现代经济学的数学基础幻灯片.ppt
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1、现代经济学的数学基础第1页,共22页,编辑于2022年,星期日2闭球B(x,r)点集:商品空间 中的向量也叫做点,的子集叫做点集。开球:闭球:开集:能够表示成若干个开球的并的点集,叫做开集。易证:空集 和全空间 都是开集,任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。拓扑:由 的一切开集组成的集族,叫做空间 上的拓扑。闭集:能够表示成某个开集的余集的点集,叫做闭集。易证:空集 和全空间 都是闭集,任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑开球B(x,r)开集 X任何两个开球的交都是开集第2页,共22页,编辑于2022年,星期日3内点:点 x 叫做集合 X
2、 的内点,是指存在实数 r 0 使得以 x 为中心、r 为半径的开球 B(x,r)包含在 X 中。内部:集合 X 的内点的全体叫做 X 的内部,记作 int X 或 X 。可以证明:X 是包含在 X 中的最大开集;X 是开集 当且仅当当且仅当 X=X。邻域:我们把以 x 为内点的集合叫做 x 的邻域。可以证明:x 的任何两个邻域的交仍然是 x 的邻域。(一一)内点与邻域内点与邻域内点内点一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑邻域邻域U邻域邻域V第3页,共22页,编辑于2022年,星期日4(二二)闭包与边界闭包与边界X一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑附贴点:点 x 叫做集合 X 的附贴
3、点,是指以点 x 为中心的任何开球 B(x,r)(r 0)都与 X 相交。闭包:X 的附贴点的全体,叫做 X 的闭包,记作 cl X 或 。可以证明:是包含X 的最小闭集;X 是闭集当且仅当 。边界:集合 叫做 X 的边界。可以证明:X 是闭集 当且仅当当且仅当 X 包含着它的边界。附贴点附贴点第4页,共22页,编辑于2022年,星期日5(三三)拓扑拓扑子空间子空间一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑子空间:赋予相对拓扑的点集 X,叫做 的拓扑子空间。所谓子空间 X 上的相对拓扑,是指由 X 与 的开集之交所构成的集族 (X)=X U:U 是 的开集。(X)中的集合就叫做 X 的开集,也叫
4、做相对开集。相对开集在 X 中的余集,叫做 X 的闭集,或称相对闭集。显然,X 的子集 M 是相对闭集当且仅当当且仅当 M 是 X 与 的某个闭集的交集。例例:半开半闭区间(1,2既不是实数直线 R 中的闭集,也不是 R 中的开集。但在子空间(0,2中,(1,2是相对开集,这是因为(1,2=(0,2(1,3)。M第5页,共22页,编辑于2022年,星期日6(四四)连通集连通集(连通空间连通空间)一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑连通集:赋予相对拓扑后,不能表示成为两个非空且不相交的相对开集之并的子空间,叫做连通子空间连通子空间或连通集连通集。可以证明:对于点集 X 来说,X 连通当且仅当
5、当且仅当X 不能表示成两个非空且不相交的相对闭集之并。X 连通当且仅当当且仅当不存在满足下述条件的集合 A 与B:X=AB,A ,B ,AB=,AB=ABX 不连通不连通CDX 连通连通第6页,共22页,编辑于2022年,星期日7(五五)有界集与紧集有界集与紧集一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑X 下有界:(aR )(xX)(x a)。X 上有界:(bR )(xX)(x b)。X 有界:X 既下有界,又上有界。X 的开覆盖UttT:UttT 是 的开集族,并且 X tT Ut。紧集 X:是指 X 的任何开覆盖都有有限子覆盖。定理 设 。X 是紧集当且仅当当且仅当 X 是有界闭集。X 下有
6、界下有界X 上有界上有界X 的的开覆盖开覆盖第7页,共22页,编辑于2022年,星期日8(六六)凸集凸集一、一、商品空间上的拓扑商品空间上的拓扑凸集:点集 X 叫做是凸集,是指 X 中任何两点之间的连线都在 X 中,即(x,yX)(t0,1)(t x+(1-t)y X)。凸紧集:既是凸集,又是紧集的集合叫做凸紧集。凸紧集在经济分析中相当有用凸紧集在经济分析中相当有用!凸包:X 的凸包是空间 中包含 X 的最小凸集,记作 co X。X 是凸集是凸集X 不是凸集不是凸集X 的凸包的凸包co X第8页,共22页,编辑于2022年,星期日9(七七)一些重要事实一些重要事实一、一、商品空间上的拓扑商品空
7、间上的拓扑定理 设 。int X X cl X。X 是开集 X=int X。X 是闭集 X=cl X。int X 是包含在 X 中的最大开集,cl X 是包含X 的最小闭集。X 是闭集 X 中任何收敛点列的极限都仍在 X 中。X 连通 不存在满足下述条件的集合 A 与B:X 是紧集 X 是有界闭集。X 是紧集 X 是闭集且 X 中的任何序列都有收敛子序列。X 是紧集 X 的任何具有有限交性质的相对闭集族都具有非空的交。集族的有限交性质有限交性质:集族中任何有限个集合的交集都非空。第9页,共22页,编辑于2022年,星期日10二、二、映射与函数映射与函数假定 X 和 Y 为两个任意给定的集合。映
8、射映射 f:X Y 是从 X 到Y 的一种对应关系:对于X 中的任一元素x,Y 中都有唯一的元素 y与之对应(这个元素 y 通常记作 f(x)。X 叫做 f 的定义域定义域,Y 叫做 f 的值域值域。图像图像:G(f)=(x,y)X Y:y=f(x)叫做映射 f 的图像。像像或值集值集:集合 f M =f(x):xM 叫做 M(X)在 f 下的像或值集。原像原像:集合 f K =x X:f(x)K 叫做 K(Y)在 f 下的原像。f:X Y-1若 f 是从 X 到 Y 的映射,则 f 也是从 X 到 f X 的映射。函数函数:取值为实数的映射,叫做函数。即 f:X Y 为函数是指Y R(也即
9、f M R)。XY第10页,共22页,编辑于2022年,星期日11(一一)几类典型的映射几类典型的映射二、二、映射与函数映射与函数单射 f:X Y:把不同的点映射成不同的点,即(x,yX)(x y)(f(x)f(y)满射 f:X Y:Y=f X,即(yY)(xX)(y=f(x)。双射 f:X Y:f 既是单射,又是满射。也称 f 为1-1对应。泛函:定义域为(拓扑)向量空间,取值为实数的映射。线性泛函:保持线性运算的泛函 f:V R(V 为向量空间),即(x,yV)(,R)(f(x+y)=f(x)+f(y)。例:任意给定向量 ,定义映射 如下:。则 f 是线性泛函。例:是双射(1-1映射)。例
10、:f:R 0,1(f(x)=sin x)是满射,但不是单射。第11页,共22页,编辑于2022年,星期日12道路道路:对于 x,yX,连接 x 和 y 的道路道路是一个连续映射:0,1 X 满足(0)=x 且(1)=y。X 道路连通道路连通:X 中任何两点都能由道路连接。对于 ,X 道路连通 X 是连通的。(二二)连续映射连续映射二、二、映射与函数映射与函数假定假定:X 和Y 都是拓扑空间(比如 ),f:X Y。f 在点 xX 处连续连续:是指对 f(x)的任何邻域VY,都存在 x 的邻域U 使得 f(z)V 对一切 z U 成立。f 连续连续:是指 f 在 X 中的任何点处都连续。f 连续
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