第四节二次型及其标准型精选文档.ppt

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1、第四节二次型及其标准型1本讲稿第一页，共三十六页一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.简记为简记为 本讲稿第二页，共三十六页只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为二次型；都为二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形.本讲稿第三页，共三十六页1 1用和号表示用和号表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法4本讲稿第四页，共三十六页2 2用矩阵表示用矩阵表示5本讲稿第五页，共三十六页解解例例6本讲稿第六页，共三十六页三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩二次型与对称矩阵之间存在二次型与对称

2、矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系7本讲稿第七页，共三十六页设设四、化二次型为标准形四、化二次型为标准形寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形本讲稿第八页，共三十六页定理定理4.13经可逆线性变换经可逆线性变换 ,二次型二次型的矩阵变为的矩阵变为 即即 且二次型且二次型 的秩不变的秩不变.本讲稿第九页，共三十六页说明说明本讲稿第十页，共三十六页本讲稿第十一页，共三十六页用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤本讲稿第十二页，共三十六页化为标准型。化为标准型。求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型例例213本讲稿第

3、十三页，共三十六页(1(1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值)(2(2求特征向量求特征向量)14本讲稿第十四页，共三十六页(3(3将特征向量正交化将特征向量正交化)(4(4将正交向量组单位化得正交矩阵将正交向量组单位化得正交矩阵 )15本讲稿第十五页，共三十六页16本讲稿第十六页，共三十六页解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例2 2本讲稿第十七页，共三十六页从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组本讲稿第十八页，共三十六页4 4将正交向量组单位

4、化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵本讲稿第十九页，共三十六页于是所求正交变换为于是所求正交变换为本讲稿第二十页，共三十六页解解例例4 421本讲稿第二十一页，共三十六页22本讲稿第二十二页，共三十六页23本讲稿第二十三页，共三十六页24本讲稿第二十四页，共三十六页25本讲稿第二十五页，共三十六页五、惯性定理五、惯性定理26本讲稿第二十六页，共三十六页为为正定二次型正定二次型为为负定二次型负定二次型六、正六、正(负负)定二次型的概念定二次型的概念例如例如27本讲稿第二十七页，共三十六页定义定义4.14设有实二次型，设有实二次型，（1）若对任何）若对任何 ，都有，都有 ，则，则 称为半正

5、定称为半正定二次型，而对称矩阵二次型，而对称矩阵 称为半正定矩阵，记作；称为半正定矩阵，记作；（2）若对任何）若对任何 ，都有，都有 ，则，则 称为半负定称为半负定二次型，而对称矩阵二次型，而对称矩阵 称为半负定矩阵，记作称为半负定矩阵，记作.二次型二次型 的正定性与它的矩阵的正定性与它的矩阵 的正定性是一致的的正定性是一致的.28本讲稿第二十八页，共三十六页七、正七、正(负负)定二次型的判别定二次型的判别推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要为正定的充分必要 条件是：条件是：的特征值全为正的特征值全为正29本讲稿第二十九页，共三十六页定义定义4.15设有设有n阶方阵阶方阵 位于左上角的各

6、阶子式位于左上角的各阶子式 称为称为n n阶方阵阶方阵A的主子式的主子式.30本讲稿第三十页，共三十六页定理定理4.17（霍尔维茨定理）实对称矩阵（霍尔维茨定理）实对称矩阵A为为正定矩阵的充要条件是：正定矩阵的充要条件是：A的各阶主子式都为正；的各阶主子式都为正；实对称矩阵实对称矩阵A为负定矩阵的充要条件是：为负定矩阵的充要条件是：A的奇数的奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正阶主子式为负，偶数阶主子式为正.正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质31本讲稿第三十一页，共三十六页例例1 1 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解它的顺序主子式它的顺序主子式故上述二次型是正定的

7、故上述二次型是正定的.32本讲稿第三十二页，共三十六页例例2 2 判别二次型判别二次型是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为用用特征值判别法特征值判别法.故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，33本讲稿第三十三页，共三十六页例例3 3 判别二次型判别二次型的正定性的正定性.解解34本讲稿第三十四页，共三十六页八、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，经常遇到，通过通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化

8、为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换算更快的可逆变换本讲稿第三十五页，共三十六页4.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.3.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系5.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导36本讲稿第三十六页，共三十六页