自动控制原理状态空间法幻灯片.ppt

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1、自动控制原理状态空间法第1页，共77页，编辑于2022年，星期二一一.问题的引出问题的引出 1-1-古典控制理论的局限性古典控制理论的局限性 1 1、仅适用于、仅适用于SISOSISO的线性定常系统的线性定常系统(外部描述，时不外部描述，时不变系统变系统)2 2、古典控制理论本质上是复频域的方法、古典控制理论本质上是复频域的方法.(.(理论理论)3 3、设计是建立在试探的基础上的、设计是建立在试探的基础上的.(.(应用应用)4 4、系统在初始条件为零、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下或初始松驰条件下,才能才能采用传递函数采用传递函数.控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述第2页，共7

2、7页，编辑于2022年，星期二而实际上大多数系统表现为而实际上大多数系统表现为:1 1、多输入，多输出、多输入，多输出.（抽象定义，系统具有合格性）（抽象定义，系统具有合格性）2 2、时变、时变.（总是可找到一些参数是随时间变化的）（总是可找到一些参数是随时间变化的）3 3、非线性、非线性.（泛指运动本身的非线性特征）（泛指运动本身的非线性特征）4 4、复杂性，复杂任务和高精度、复杂性，复杂任务和高精度.第3页，共77页，编辑于2022年，星期二 因此古典控制理论解决问题受到限制因此古典控制理论解决问题受到限制,需要寻找新需要寻找新的解决方法的解决方法.这种方法或理论应要求这种方法或理论应要求

3、:1 1、描述多输入、描述多输入/输出复杂系统的方法和理论基础输出复杂系统的方法和理论基础.2 2、具有可计算的形式、具有可计算的形式.3 3、解析式设计、解析式设计 4 4、能描述系统内部状态和终端行为、能描述系统内部状态和终端行为(内部描述内部描述).).5 5、系统、系统t=0t=0松驰状态松驰状态,非松驰状态非松驰状态,或非线性时变等情或非线性时变等情况下的适用性况下的适用性.第4页，共77页，编辑于2022年，星期二 结论结论 -对研究内容的界定和限制对研究内容的界定和限制 所以对于一个多输入所以对于一个多输入/输出系统来说输出系统来说:1 1、采用在时域内进行建模，且由于是对实际物

4、、采用在时域内进行建模，且由于是对实际物理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和函理系统进行模型描述，因而模型中的所有变量和函数均假定为实数数均假定为实数 。第5页，共77页，编辑于2022年，星期二 2 2、数学描述的主要手段是微分方程，并应充、数学描述的主要手段是微分方程，并应充分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系分利用系统的内部描述法来建立微分方程，以充分表述系统的内部特性统的内部特性.3 3、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统状态、适用于非初始松驰或非零初始条件的系统状态.4 4、主要研究线性连续时不变系统、主要研究线性连续时不变系统.第6页，共77页，编辑于2022

5、年，星期二二二.问题的引出问题的引出 2-2-状态空间分析方法状态空间分析方法 通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概念通过一个实例引出状态空间分析方法的基本概念.例例:设有如图所示网络设有如图所示网络第7页，共77页，编辑于2022年，星期二 显然显然,若流经电感的初始电流及电容两端的初始电压已若流经电感的初始电流及电容两端的初始电压已知知,则在任何电压驱动下则在任何电压驱动下,网络的行为能唯一地确定。网络的行为能唯一地确定。从从u u到到y y的网络传递函数求得为的网络传递函数求得为:(1)故该网络的脉冲响应为故该网络的脉冲响应为:(1)第8页，共77页，编辑于2022年，星期二 现将输

6、入电压现将输入电压u ,)u ,)施加于网络施加于网络,且网络设定为且网络设定为时不变的时不变的.(1)(1)若在若在 时刻系统是松驰的时刻系统是松驰的,则其输出为则其输出为:(2)(2)(2)若在若在 时刻非松驰（时刻非松驰（前有输入，系统有能量储存），则前有输入，系统有能量储存），则系统输出为系统输出为:(3)第9页，共77页，编辑于2022年，星期二 显然在显然在 以前施加于系统的输入能通过电容和电感的能以前施加于系统的输入能通过电容和电感的能量存储对量存储对 之后的输出产生影响之后的输出产生影响.现在我们考虑由未知输入现在我们考虑由未知输入u(-,u(-,对对y ,)y ,)的影响的影

7、响,即即:（4）第10页，共77页，编辑于2022年，星期二 其中其中:注意到注意到 和和 与与t t无关无关,因此如果因此如果 和和 已知已知,则由未知的输入则由未知的输入u(-,u(-,引起的在引起的在t t 之后的输出之后的输出就完全可以确定。就完全可以确定。第11页，共77页，编辑于2022年，星期二由式（由式（3 3）得到）得到 并利用式（并利用式（4 4）的结果，得）的结果，得 （5）对式对式(3)(3)取关于取关于t t的导数的导数,并利用并利用第12页，共77页，编辑于2022年，星期二得到得到:连同连同g(0)=0,g(0)=0,就意味着有就意味着有(6)(6)联立式联立式(

8、5)(5)和式和式(6),(6),得到得到 第13页，共77页，编辑于2022年，星期二 从而若网络在从而若网络在 时刻非松驰则输出由下式给出时刻非松驰则输出由下式给出:结论结论:若若 和和 已知已知(时刻系统的一种状态时刻系统的一种状态),),即使网络在即使网络在 时刻非松驰时刻非松驰,它在它在t t u ,)u ,)之后的输出也能唯一的被确定之后的输出也能唯一的被确定.显然是由显然是由 和和 ，u ,)u ,)共同唯一地确定共同唯一地确定.第14页，共77页，编辑于2022年，星期二因此因此 和和 可以作为网络的状态可以作为网络的状态,同样也可用同样也可用 和和 作为网络的状态作为网络的状

9、态,而这两组数的原函数是微分方程的变而这两组数的原函数是微分方程的变量量.从例子中也可以看出来从例子中也可以看出来,在无限区间在无限区间(-,(-,上的输入上的输入,其作用效果已综合在其作用效果已综合在 ,和和 ,两个数中两个数中,因此状态概念非常有意义和有效因此状态概念非常有意义和有效.第15页，共77页，编辑于2022年，星期二从上述例子可得到如下结论:1 1、系统状态不是唯一的、系统状态不是唯一的.2 2、状态的选择与物理量有关、状态的选择与物理量有关,一般应该是相互一般应该是相互 独立的储能元件的物理量独立的储能元件的物理量.3 3、每一瞬时的状态可以是仅由有限个数的集合组成、每一瞬时

10、的状态可以是仅由有限个数的集合组成.第16页，共77页，编辑于2022年，星期二 定义定义1.1.状态状态 系统在时刻系统在时刻 的状态乃是时刻的状态乃是时刻 的一种信息量的一种信息量,它与输它与输入入u ,)u ,)唯一地确定系统唯一地确定系统t t 时的行为。时的行为。注：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。注：系统行为指包括状态在内的系统的所有响应。状态即指某一时刻的状态即指某一时刻的,可以表征系统特征或行为的数。可以表征系统特征或行为的数。而该数的原函数则可称为状态变量而该数的原函数则可称为状态变量,而这种函数不但可以描而这种函数不但可以描述某一时刻的行为，并可在述某一时刻的行为，

11、并可在 ,),)内描述行为内描述行为,为此定义状为此定义状态变量是态变量是:第17页，共77页，编辑于2022年，星期二 定义定义2.2.状态变量状态变量 状态变量是确定系统状态的最小一组变量状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最少的如果以最少的n n个变量个变量 可以完全可以完全描述系统的行为描述系统的行为 (即当即当t t 时输入和时输入和在在t=t=初始状态给定后初始状态给定后,系统的状态完全可以确定系统的状态完全可以确定),),那么那么 是一组状态变量是一组状态变量.第18页，共77页，编辑于2022年，星期二 定义定义3.3.状态向量（有限个数的状态变量的集合）状态向量（有限

12、个数的状态变量的集合）如果将状态变量如果将状态变量 作为向量作为向量x(t)x(t)的的各个分量各个分量,则称则称x(t)x(t)为状态向量为状态向量,一旦给定一旦给定 时刻的状态时刻的状态向量向量,则它与输入则它与输入u ,)u ,)唯一地确定系统在唯一地确定系统在 时的时的状态状态x(t)x(t)。第19页，共77页，编辑于2022年，星期二 定义定义4.4.状态空间状态空间 若状态向量若状态向量x(t),x(t),可唯一地由可唯一地由 空间中一组规范正交基空间中一组规范正交基底底(单位坐标向量单位坐标向量)线性组合表示线性组合表示,则状态向量则状态向量x(t)x(t)是是n n维状态空间

13、维状态空间(,n)(,n)中的一个向量中的一个向量,所有状态向量所有状态向量x(t)x(t)集集合组成合组成n n维的状态空间维的状态空间(,n)(,n)或定义为或定义为:通常状态变量均为有实际意义的实数值通常状态变量均为有实际意义的实数值,因此状态向量的取值空间是有限维实向量空间因此状态向量的取值空间是有限维实向量空间,称为状称为状态空间。态空间。第20页，共77页，编辑于2022年，星期二 总结总结:(1)(1)根据状态变量的定义根据状态变量的定义,状态变量应选取系统中相互独状态变量应选取系统中相互独立储能元件的物理量立储能元件的物理量,独立储能元件的个数即为状态变量独立储能元件的个数即为

14、状态变量个数个数.(2)(2)状态变量选取不唯一状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数有时选取状态变量仅为数学描述所需学描述所需,而非明确的物理意义。而非明确的物理意义。第21页，共77页，编辑于2022年，星期二 (3)(3)状态变量是系统的内部变量状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是状一般情况下输出是状态的函数态的函数,但输出总是希望可量测的。但输出总是希望可量测的。(4)(4)仅讨论有限个状态变量的系统。仅讨论有限个状态变量的系统。(5)(5)有限个数的状态变量的集合有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。称为状态向量。(6)(6)状态向量的取值空间称为状态空间。状态向量的取值

15、空间称为状态空间。第22页，共77页，编辑于2022年，星期二 例例2,2,设下图的设下图的RLCRLC网络网络,如果电流如果电流 ,电容电压电容电压 的初始值和的初始值和 时的输入电压均已知时的输入电压均已知,则则 时网络的状态完全由时网络的状态完全由 ,确定确定.因此可将因此可将 和和 作为这个系统的一组状态变量作为这个系统的一组状态变量.第23页，共77页，编辑于2022年，星期二 (注意注意:这个系统这个系统,也可将也可将 (t)(t)和和R*i(t)R*i(t)选为一组选为一组状态变量状态变量)设设i(t)i(t)和和 (t)(t)作为一组状态向量作为一组状态向量,则描述系统则描述系

16、统的动力学方程的动力学方程:第24页，共77页，编辑于2022年，星期二用向量矩阵形式表示用向量矩阵形式表示,则上述方程可表示为则上述方程可表示为:(1)(1)若设若设 ,则上式可简化为则上式可简化为:第25页，共77页，编辑于2022年，星期二 ,当输出选定后当输出选定后,则可以量测的输出则可以量测的输出,总是可以通过总是可以通过状态变量和输入的线性组合得到状态变量和输入的线性组合得到.y=Cx+Du (2)此例中此例中 D=0,D=0,即即第26页，共77页，编辑于2022年，星期二由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空间由此，我们可以得出，现代控制理论或状态空间分析方法是建立在系统采用

17、有限个一阶微分方程分析方法是建立在系统采用有限个一阶微分方程描述的基础上，而有限个一阶微分方程组成了向描述的基础上，而有限个一阶微分方程组成了向量量矩阵方程，因而从本质上来说，现代控制理论矩阵方程，因而从本质上来说，现代控制理论的分析方法是时域分析方法的分析方法是时域分析方法.第27页，共77页，编辑于2022年，星期二控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述-线性系统的状态空间表达式线性系统的状态空间表达式状态空间表达式是描述系统行为的数学模型状态空间表达式是描述系统行为的数学模型,它包括状态它包括状态方程和输出方程方程和输出方程,状态方程由有限个一阶微分方程组成状态方程由有限个一阶微分

18、方程组成,而输出方程则是状态向量和输入的函数而输出方程则是状态向量和输入的函数.1.1.状态方程状态方程x(t)是n1维向量,A(t)是nn维向量,B(t)是nr维向量,u(t)是r1维向量,第28页，共77页，编辑于2022年，星期二(1)(1)如果是线性定常系统如果是线性定常系统,则则 是常系数矩阵是常系数矩阵,则状态方程可写为则状态方程可写为:(2)(2)如果是单输入系统如果是单输入系统,则则状态方程描述了状态方程描述了 时刻和状态时刻和状态 和输入和输入 所决定的系统在所决定的系统在 的行为的行为.第29页，共77页，编辑于2022年，星期二2.2.输出方程输出方程输出方程是在指定输出

19、变量情况下输出方程是在指定输出变量情况下,(,(输出变量往输出变量往往是选取可以量测的物理量往是选取可以量测的物理量)其输出变量与状态变量其输出变量与状态变量以及输入变量之间的关系以及输入变量之间的关系.用用其中其中:是是m1m1维向量维向量,是是mnmn维向量维向量,是是mrmr维向量维向量,第30页，共77页，编辑于2022年，星期二 3.3.状态空间表达式状态空间表达式 1)1)线性时变系统线性时变系统:2)2)线性时不变系统线性时不变系统:在通常情况下，大多数还是研究线性时不变在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系统，系统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对象是线性即线性定常系

20、统，因此本课程的主要研究对象是线性定常系统。定常系统。第31页，共77页，编辑于2022年，星期二4.4.状态空间描述的结构图状态空间描述的结构图(或称状态变量图或称状态变量图)例例:根据上例画出结构图根据上例画出结构图.解解:先将例子写成下述形式先将例子写成下述形式 第32页，共77页，编辑于2022年，星期二则结构图为则结构图为:第33页，共77页，编辑于2022年，星期二画法:1)1)根据状态方程从方程右边开始画起根据状态方程从方程右边开始画起.2)2)通过通过积分环节得到状态积分环节得到状态.3)3)通过状态反馈的组合得到状态的微分通过状态反馈的组合得到状态的微分 4)4)通过状态的组

21、合得到输出通过状态的组合得到输出.第34页，共77页，编辑于2022年，星期二5.5.输入输入/输出描述和状态变量描述的比较输出描述和状态变量描述的比较 (1)(1)系统的输入系统的输入/输出描述仅揭示系统在初始松驰输出描述仅揭示系统在初始松驰的假定下输入的假定下输入输出间的关系输出间的关系.因此对非松驰系统不因此对非松驰系统不能采用这种描述能采用这种描述.尤为重要的问题尤为重要的问题,此描述不能揭示此描述不能揭示非初始松驰时系统将发生的行为非初始松驰时系统将发生的行为,也不能揭示系统也不能揭示系统的内部行为的内部行为.(2)(2)对于甚为复杂的线性系统对于甚为复杂的线性系统,求其动态方程描求

22、其动态方程描述是很繁的述是很繁的,在此情况下在此情况下,借助于直接测量求取输入借助于直接测量求取输入/输输出描述可能稍容易一些出描述可能稍容易一些.第35页，共77页，编辑于2022年，星期二 (3)(3)状态变量法中的各种结果均能以传递函数法得到状态变量法中的各种结果均能以传递函数法得到.(4)(4)状态空间表达式能够推广到时变情形状态空间表达式能够推广到时变情形,且这种状态且这种状态空间描述方程可适用于多种现代设计方法空间描述方程可适用于多种现代设计方法.(5)(5)在非线性系统的研究中在非线性系统的研究中,可以根据不同的方法可以根据不同的方法,而而采用上述两种描述方法中的一种采用上述两种

23、描述方法中的一种.(6)(6)采用状态空间描述的形式采用状态空间描述的形式,可方便地进行计算机可方便地进行计算机仿真仿真.第36页，共77页，编辑于2022年，星期二 三三.状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立根据系统的物理机理根据系统的物理机理,直接写出状态空间表达式直接写出状态空间表达式,如例如例2.2.方法方法:依据有关物理定律依据有关物理定律,或直接建立所选择状态变或直接建立所选择状态变量的一阶微分方程组量的一阶微分方程组.或将得到的微分方程化为所或将得到的微分方程化为所选状态变量的一阶微分方程组选状态变量的一阶微分方程组.第37页，共77页，编辑于2022年，星期二 讨论:(1)

24、(1)这这种种方方法法要要求求系系统统是是完完全全可可数数学学描描述述的的,即即结构和参数必须是确定的物理系统结构和参数必须是确定的物理系统.(2)(2)系系统统是是能能描描述述的的简简单单物物理理系系统统.在在一一般般情情况况下下,只只有有简简单单的的物物理理系系统统才才能能直直接接建建立立按按所所选选择择状状态态变量的一阶微分方程变量的一阶微分方程.(3)(3)复复杂杂物物理理系系统统,在在这这种种情情况况下下,对对系系统统的的描描述述可可能能是是n n阶阶的的线线性性微微分分方方程程,故故而而需需将将高高阶阶微微分分方方程转成一阶微分方程形式程转成一阶微分方程形式.第38页，共77页，编

25、辑于2022年，星期二根据系统微分方程建立状态空间表达式根据系统微分方程建立状态空间表达式.1.1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态表达式输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态表达式系统描述为系统描述为:(1)第39页，共77页，编辑于2022年，星期二讨论讨论:状态如何选择状态如何选择对方程对方程(1),(1),若已知若已知 和和 则可完全确定系统在则可完全确定系统在 的行为的行为,故而可选取故而可选取 n n个状态作为状态变量个状态作为状态变量.注意到注意到,从数学上讲从数学上讲,这种方法是方便的这种方法是方便的,但在实际情况下但在实际情况下,输出中可能存在噪声效应输出中可能存在

26、噪声效应,因而高阶微分是不准确的因而高阶微分是不准确的,这是需要注意的这是需要注意的.第40页，共77页，编辑于2022年，星期二解解:设设则方程则方程(1)(1)可写成可写成:(2)第41页，共77页，编辑于2022年，星期二或写成矩阵形式或写成矩阵形式:其中其中输出方程输出方程:第42页，共77页，编辑于2022年，星期二显然这种结果很容易地推广到显然这种结果很容易地推广到r r个输入个输入(但不含输入的导但不含输入的导数项数项)的情形中的情形中,以一个例子说明以一个例子说明.例例:设设 为系统的微分方程为系统的微分方程其中其中y y为输出为输出,为输入为输入,试求状态空间表达式试求状态空

27、间表达式.第43页，共77页，编辑于2022年，星期二解解:设设则则及及第44页，共77页，编辑于2022年，星期二即即:其中其中 第45页，共77页，编辑于2022年，星期二2.2.输入中含有导数项的输入中含有导数项的n n阶线性系统的状态空间表达阶线性系统的状态空间表达式式.系统微分方程系统微分方程:(3)第46页，共77页，编辑于2022年，星期二讨论讨论:1)1)选择状态变量选择状态变量 显然显然 以及以及 和和 就可唯一确定就可唯一确定 时的行为时的行为.2)2)不能单纯将输入不能单纯将输入,输出作为状态变量输出作为状态变量,必须用输入必须用输入/输出的线性组合作为状态变量输出的线性

28、组合作为状态变量,且为了得到状态空且为了得到状态空间的简约形式间的简约形式,状态变量的选择必须能消去状态方程状态变量的选择必须能消去状态方程中输入中输入u u的导数项的导数项.第47页，共77页，编辑于2022年，星期二用两个方法来解决问题用两个方法来解决问题:(1)(1)将方程将方程(3)(3)写成微分算子的形式写成微分算子的形式,即令即令 为微分算子为微分算子,则原方程可写成则原方程可写成 （4 4）y(t)y(t)亦可表示为亦可表示为:（5）第48页，共77页，编辑于2022年，星期二设一新变量设一新变量v(t),v(t),并令并令 (6)(6)将上式写成微分形式将上式写成微分形式,则为

29、则为:(7)第49页，共77页，编辑于2022年，星期二取状态变量取状态变量则上式又可写成状态方程则上式又可写成状态方程 (8)第50页，共77页，编辑于2022年，星期二将式将式(6)(6)代入式代入式(5)(5)得到输出方程得到输出方程即即 或或 (9)(9)式式(8)(8)和式和式(9)(9)组成状态空间表达式组成状态空间表达式显然显然,上述结果亦可方便地推广到多输入上述结果亦可方便地推广到多输入,多输出的多输出的情形情形.第51页，共77页，编辑于2022年，星期二(2)(2)选取合适的状态变量以消去输入项中的导数选取合适的状态变量以消去输入项中的导数形式形式.设状态变量为设状态变量为

30、:式中式中第52页，共77页，编辑于2022年，星期二这样微分方程式这样微分方程式(3)(3)可以写成下述状态空间表达式可以写成下述状态空间表达式.上述两情况下上述两情况下,具有具有A A阵形式的矩阵称为相伴标准形矩阵形式的矩阵称为相伴标准形矩阵或称友阵阵或称友阵.第53页，共77页，编辑于2022年，星期二四四.状态空间表达式状态空间表达式(或动态方程或动态方程)的线性变换的线性变换.对于状态空间表达式来说对于状态空间表达式来说,由于状态变量选择的非由于状态变量选择的非唯一性唯一性,因此所得到的动态方程形式是不一样的因此所得到的动态方程形式是不一样的,但由但由于是描述的同一系统于是描述的同一

31、系统,故而动态方程不论形式如何故而动态方程不论形式如何,它们对系统行为的描述应该提供同样多的信息。它们对系统行为的描述应该提供同样多的信息。第54页，共77页，编辑于2022年，星期二1.1.系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性.对于选定的状态变量对于选定的状态变量x,x,则线性定常系统为则线性定常系统为:(11)第55页，共77页，编辑于2022年，星期二若存在非奇异矩阵若存在非奇异矩阵P ,P ,使使 或或 则式则式(11)(11)变为变为 (12)(12)其中其中 ,初始条件变换初始条件变换第56页，共77页，编辑于2022年，星期二式式(12)(12)表明了状态空间

32、表达式的非唯一性表明了状态空间表达式的非唯一性,而其根本原而其根本原因在于因在于 ,即状态选取的非唯一性，因为总是即状态选取的非唯一性，因为总是可找到非奇异的可找到非奇异的P,P,使得使得讨论讨论:(1)x (1)x和和 为同一向量在线性空间是关于不同基底的不为同一向量在线性空间是关于不同基底的不同表示同表示,其中其中P P也称为基底变换矩阵。也称为基底变换矩阵。(2)A(2)A也被称为线性算子也被称为线性算子(自身映射自身映射),),对于同一算子对于同一算子A,A,对对于不同基底也有不同表示于不同基底也有不同表示(如如 )，但，但A A和和 是相似是相似的的,即满足即满足第57页，共77页，

33、编辑于2022年，星期二 显而易见显而易见,同一算子关于不同基底的所有矩阵同一算子关于不同基底的所有矩阵表示都是相似的表示都是相似的.问题问题:(1)(1)既然一个线性算子有多种表示既然一个线性算子有多种表示,是否有可能选一是否有可能选一组基底以使算子组基底以使算子A A的表达最为简洁的表达最为简洁.(2)(2)在不同基底下在不同基底下,线性算子具有不同的表示线性算子具有不同的表示,那么它那么它们的特征值是否发生了变化们的特征值是否发生了变化.第58页，共77页，编辑于2022年，星期二2.2.系统特征值的不变性系统特征值的不变性(1)(1)特征值定义特征值定义,特征向量的定义特征向量的定义定

34、义定义:设设A A为将为将 映射到自身的线性算子映射到自身的线性算子 若存在若存在C C 中的非零向量中的非零向量X X 及及C C 中的标量中的标量,使得使得 则称则称为为A A的特征值的特征值,任何满足任何满足 的非零向量的非零向量X X称为称为A A的特征向量的特征向量.第59页，共77页，编辑于2022年，星期二 按定义按定义,为了寻找关于为了寻找关于A A的特征值的特征值,将将 写成写成 其中其中I I 是是 的单位阵的单位阵,对于方程对于方程 是齐次方程组，且是齐次方程组，且 也是也是 的，该方程当且仅当的，该方程当且仅当 方程才有非零解。故当且仅当方程才有非零解。故当且仅当 是是

35、 的根时的根时,标量标量 才是才是A A的特征值的特征值,显然显然A A阵共有阵共有n n个特征个特征根根,当然它们未必是相异的当然它们未必是相异的.(2)(2)特征值的不变性特征值的不变性 易证明这一结论易证明这一结论第60页，共77页，编辑于2022年，星期二3.3.化化A A阵为对角阵阵为对角阵(化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形)(特征值互异的情况下特征值互异的情况下)这里这里,实际上是为回答上述的第一个问题实际上是为回答上述的第一个问题-使使A A表示表示最简洁最简洁.首先研究在首先研究在A A的特征值是互异的情形下的特征值是互异的情形下:不加证明地给出下述结论不加证明

36、地给出下述结论.若线性算子若线性算子A A或或A A阵具有互异的特征值阵具有互异的特征值,则在选择特则在选择特征向量作为基底的情况下征向量作为基底的情况下,算子算子A A或或A A阵的表示是一阵的表示是一对角阵对角阵,对角线上的元素即为其特征值对角线上的元素即为其特征值.第61页，共77页，编辑于2022年，星期二具体来说具体来说:对于状态方程对于状态方程 若若A A的特征值互异的特征值互异,互异互异,则存在非则存在非奇异矩阵奇异矩阵P,P,进行变换进行变换 ,变换后的状态方程为变换后的状态方程为第62页，共77页，编辑于2022年，星期二其中其中A A为对角阵为对角阵,即即且且P P由由A

37、A阵的特征向量阵的特征向量 组成组成 满足满足易证易证 组成的向量是线性无关的组成的向量是线性无关的.第63页，共77页，编辑于2022年，星期二上述方法成立的一个重要基础是需证明上述方法成立的一个重要基础是需证明 线性无关线性无关,若作为基底若作为基底,则则 是是A A关于基关于基底的表示。底的表示。一种特殊情况一种特殊情况,若若A A为友阵时为友阵时,则可直接给出变换阵则可直接给出变换阵P P称称P P 为范德蒙矩阵为范德蒙矩阵,它能使友阵它能使友阵A A,作相似变换后得作相似变换后得第64页，共77页，编辑于2022年，星期二4.4.化状态方程为约当规范形化状态方程为约当规范形(化化A

38、A阵为约当形矩阵阵为约当形矩阵)这这种种情情形形实实际际是是A A阵阵特特征征值值有有重重根根的的情情形形.-.-如如果果A A阵阵有有重根则只能化成约当形矩阵重根则只能化成约当形矩阵约当规范形的推导比较复杂约当规范形的推导比较复杂,我们这里不加证明地给出我们这里不加证明地给出下述结论下述结论:第65页，共77页，编辑于2022年，星期二设设A A的特征值有的特征值有q q个重根个重根,其余其余(n-qn-q)个根为互异根个根为互异根,将将A A阵化为约当规范形的形式为阵化为约当规范形的形式为:第66页，共77页，编辑于2022年，星期二相应的变换矩阵相应的变换矩阵 其中其中 是对应于是对应于

39、n-qn-q个互异单根的特征向量个互异单根的特征向量,求法同对角规范形。求法同对角规范形。是对应于是对应于q q个重根的各特征向量个重根的各特征向量,它们的计它们的计算按下式算按下式.第67页，共77页，编辑于2022年，星期二其中其中.是是 的特征根对应的特征向量的特征根对应的特征向量,称为广义特征向量称为广义特征向量显而易见在这种变换下显而易见在这种变换下,状态方程的约当规范形为状态方程的约当规范形为第68页，共77页，编辑于2022年，星期二五五.状态空间表达式与传递函数阵间的变换状态空间表达式与传递函数阵间的变换注意注意:该变换仅适用于零初始松驰的线性定常系统该变换仅适用于零初始松驰的

40、线性定常系统.传函矩阵的概念传函矩阵的概念显而易见显而易见,单输入单输入/单输出定常系统的传函概念和单输出定常系统的传函概念和方法方法,亦可推广到多输入亦可推广到多输入/多输出的定常线性系统多输出的定常线性系统,此此时传函则是以一个矩阵来表示时传函则是以一个矩阵来表示,该矩阵称为传函矩该矩阵称为传函矩阵阵.第69页，共77页，编辑于2022年，星期二例如下例例如下例,例了描述了两个输入例了描述了两个输入/输出系统的传递输出系统的传递函数表示法函数表示法.第70页，共77页，编辑于2022年，星期二根据上图根据上图,可以写出系统的输入可以写出系统的输入/输出描述的数学模输出描述的数学模型型.写成

41、矩阵形式写成矩阵形式第71页，共77页，编辑于2022年，星期二或简写为或简写为称称 为输出向量为输出向量 与输入向量与输入向量 之间的传之间的传函矩阵函矩阵,显然我们可以将显然我们可以将 推广到推广到mrmr的情形的情形,即即r r个输入个输入,m,m个输出个输出.第72页，共77页，编辑于2022年，星期二状态空间表达式与传函阵之间的关系状态空间表达式与传函阵之间的关系(1)(1)线性定常系统单输入线性定常系统单输入/单输出的传递函数单输出的传递函数 设动态方程设动态方程第73页，共77页，编辑于2022年，星期二对动态方程作零初始条件下的拉氏变换得到对动态方程作零初始条件下的拉氏变换得到

42、令令 ，并解方程，并解方程,得到得到由于由于 则则第74页，共77页，编辑于2022年，星期二讨论讨论:1).1).如果如果 中不存在零点对消中不存在零点对消,则则A A的特征值是的特征值是 的极点。的极点。2).2).此时此时 是一维的是一维的.第75页，共77页，编辑于2022年，星期二(2)(2)线性定常多输入线性定常多输入/多输出系统的传函矩阵多输出系统的传函矩阵仿前例仿前例,对动态方程进行拉氏变换对动态方程进行拉氏变换(零初始条件零初始条件)从而得到从而得到显然传函矩阵显然传函矩阵第76页，共77页，编辑于2022年，星期二(3)(3)多输入多输入/多输出传函的特点多输出传函的特点 （a a）输入）输入/输出传函描述的最大特点是清楚地输出传函描述的最大特点是清楚地反映了每个输入分量对输出分量的影响反映了每个输入分量对输出分量的影响,如果如果 是对角形的是对角形的,则称系统是解耦的。则称系统是解耦的。（b b）传函矩阵的不变性）传函矩阵的不变性 对同一系统对同一系统,尽管状态空间表达式可以有多样尽管状态空间表达式可以有多样性或非唯一性性或非唯一性,但传函是唯一的。但传函是唯一的。第77页，共77页，编辑于2022年，星期二