医科数学第五章ppt课件.ppt

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1、第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第五章第五章 微分方程微分方程解解一、微分方程的定义一、微分方程的定义1 1 问题的提出问题的提出解解代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需(1)(1)微分方程的定义微分方程的定义凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例实质实质 联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.2 微分方程的定义与分类微分方程的定义与分类微分方程的阶微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最微分方

2、程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶.分类分类1 1 常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2 2(2)(2)微分方程的分类微分方程的分类分类分类3 3 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程.分类分类4 4 单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该方程的解该方程的解.微分方程的解的分类微分方程的解的分类二、微分方程的解二、微分方程的解(1)(1)通解通解 微分

3、方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.解的图象解的图象 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象 积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶二阶二阶过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.解解所求特解

4、为所求特解为微分方程的初等解法微分方程的初等解法 初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自

5、己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、可分离变量的微分方程的求解一、可分离变量的微分方程的求解可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法1 分离变量法分离变量法在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分2 2 典型例题典型例题 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也

6、许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么通解为通解为解解例例在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点

7、算不了什么的微分方程的微分方程.(2)(2)解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程(1)(1)两种特殊可分离变量方程两种特殊可分离变量方程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例

8、求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例 求解微分方程求解微分方程解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么微分方程的解为微分方程的解为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在

9、浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解法：解法：(2)(2)形如形如 的方程的方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为例：求方程例：求方程 的通解。的通解。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，

10、也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解求下列方程的通解求下列方程的通解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解在日常生

11、活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第六节第六节 微分方程在医学上的应用微分方程在医学上的应用一、自然生长方程一、自然生长方程二、肿瘤化疗模型二、肿瘤化疗模型在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 我们考虑我们考虑“理想环境理想环境”中的生物物种增殖模型中的生物物种

12、增殖模型.所谓所谓理想环境是指所论及的系统满足三个条件理想环境是指所论及的系统满足三个条件:一、自然生长方程一、自然生长方程 (3)(3)温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜温度、湿度等各项环境因素均对系统适宜.因此因此“理想环境理想环境”至多只是实验室内人为制造的环境至多只是实验室内人为制造的环境.自然环自然环境中的空间和资源总是有限度的境中的空间和资源总是有限度的.(1 (1)没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外没有由系统外向系统内迁入和由系统内向系统外迁出等情况迁出等情况;(2)(2)系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制系统本身的繁殖不受空间和营养供应的限制;在日常生活中，随处都

13、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处实际上生物的出生率和死亡率都受着它们的所处的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生的环境的影响：当资源丰富、生存条件较好时，出生率增加，死亡率减少；率增加，死亡率减少；当该生物总数过多资源供不应当该生物总数过多资源供不应求时，出生率减少而死亡率增加求时，出生率减少而死亡率增加.现假定出生率现假定出生率p和死亡率和死亡率q都是生物总数都是生物总数x的函数的函数,

14、即即其中其中 都是正数，都是正数，则有则有在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以有所以有称为相对增殖速率称为相对增殖速率.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么即即假设其中假设其中 、均为正数均为正数.这是一个可分离变量方程这是一个可分离变量方程.在日常生

15、活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么两边积分，得两边积分，得整理，得整理，得设初次取样时设初次取样时 ,测得测得 将此初始值代入上将此初始值代入上式式,则可解得则可解得所以所以在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么0t 上式称为上式称为自然生长方程自然生长方程，也称

16、，也称 logistic方程，它对表方程，它对表达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义达自然环境中生物种群的生长有着重要的意义.式中的图式中的图形为形为S形曲线，称为形曲线，称为logistic曲线。曲线。解得解得 是该种群在一定是该种群在一定环境条件下的环境条件下的平衡平衡态态.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、肿瘤化疗模型二、肿瘤化疗模型如果未给任何治疗，肿瘤的生长基本符合如果未给任何治疗，肿瘤的生长基本符合“自

17、然生长方程自然生长方程”.现给予某种化学药物治疗，药物剂量现给予某种化学药物治疗，药物剂量m与肿瘤的体积与肿瘤的体积x 之比之比m/x称为相对药物浓度称为相对药物浓度.若相对药物浓度对肿瘤的相对增率的影响成正比，比例常若相对药物浓度对肿瘤的相对增率的影响成正比，比例常数是数是S，那么肿瘤在，那么肿瘤在“自然生长自然生长”和和“药物治疗药物治疗”叠加叠加状态下可由以下方程表示：状态下可由以下方程表示：其中其中r，k和和s均为正常数均为正常数.该方程右端是关于该方程右端是关于x的一个二次函数，可用的一个二次函数，可用分离变量方法求解，但需注意该二次函数有分离变量方法求解，但需注意该二次函数有没有实

18、根没有实根在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1）药物剂量）药物剂量这时，右端有两不相等的实根这时，右端有两不相等的实根其中其中分离变量后得分离变量后得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以，当所以，当 时，方程通解为时，方程通解为如果药物化疗开始是为如

19、果药物化疗开始是为 t=0,，则可以确定，则可以确定 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么这时，根据初值与这时，根据初值与a,b之间的关系，可得以下分之间的关系，可得以下分析：析：当当 时，方程右端一直小于时，方程右端一直小于0，即，即 ，表明如果在肿瘤初期就开始化疗，肿瘤在化疗中，表明如果在肿瘤初期就开始化疗，肿瘤在化疗中会不断缩小。而当时间会不断缩小。而当时间 即肿瘤初期，按药量即肿瘤初期，按药量m进行治疗，病灶可消除进

20、行治疗，病灶可消除.当当 时，整个化疗过程中有时，整个化疗过程中有 ，表明如果在肿瘤中期才开始小剂量化疗，肿，表明如果在肿瘤中期才开始小剂量化疗，肿瘤仍会增长瘤仍会增长.但有解得形式知道，当时间但有解得形式知道，当时间即使在肿瘤最旺盛的时期，即使在肿瘤最旺盛的时期，m剂量的化疗仍剂量的化疗仍然可以将肿瘤控制在然可以将肿瘤控制在b水平以下水平以下.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么当当 时，整个化疗过程中有时，整个化疗过程中

21、有 ，表，表明即使在肿瘤晚期才开始化疗，肿瘤细胞也会缩明即使在肿瘤晚期才开始化疗，肿瘤细胞也会缩小，而且小，而且 .如果肿瘤未经化疗，按如果肿瘤未经化疗，按“自然生长方程自然生长方程”，肿瘤，肿瘤最终趋于平衡态最终趋于平衡态 ，而经小剂量，而经小剂量m化疗后，化疗后，平衡态是平衡态是 .思考：如果思考：如果 或或 会怎么样？会怎么样？在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2）药物剂量）药物剂量 ：此时：此时其中其中 ，通解为，

22、通解为按剂量按剂量 进行化疗，右端总是非正进行化疗，右端总是非正.如果如果 ，当，当 时，时，.即即肿瘤在初期化疗可消除病灶肿瘤在初期化疗可消除病灶.如果如果 ，肿瘤在中晚期化疗会趋于平衡态肿瘤在中晚期化疗会趋于平衡态.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3）药物剂量）药物剂量 ：此时：此时其中其中通解为通解为按剂量按剂量 进行化疗，右端总是负的进行化疗，右端总是负的.即即不论在肿瘤的哪一期，开始进行大剂量化疗，不论在肿瘤的

23、哪一期，开始进行大剂量化疗，病灶总能消除病灶总能消除.但在实际治疗过程中，由于抗但在实际治疗过程中，由于抗癌药物的副作用，患者能够容忍的药物剂量应癌药物的副作用，患者能够容忍的药物剂量应该取到什么水平是问题的关键该取到什么水平是问题的关键.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第三节第三节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在

24、日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么齐次方程的通解为齐次方程的通解为(1)线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用

25、分离变量法)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数

26、变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费

27、粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解例例在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么解解