第八系统的状态变量分析.pptx

《第八系统的状态变量分析.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八系统的状态变量分析.pptx（47页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 目录目录 8.1 状态变量和状态方程 8.2 状态方程的建立 8.3 连续系统状态方程的解 8.4 离散系统状态方程的解 8.5 系统的可控制性和可观测性第1页/共47页 8.1 8.1 状态参量和状态方程状态参量和状态方程描述系统的方法可分为输入输出法和状态变量法。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于只将系统的输入变量和输出变量联系起来的输入输出法，它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分析法。第2页/共47页

2、状态变量状态变量:用来描述网络中一状态随时间变化的变量 称之为状态变量。状态方程状态方程：描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。输出方程输出方程：由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是代数方程。动态方程动态方程：状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程。几个名词定义几个名词定义第3页/共47页 一、状态参量分析法例题：LRC+-解：列微分方程（输入输出描述法）：求所示电路的状态方程和输出方程。其中第4页/共47页 第5页/共47页 写为矩阵形式：只要知道 的初始状态及输 入 即可确定电路的全部行为。输出方程此方法称为状态变量或状态空间分析法；

3、第6页/共47页 二动态方程的一般形式二动态方程的一般形式 由于在连续时间系统中，状态变量是连续时间函数,因此，对于线性的因果系统,在任意瞬时,状态变量的一阶导数是状态变量和输入的函数,有 多输入-多输出连续系统第7页/共47页 上式可简记为 (状态方程)第8页/共47页 同样,对于输出有(输出方程)对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出离散系统如图：其状态方程和输出方程为第9页/共47页 8.2 8.2 状态方程的建立状态方程的建立一一.电路状态方程的列写电路状态方程的列写（1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；（2）对每一个独立电容，写出独立结点电流方程；对每 一个

4、独立电感，写出独立回路电压方程；（3）按上述步骤所列的方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则应利用适当的结点电流方程或回路电压方程将它们消去，然后整理成标准形式。例题第10页/共47页 写出所示电路的状态方程，若以电流 和电压 为输出，列出输出方程。解：选 和 为状态变量，并令又由KCL、KVL定理得，第11页/共47页 整理得到状态方程则写成矩阵形式的输出方程为第12页/共47页 二二.连续系统状态方程的建立连续系统状态方程的建立 一般而言，如有n阶微分方程则其系统函数可写为第13页/共47页 则其状态方程和输出方程为（标准形式）其中各矢量为第14页/共47页 第15页/共47页 例题1.

5、一LTI连续系统，描述它的微分方程为列出它的状态方程和输出方程。解：按式写出其系统函数按系统函数可画出其框图和信号流图第16页/共47页 选各积分器的输出端信号为状态变量，则其输入端信号就是相应状态变量的一阶导数，如图中所示。可列出状态方程和输出方程为（矩阵形式）第17页/共47页 例题 2.一LTI连续系统，描述它的微分方程为第18页/共47页 列出它的状态方程和输出方程。解：按式写出其系统函数按系统函数可画出其框图和信号流图第19页/共47页 其状态方程同例1，其输出方程为第20页/共47页 三三.离散系统状态方程的建立离散系统状态方程的建立离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把

6、差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差分方程组就是该系统的状态方程。如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一般形式是第21页/共47页 输出方程为列写离散系统状态方程的方法与连续系统类似，也可利用框图或信号流图列出。由于离散系统状态方程是 那么其输入端信号就是 ，这样，就可根据系统信号流图或框图列出该系统的状态方程和输出方程。第22页/共47页 8.3 8.3 连续系统状态方程的解连续系统状态方程的解 一状态方程的时域解 在常系数线性矢量微分方程 两边左乘 ，移项有化解为两边取积分，并考虑初始状态t0=0-，得 状态方程的求解有时域法和变换法第23页/共47页 对上式两

7、边左乘 ，并考虑到，可得状态方程的解：则得到输出矢量，设（状态转移矩阵）第24页/共47页若用 表示输出矢量的零状态响应，则有现在定义一个 的对角矩阵 则第25页/共47页 例题 ：一个二阶系统，其状态方程为当时当时求该系统的状态转移矩阵解：知状态矢量的零输入响应 由已知条件可得 则解得和第26页/共47页 二、状态方程的变换解二、状态方程的变换解状态矢量x（t）的拉普拉斯变换为 简记作同样由拉普拉斯变换性质得单边拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具，现在用它来求解状态方程式和输出方程式。设第27页/共47页 对状态方程取拉普拉斯变换，得上式两端前乘以 ，得上式是状态矢量 的拉普拉斯变换。

8、由式可见，其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二项的逆变换是状态矢量的零状态解。第28页/共47页 连续系统稳定性的判断转移函数分母的特征多项式 此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。这需要解方程 第29页/共47页 8.4 离散系统状态方程的解状态方程的求解有时域法和变换法一状态方程的时域解一状态方程的时域解求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可用迭代法解状态方程式。例题 某离散系统的状态方程为第30页/共47页 设初始状态和输入为求方程的解。解：若已知 时的状态 和 时的

9、输入 ，则将它们代入式 并逐次迭代，得 第31页/共47页 如果 ,则第32页/共47页 第一项是输入 的解,即零输入解,第二项是 初始状态 的解,即零状态解。矩阵 称为状态转移矩阵，用 表示，即当时，有由矩阵卷积定义和性质得第33页/共47页 将上式代入得到系统的输出式中第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。可见，如果已知 时的初始状态 和 的输入 ，就能完全地确定 的任意时刻的状态和输出。第34页/共47页 二、二、状态方程的变换解状态方程的变换解 设状态矢量 的分量 的变换为 ，即则简记作同样对标准式取 变换第35页/共47页 得(1)式可写为得上式第一项是状态矢量零输入解的象函数,第

10、二项是 零状态解的象函数。再求得状态转移矩阵为了方便,定义第36页/共47页 则，(1)式可写为同样(2)式可写为上式第一项是零输入响应象函数矩阵,第二项是零状态响应象函数矩阵。离散系统稳定性的判断对于离散系统要求系统稳定，则要求A矩阵的特征值即系统的特征根位于单位圆内，和连续系统相似，A矩阵的特征值和离散系统转移函数特征多项式的根位置相同，所以他们的判定准则也相同。第37页/共47页 8.5 系统的可控制性和可观测性一、状态矢量的线性变换一、状态矢量的线性变换一般而言,对于动态方程有非奇异矩阵P，使状态矢量 经线性变换成为新状态矢量第38页/共47页 则求导得方程代入，可得用状态矢量 描述的

11、状态方程为在新的状态变量下，其系数矩阵 分别为第39页/共47页 二、二、系统的可控制性系统的可控制性对于一个复杂的系统，特别是多输入多输出系统，利用状态变量法分析系统时，用状态方程和输出方程描述系统，这就揭示了系统状态的变化情况。状态方程描述了输入作用引起系统状态变化的情况，这就存在一个问题，输入对系统的全部状态是否都能控制，即系统能否在输入的作用下从某一状态转移到另一指定状态，这就是可控制性问题。可控性可控性：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限的时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点（即零状态）。则系统是完全可控制的。第40页/共

12、47页 如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全可控制。1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别设系统的状态方程即:当为对角阵形式时,中的0元素对应不可控因素。2.2.可控阵满秩判别法可控阵满秩判别法若有,则连续系统完全可控的充要条件是矩阵满秩。称为系统的可控阵。第41页/共47页 当系统用状态方程描述，给定控制后，能在有限的时间间隔内 根据系统输出惟一地确定系统的所有起始状态，则系统是完全可观。如果只能确定部分起始状态，则系统不完全可观。可观性三系统的可观测性 对于单一输出系统，当状态方程中的系统矩阵为对角阵时，仅当输出矩阵没有零元素时，系统才是可观测的。当系统矩阵

13、不是对角阵时，可通过摸态矩阵化为对角矩阵，这时输出矩阵化为。因此可得，对于单一输出系统，如果系统矩阵的特征值都互不相同，则系统可观测性的充要条件是，矩阵中没有零元素。第42页/共47页1.1.根据状态方程的参数矩阵判别根据状态方程的参数矩阵判别设系统的状态方程即:当为对角阵形式时,中的0元素对应不可观现象。若有可观的充要条件是矩阵满秩。2.2.可观阵满秩判别法可观阵满秩判别法则连续系统完全第43页/共47页 四可控、可观性与系统转移函数系统的转移函数本例则第44页/共47页 若系统不完全可控或不完全可观,则s域上表现为必有零极点相消现象。转移函数描述的系统只是反映了系统中可控和可观部分运动规律，不能反映不可控和不可观部分的运动规律。（因为零极点相消部分必定是不可控或不可观部分，而留下的是可控或可观部分）解得第45页/共47页 可以证明，一个线性系统如果其系统函数（转移函数）没有极点、零点互消现象，那么系统是既可控制又可观测的；如果有极点、零点互消现象，那么它将是不可控制的或是不可观测的，视状态变量的选择而定。第46页/共47页感谢您的观看！第47页/共47页