3-3-1比例解行程问题-题库教师版.docx

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1、比例解行程问题比例解行程问题教学目标教学目标1.会解一些简单的方程.2.掌握寻找等量关系的方法来构建方程知识精讲知识精讲比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析 2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,vvtts s乙乙乙甲甲甲，；来表示，大体可分为以下两种

2、情况：1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即ttt乙甲,所以由ssttvv甲乙乙甲乙甲，得到sstvv甲乙乙甲，svsv甲甲乙乙，甲乙在同一段时间 t 内的路程之比等于速度比2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即sss乙甲，由svtsvt乙乙乙甲甲甲，得svtvt乙乙甲甲，vtvt甲乙乙甲，甲乙在同一段路程 s 上的时间之比等于速度比的反比。模块一：比例

3、初步利用简单倍比关系进行解题【例【例 1】（难度等级（难度等级）上午上午 8 点点 8 分分，小明骑自行车从家里出发小明骑自行车从家里出发，8 分钟后分钟后，爸爸骑摩托车去追爸爸骑摩托车去追他他，在离家在离家 4 千米的地方追上了他千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明到家后又立刻回头去追小明，再追上小再追上小明的时候，离家恰好是明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？千米，这时是几点几分？【解析】【解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，

4、爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 88=1（千米/分），爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.881632.所以这时是 8 点 32 分。注意注意：小明第 2 个 4 千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走 12 千米，这一点是本题的关键对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键本题的解答就巧妙地运用了这一点【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）欢欢和贝贝是同班同学

5、欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里并且住在同一栋楼里早晨早晨 7:40，欢欢从家出欢欢从家出发骑车去学校，发骑车去学校，7:46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8:00 赶到学赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点

6、几分出发时是几点几分【解析】【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，她调头后速度提高到原来的 2 倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20-6-3-6=5 分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14（6 4）=21 分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7点 25 分出发的【例【例 2】难度等级难度等级）甲、乙两车分别同时从甲、乙两车分别同

7、时从 A、B 两地相对开出，第一次在离两地相对开出，第一次在离 A 地地 95 千米处相千米处相遇遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离第二次在离 B 地地 25 千米处相遇千米处相遇求求 A、B 两地两地间的距离？间的距离？【解析】【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个 A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B 两地间的距离当甲、乙两车共行了一个 A、B 两地间的距离时，甲车行了 95 千米，当它们共行三个 A、B 两地间的距离时，甲车就行了 3 个 95 千

8、米，即 953=285（千米），而这 285千米比一个 A、B 两地间的距离多 25 千米，可得：953-25=285-25=260(千米)【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）地铁有地铁有 A，B 两站两站，甲甲、乙二人都要在两站间往返行走乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从两人分别从 A，B两站同时出发两站同时出发，他们第一次相遇时距他们第一次相遇时距 A 站站 800 米米，第二次相遇时距第二次相遇时距 B 站站 500 米米.问问：两站相两站相距多远？距多远？【解析】【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成 3 个全长，一

9、个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米.画图可知，由 3 倍关系得到：A，B 两站的距离为 8003500=1900 米【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）如右图如右图，A，B 是圆的直径的两端是圆的直径的两端，甲在甲在 A 点点，乙在乙在 B 点同时出发反向点同时出发反向而行，两人在而行，两人在 C 点第一次相遇，在点第一次相遇，在 D 点第二次相遇点第二次相遇.已知已知 C 离离 A 有有 80 米，米，D 离离 B 有有 60米，求这个圆的周长米，求这个圆的周长.【解析】【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 803=240 米，两人的总路

10、程和为一周半，又甲所走路程比一周少 60 米，说明乙的路程比半周多 60 米，那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米，周长为 1802=360 米.【例【例 3】（难度等级（难度等级）甲、乙两人从相距）甲、乙两人从相距 490 米的米的 A、B 两地同时步行出发，相向而行，两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从丙与甲同时从 A 出发，在甲、乙二人之间来回跑步出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)已已知丙每分钟跑知丙每分钟跑 240 米米，甲每分钟走甲每分钟走 40 米米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时当丙第一次折返回来并与

11、甲相遇时，甲甲、乙二人相乙二人相距距 210 米，那么乙每分钟走米，那么乙每分钟走_米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距_米米【解析】【解析】如图所示：假设乙、丙在C处相遇，然后丙返回，并在D处与甲相遇，此时乙则从走C处到E处根据题意可知210DE 米由于丙的速度是甲的速度的 6 倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的 6 倍，也就是从A到C再到D的长度是AD的 6 倍，那么(6)22.5CDADADAD，3.5ACAD，可见57CDAC那么丙从C到D所用的时间是从A到C所用时间的57，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(CD加CE)是前一段时间内乙、丙所走的路

12、程之和(AC加BC，即全程)的57，所以54903507CDCE，而210CDCEDE，可得280CD，70CE 相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的280704倍，所以丙的速度是乙的速度的 4 倍，那么乙的速度为240460(米/分)，即乙每分钟走 60 米当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的21034907，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的37，为3210907米【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）甲、乙两车同时从）甲、乙两车同时从 A 地出发，不停

13、地往返行驶于地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间已知两地之间已知甲车的速度比乙车快甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地地甲车的速度是乙车甲车的速度是乙车速度的多少倍？速度的多少倍？【解析】【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速

14、度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC:2 BC 2:1，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍【例【例 4】（难度等级（难度等级）甲甲、乙两人同时从乙两人同时从 A 地出发地出发，在在 A、B 两地之间匀速往返行走两地之间匀速往返行走，甲的甲的速度大于乙的速度速度大于乙的速度，甲每次到达甲每次到达 A 地地、B 地或遇到乙都会调头往回走地或遇到乙都会调头往回走，除此以外除此以外，两人在两人在 A、B 之间行走方向不会改变之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离已知两人第一次相遇点距离 B 地地1800 米米，第三次相遇点距离第三次相遇点距离 B 地地800 米，那么第二次相遇的地

15、点距离米，那么第二次相遇的地点距离 B 地多少米？地多少米？【解析】【解析】设甲、乙两人的速度分别为1v、2v，全程为 s，第二次相遇的地点距离 B 地 x 米由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为12112122vvsvssvvvv，那么第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为1212vvvv；两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到 B 地的距离，即 1800 米根据上面的分析可知第二次相遇的

16、地点到 B 地的距离与第一次相遇的地点到 B 地的距离的比为1212vvvv；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为1212vvvv；那么8001800 xx，得到1200 x，故第二次相遇的地点距离 B 地 1200 米【例【例 5】（难度等级（难度等级）每天早晨每天早晨，小刚定时离家步行上学小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步张大爷也定时出家门散步，他们相向他们相向而行而行，并且准时在途中相遇并且准时在途中相遇有一天有一天，小刚提早出门小刚提早出门，因此比平时早因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇分钟与张大爷相遇已已知小刚步行速度是每分

17、钟知小刚步行速度是每分钟 70 米，张大爷步行速度是每分钟米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？出门多少分钟？【解析】【解析】比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70+40）7=770 米，因此小刚比平时早出门 770 70=11 分钟模块二：时间相同速度比等于路程比【例【例 6】（难度等级（难度等级）A、B 两地相距两地相距 7200 米，甲、乙分别从米，甲、乙分别从 A，B 两地同时出发，结果两地同时出发，结果在距在距 B 地地

18、2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前倍，那么两人可提前 10 分钟相遇分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 2400):2400=2:1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3乙的速度提高 3 倍后，两人速度比为 2:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的33325 两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟，所以甲的

19、速度为336000()915058(米/分)【例【例 7】（难度等级（难度等级）甲甲、乙二人分别从乙二人分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行，甲甲、乙的速度之比乙的速度之比是是 4:3，二人相遇后继续行进二人相遇后继续行进，甲到达甲到达 B 地和乙到达地和乙到达 A 地后都立即沿原路返回地后都立即沿原路返回，已知二人第已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30 千米，则千米，则 A、B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？【解析】【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4:3

20、第一次相遇时甲走了全程的 4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3 个全程，三个全程中甲走了453177个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777个全程 所以 A、B 两地相距2301057(千米)【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）甲、乙两车分别从）甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的甲车的速度是乙车的速度的37，并且甲、乙两车第，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距次相遇的地点恰好相距

21、 120 千米千米，那么那么，A、B 两地之间的距离等于多少两地之间的距离等于多少 千米？千米？【解析】【解析】甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3（20072-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3（20082-1）=12045 份，所以总长为 12012045-12040-（12040-12039）10=300 米.【例【例 8】（难度等级（难度等级）B 地在地在 A，C 两地之间甲从两地之间甲从 B 地到地到 A 地去送信，甲出发地去送信，甲出发 10 分后分后，乙从乙从

22、 B 地出发到地出发到 C 地去送另一封信，乙出发后地去送另一封信，乙出发后 10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从于是他从 B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的甲、乙速度的 3 倍，丙从出发到把信调过来后返回倍，丙从出发到把信调过来后返回 B 地至少要用多少时间。地至少要用多少时间。【解析】【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的 3 倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及

23、乙，因时间相同丙的速度是乙的 3 倍，比乙多走两倍乙走需要 10 分钟，所以丙用时间为：10（31）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信当丙再回到 B 点用 5 分钟，此时甲已经距 B 地有 10105530（分钟），同理丙追及时间为 30（31）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距 B 地：10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50（31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟所以共需要时间为 5515152525=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为 120 分钟【例【例 9】（难度等级（难度等级）甲甲、乙两人同时从乙两人同时从 A、B

24、 两点出发两点出发，甲每分钟行甲每分钟行 80 米米，乙每分钟行乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在距中点的米，出发一段时间后，两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7 分钟，分钟，两人将在距中点的两人将在距中点的 D 处相遇，且中点距处相遇，且中点距 C、D 距离相等，问距离相等，问 A、B 两点相距多少米？两点相距多少米？【解析】【解析】甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程

25、的47，甲行了全程的37由于甲、乙速度比为 4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374，所以甲停留期间乙行了43317744，所以A、B 两点的距离为160 716804(米)【例【例 10】（难度等级（难度等级）甲甲、乙两车分别从乙两车分别从 A、B 两地同时出发两地同时出发，相向而行相向而行出发时出发时，甲甲、乙乙的速度之比是的速度之比是 5:4，相遇后甲的速度减少相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加乙的速度增加 20%这样当甲到达这样当甲到达 B 地时地时，乙离乙离 A 地还有地还有 10 千米那么千米那么 A、B 两地相距多少千米？两地相距多少千米？【解

26、析】【解析】两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为5(1 20%):4(120%)5:6，所以甲到达 B 地时，乙又走了4689515，距离 A 地58191545，所以 A、B 两地的距离为11045045(千米)【例【例 11】（难度等级（难度等级）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午）早晨，小张骑车从甲地出发去乙地下午 1 点，小王开车也从甲地点，小王开车也从甲地出发，前往乙地下午出发，前往乙地下午 2 点时两人之间的距离是点时两人之间的距离是 15 千米下午千米下午 3 点时，两人之间的距离还点时，两人之间的距离

27、还是是 l5 千米下午千米下午 4 点时小王到达乙地，晚上点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【解析】【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15 千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了 15 30 45 千米，故小张的速度是 45 3=15 千米/时

28、，小王的速度是 15 30=45 千米/时全程是 45 3=135千米，小张走完全程用了 135 15=9 小时，所以他是上午 10 点出发的。【例【例 12】（难度等级（难度等级）从甲地到乙地从甲地到乙地，需先走一段下坡路需先走一段下坡路，再走一段平路再走一段平路，最后再走一段上最后再走一段上坡路坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时小时，其中第一小时其中第一小时比第二小时多走比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每千米。如果汽

29、车走上坡路比走平路每小时慢小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】【解析】由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地到乙地共用 3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要 1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了 1 小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走 1 小时的路程，而

30、这个路程恰好比以平路的速度走 1 小时的路程(即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走 1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走

31、 25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时 30 千米所以第二小时内用在走平路上的时间为525306小时，其余的16小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多走了 15 千米，而61小时的下坡路比上坡路要多走130157.56千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为1157.5152小时，所以在第一小时中，有112263小时是在下坡路上走的，剩余的31小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了32小时，走平路用了157366小时，走上坡路用了17166小时因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是2 7:4:73 6那么下坡路的速度为7301510574千米/时，平路的速度是

32、每小时1051590千米，上坡路的速度是每小时903060千米那么甲、乙两地相距2771059060245366(千米)模块三：路程相同速度比等于时间的反比【例【例 13】（难度等级（难度等级）在一圆形跑道上，甲从）在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从点、乙从 B 点同时出发反向而行，点同时出发反向而行，6 分后两分后两人相遇，再过人相遇，再过 4 分甲到达分甲到达 B 点，又过点，又过 8 分两人再次相遇分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】【解析】由题意知，甲行 4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇

33、，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.【例【例 14】（难度等级（难度等级）上午）上午 8 点整，甲从点整，甲从 A 地出发匀速去地出发匀速去 B 地，地，8 点点 20 分甲与从分甲与从 B 地出地出发匀速去发匀速去 A 地的乙相遇地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍倍，乙速度不变乙速度不变；8 点点 30 分分，甲甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是地出发时是 8 点几分点几分【解析】【解析】甲、乙相遇时甲走

34、了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走 10 3=30 分钟，所以前后两段路程的比为 20:30=2:3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点 5 分【例【例 15】（难度等级（难度等级）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路）小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多

35、已知下坡的速度是平路的一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的 1.6 倍，那么倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】【解析】设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是 1由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68，因此，走上坡路需要的时间是511288，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为111:8:118，所以，上坡速度是平路速度的811倍【例【例 16】（难度等级（难度等级）一列火车出发一列火车出发 1 小时后因故停车小时后因故停车 0.5

36、小时小时，然后以原速的然后以原速的34前进前进，最最终到达目的地晚终到达目的地晚 1.5 小时若出发小时若出发 1 小时后又前进小时后又前进 90 公里再因故停车公里再因故停车 0.5 小时，然后同样小时，然后同样以原速的以原速的34前进，则到达目的地仅晚前进，则到达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里小时，那么整个路程为多少公里？【解析】【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的34前进，最终到达目的地晚 1.5 小时，所以后面以原速的34前进的时间比原定时间多用1.50.51小时，而速度为原来的34，所用时间为原来的43，所以后面的一段路程原定时间为41(1)33

37、小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚 1 小时，所以后面以原速的34前进的时间比原定时间多用1 0.50.5小时所以后面的一段路程原定时间为40.5(1)1.53小时，类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程需要：3 1.51.5小时而原定全程为 4 小时，所以整个路程为90 1.5 4240公里【例【例 17】（难度等级（难度等级）王叔叔开车从北京到上海王叔叔开车从北京到上海，从开始出发从开始出发，车速即比原计划的速度提高车速即比原计划的速度提高了了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划

38、的速度行驶，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高千米后，将车速提高 1/6，于是提前于是提前 1 小时小时 40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划的 110/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 1/10，原计划时间为：1.51/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为原来的 7/6，则此后所用时间为

39、原计划的 17/6=6/7，即此后比原计划少用 1/7 的时间，所以 1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 15=1260(千米)【巩固】【巩固】（难度等级（难度等级）一辆汽车从甲地开往乙地一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高如果车速提高 20%可以提前可以提前 1 小时到达小时到达如如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高果按原速行驶一段距离后，再将速度提高 30%，也可以提前，也可以提前 1 小时到达，

40、那么按原速行驶了小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？全部路程的几分之几？【解析】【解析】车速提高 20%，即为原速度的 6/5，那么所用时间为原来的 5/6，所以原定时间为51(1)66小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30%，此时速度为原速度的 13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1011(1)4133小时所以前面按原速度行使的时间为156433小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的556318模块四、比例综合题【例【例 18】（难度等级（难度等级）甲、乙两人同时从甲、乙两人同时从 A 地出发到地出发到 B 地，经

41、过地，经过 3 小时，甲先到小时，甲先到 B 地，乙地，乙还需要还需要 1 小时到达小时到达 B 地，此时甲、乙共行了地，此时甲、乙共行了 35 千米求千米求 A，B 两地间的距离两地间的距离【解析】【解析】甲、乙两个人同时从 A 地到 B 地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲 3 个小时，乙 4 个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3当两个人在相同时间内共行 35 千米时，相当与甲走 4 份，已走 3 份，所以甲走：35（43）4=20（千米），所以，A、B 两地间距离为 20 千米【例【例 19】（难度等级（难度等级）甲甲、乙两人同时从山脚开始爬山乙两人同时从山脚开始爬山，到达

42、山顶后就立即下山到达山顶后就立即下山，他们两人的他们两人的下山速度都是各自上山速度的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离小时，甲与乙在离山顶山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？【解析】【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）课后练习课后练习