实数。则初值问题的解存在，并且唯一。说明：解函数无限接近时，微分函数也无限接近，则解存在。数值解法数值解法：在一系列离散点 上，求解近似值 。采用“步进式步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。只要函数 适当光滑第2页/共24页2023年2月17日35.2 5.2 Euler 方法（尤拉方法）方法（尤拉方法）5.2.1 5.2.1 Euler 格式

2、格式初值问题：解的形式：是通过点 的一条曲线积分曲线。特点：积分曲线上每一点 的切线斜率为第3页/共24页2023年2月17日4尤拉方法：将解区间 离散化，选择步长 ，得到离散点：；由 切线 ，切线与 交点 ：的近似值 ；再由 向前推进到 ，得到折线 ，近似 。第4页/共24页2023年2月17日5任意折线 ：过点 直线 ，斜率 ，尤拉格式尤拉格式第5页/共24页2023年2月17日6P106例题例题5.1 求解初值问题求解初值问题解解：尤拉格式，第6页/共24页2023年2月17日7局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：泰勒展开函数 ：局部截断误差：第7页/共24页2023年

3、2月17日85.2.2 5.2.2 后退的后退的 Euler 格式格式离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代倒数项。例如：向前的 Euler 格式第8页/共24页2023年2月17日9同理：后退的 Euler 格式注意：上式隐含 ，采用迭代法求解。第9页/共24页2023年2月17日10迭代法求解：后退的 Euler 格式 先用尤拉格式，求出初值 ：再将结果代入微分函数 ：反复迭代，直到收敛：第10页/共24页2023年2月17日11可以证明：局部截断误差后退的尤拉格式向前的尤拉格式因此：平均可减少误差梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式 不同。）第11页/共24

4、页2023年2月17日125.2.3 5.2.3 梯形梯形格式格式向前 Euler 格式：后退 Euler 格式：梯形 格式：两者平均注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果）第12页/共24页2023年2月17日13用迭代法求解：梯形格式（用向前格式求初值）（即将上次结果代入 ）反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。第13页/共24页2023年2月17日145.2.4 5.2.4 改进的改进的 Euler 格式格式 先用向前 Euler Euler 格式，求得一个初步的近似值预测：再用梯形公式，将结果校正一次校正

5、：两过程合并：平均化形式：第14页/共24页2023年2月17日15P110例题例题5.2 用改进的用改进的 Euler Euler 方法求解初值问题：方法求解初值问题：解解：第15页/共24页2023年2月17日165.2.5 5.2.5 Euler 两步两步格式格式1.1.Euler 两步格式问题：改进尤拉格式预测精度差校正精度高即：两者精度上不匹配，为提高预测精度，采用两步格式。由导数定义：较小时：采用近似值：第16页/共24页2023年2月17日17尤拉两步格式尤拉两步格式：优点：显式，可直接计算；预测和校正计算具有同等精度。缺点：启动值需两个 和 。预测校正系统：预测校正第17页/共

6、24页2023年2月17日182.2.局部截断误差假设 ，为准确值（1 1）两步尤拉公式尤拉两步法：预测和校正计算具有同等精度。证明：第18页/共24页2023年2月17日19将函数用泰勒级数展开：（较小，相差不大）将、两式相减：两步法局部截断误差第19页/共24页2023年2月17日20（2 2）梯形公式将函数用泰勒级数展开：（较小，相差不大）第20页/共24页2023年2月17日21、两式相减，并代入式：梯形法局部截断误差因此：两种方法局部截断误差都与 、有关，相差不大。第21页/共24页2023年2月17日22由局部截断误差：3.3.提高精度的计算方案误差补偿整理得：预测误差估计代入上式：校正误差估计第22页/共24页2023年2月17日23误差补偿：设，预测 ，校正预测值改进：校正值改进：方案：预测（两步法预测）改进（未知，用 ）计算（计算 点导数）校正（梯形公式校正）改进（结果更准确）第23页/共24页2023年2月17日24感谢您的观看！第24页/共24页