第二讲z变换学习.pptx

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1、2-1 2-1 引言引言2-2 2-2 Z Z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域2-3 2-3 Z Z反变换反变换2-4 2-4 Z Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理2-5 2-5 Z Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系变换与拉氏变换、傅氏变换的关系2-6 2-6 傅氏变换的一些对称性质傅氏变换的一些对称性质2-7 2-7 离散系统的系统函数及频率响应离散系统的系统函数及频率响应第1页/共94页2-1 2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.连续时间信号与系统：信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。2.离散时间信号与系

2、统：序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。第2页/共94页二.变换域分析法 1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域 分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。第3页/共94页2-2 Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义：序列的Z变换定义如下：*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。第4页/共94页二.收敛域 1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的 集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件：X(z)收敛的充要条件是绝对可和。绝对可和。第5页/共94页3.一些序列的收敛域(1).预备知识 阿贝尔定理:如果级数 ，在

3、收敛,那么,满足0|z|z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。第6页/共94页同样,对于级数 ，满足 的z，级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。第7页/共94页0n2n1n (n).(2).有限长序列第8页/共94页第9页/共94页x(n)n0n1.1.（3）.右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,第10页/共94页收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|;Rx-为最小收敛半径。第11页/共94页(4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收

4、敛域为：第12页/共94页(5)左边序列x(n)0n n2第13页/共94页第二项为有限长序列,其收敛域 ;第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为 ;为最大收敛半径.第14页/共94页 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。(6)双边序列0nx第15页/共94页第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。第20页/共94页2-3 Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。第21页/共94页Z变换公

5、式：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.0c第22页/共94页1.留数法 由留数定理可知：为c内的第k个极点，为c外的第m个极点，Res 表示极点处的留数。二.求Z反变换的方法第23页/共94页 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：留数的求法：1、当Zr为一阶极点时的留数：第24页/共94页 例例2-4 2-4 已知已知解:1）当n-1时,不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点因此，求Z反变换。第25页/共94页2）当n-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。因此C内有极点：z=1/4(一阶),z=0为(n+1)阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:第2

6、6页/共94页2.2.部分分式法部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算 所得的式子。所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分项式的商。分子的次数低于分母时称为真分子的次数低于分母时称为真分式。式。部分分式：把部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有的和，使各分式具有 或或 的形式的形式 ，其中，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约是实数范围内的不可约 多项式，而且多项式，而且k k是正整数。这时

7、称各分式为原是正整数。这时称各分式为原 分式的分式的“部分分式部分分式”。第27页/共94页 通常，通常，X(z)X(z)可可表成有理分式形表成有理分式形式：式：因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为：第28页/共94页的Z反变换。例2-5利用部分分式法，求解：分别求出各部分分式的z反变换（可查 P44表1.2），然后相加即得X(z)的z反变换。第29页/共94页第30页/共94页3.3.幂级数展开法幂级数展开法(长除法长除法)因为 x(n)的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域

8、内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若 收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。第31页/共94页 例例2-6 2-6 试用长除法求试用长除法求的的z z反变换。反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。第32页/共94页第33页/共94页第34页/共94页 4-Z)4Z+Z +Z +Z +Z +241311645164.16 Z16 Z-4 Z 24 Z 4 Z -Z

9、Z Z -Z Z Z -Z Z 2233314141444411655116.第35页/共94页 Z-)Z141+Z +Z +Z 14-1116-2164-3.Z-141414-Z116-1 Z116-1 Z116-1-Z164-2 Z164-2 Z164-2-Z1256-3 Z1256-3.第36页/共94页第37页/共94页2-4 2-4 Z Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理如果则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.1.线性线性第38页/共94页例2-7已知 ,求其Z变换。解：第39页/共94页2.2.序列的移位序列的移位如果则有：例2-8 求序列x(n)=u

10、(n)-u(n-3)的z变换。第40页/共94页3.3.Z Z域尺度变换域尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果，则证明：第41页/共94页4.4.序列的序列的线性加权线性加权(Z Z域求导数域求导数)如果，则证明：第42页/共94页5.5.共轭序列共轭序列如果，则证明：第43页/共94页6.翻褶序列如果，则证明：第44页/共94页7.7.初值初值定理定理证明：第45页/共94页8.终值定理证明：第46页/共94页 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。第47页/共94页9.9.有限项累加特性有限项

11、累加特性证明：第48页/共94页第49页/共94页10.10.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理)第50页/共94页证明：第51页/共94页例2-9解：第52页/共94页11.11.序列相乘序列相乘(Z Z域卷积定理域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）第53页/共94页例2-10解：第54页/共94页第55页/共94页 12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理(parseval)parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:第56页/共94页*几点说明：第57页/

12、共94页2-5 2-5 Z Z变换与拉氏变换、变换与拉氏变换、傅氏变换的关系傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号，为其理想抽样信号，则第58页/共94页 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。第59页/共94页2.2.Z Z变换与拉氏变换的关系(S S、Z Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于 所以有：因此，;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对应。第60页/共94页 =0,=0,即S S平面的虚轴 r=1,r=1,即Z Z平面单

13、位圆；0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。j00(1).r与的关系第61页/共94页=0=0，S S平面的实轴，平面的实轴，=0 0，Z Z平面正实轴；平面正实轴；=0 0(常数常数)，S:S:平行实轴的直线，平行实轴的直线，=0 0T,Z:T,Z:始于原点始于原点的射线；的射线；S:S:宽宽 的水平条带，的水平条带，整个整个z z平面平面.0jImZReZ(2).与的关系（=T）第62页/共94页二二.Z Z变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因而映射到Z平面上为

14、单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为Z平面的单位圆的参数，表示Z平面的辐角，且 。第63页/共94页所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。第64页/共94页三.序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:第65页/共94页2-6 2-6 傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，则再将-n代入，则根据定义，则 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数

15、），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。第66页/共94页2.共轭反对称序列 设一复序列，如果满足xo(n)=-xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，则 这说明共轭反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数），而虚部是偶对称序列（偶函数）。*特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。第67页/共94页 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和第68页/共94页第69页/共94页三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和其中，第70页/共94页四、两个基本性质证明：第71页/共94页证明：第72页/共94

16、页五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：第73页/共94页2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：第74页/共94页六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明：第75页/共94页2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部 再乘以j。证明：第76页/共94页七、序列为实序列的情况第77页/共94页第78页/共94页第79页/共94页8.实序列也有如下性质：第80页/共94页线性移不变系统 h(n)为单位抽样响应h(n)x(n)(n)H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且

17、在单位圆 上的系统函数就是系统的频率响应。2-7 2-7 离散系统的系统函数及频率响应一.系统函数:第81页/共94页 我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对可和：|h(n)|。z变换H(z)的收敛域由满足|h(n)z-n|的那些z值确定。如单位圆上收敛，此时则有|h(n)|，即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为R+|z|；而因果稳定系统的系统函数收敛域为 1|z|，也就是说,其全部极点必须在单位圆内。二.因果稳定系统第82页/共94页三.系统函数和差分方程的关系线性移不变系统常用差分方程表示：取z变换得：对

18、上式因式分解，令得：第83页/共94页四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位圆上的Z变换 称作系统频率响应。也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。对于线性移不变系统：第84页/共94页 五.频率响应的几何确定1.频响的零极点表达式第85页/共94页模：相角：第86页/共94页2.2.几点说明 (1).表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量(N-M)。(2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。(3).单位圆附近

19、的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。第87页/共94页零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。0。第88页/共94页 例2-14 2-14 设一阶系统的差分方程为:解:对差分方程两边取Z变换:，a为实数为实数,求系统的频率响应。求系统的频率响应。第89页/共94页这是一因果系统，其单位抽样响应为而频率响应为:幅度响应为:相位响应为:第90页/共94页011 2 3 4 5 6 7 8n零极点分布情况00-10a1第91页/共94页六.IIRIIR系统和FIRFIR系统1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n)延伸到无穷长,即n时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。第92页/共94页2.2.有限长单位冲激响应(FIR)FIR)系统 h(n)为有限长序列的系统。第93页/共94页感谢您的观看！第94页/共94页