圆周率的计算.pptx

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1、1 1、实验时期、实验时期 通过实验进行估算通过实验进行估算,这是计算圆周率这是计算圆周率的的第一阶段的的第一阶段中国中国:(1)“圆径一而周三圆径一而周三”-周髀算经周髀算经(2)“周三径一周三径一,方五斜七方五斜七”-木工口诀木工口诀 古埃及：数谷粒与称重量：古埃及：数谷粒与称重量：第1页/共22页2、几何算法、几何算法用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法用圆内接正多边形和圆外切正多边形逼近的方法第2页/共22页6边形边形12边形边形24边形边形圆圆刘徽刘徽:割之弥细割之弥细,所失弥少所失弥少.割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆周合体则与圆周合体而无所失矣而无所失矣

2、3.14145240288(n=3072)阿基米德阿基米德第3页/共22页 祖冲之的这一研究成果享有世界声誉祖冲之的这一研究成果享有世界声誉:巴黎巴黎“发现宫发现宫”科学博物科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率,莫斯科大学礼堂的走莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像,月球上有以祖冲之命名的环形山月球上有以祖冲之命名的环形山公元公元5世纪世纪,祖冲之祖冲之隋书隋书律历志律历志：“宋末宋末,南徐州从事祖冲之更开密法南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫

3、二秒七忽一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽秒六忽,正数在盈朒二限之间正数在盈朒二限之间.密率密率:圆径一百一十三圆径一百一十三,圆周三百五十五圆周三百五十五约率约率,圆径七圆径七,周二十二。周二十二。”第4页/共22页1579年年,韦达证明韦达证明1630年年,德国人鲁道夫德国人鲁道夫:小数点以后小数点以后35位位1150年年,印度数学家婆什迦罗印度数学家婆什迦罗:3.141614241424年年,中亚细亚数学家卡西中亚细亚数学家卡西:3.14159265358979325.3.141592653589794238462643383

4、27950288第5页/共22页3、分析方法、分析方法从十七世纪中叶起从十七世纪中叶起,人们开始用分析方法来求人们开始用分析方法来求的近似值的近似值,其中其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数.麦琴麦琴(Machin)给出给出(Machin公式公式)第6页/共22页1656年年,沃里斯沃里斯(Wallis)证明证明取取k=10取取k=20第7页/共22页欧拉证明了欧拉证明了(1735)注：注：BaselProblem,1644年提出年提出第8页/共22页1、Buffon投针投针1.在白纸上画上许多条间距为在白纸上画上许多条间距为d的平行直线的平行直

5、线2.取长为取长为l(ld)的针的针,随机地投掷在白纸上随机地投掷在白纸上,投掷投掷n次次,观察与直线相观察与直线相交的次数交的次数,记为记为m.4、概率方法、概率方法针线相交的概率针线相交的概率第9页/共22页随机投针的概率含义随机投针的概率含义(1)针的中点针的中点M与平行线的距离与平行线的距离x均匀分布于区间均匀分布于区间0,d/2(2)针与平行线的交角均匀分布于区间针与平行线的交角均匀分布于区间记针的中点为记针的中点为M,x表示点表示点M与较近的平行线间距离与较近的平行线间距离,表示针与表示针与平行线间夹角平行线间夹角在间隔为在间隔为d的平行线间随机投掷长度为的平行线间随机投掷长度为l

6、的针的针0,d/2中随机选取中随机选取x,0,中随机产生中随机产生,构成平面中点构成平面中点x,第10页/共22页计算针和直线相交的概率是计算针和直线相交的概率是设投掷设投掷n次次,相交相交m次次,则针与线相交的频率为则针与线相交的频率为m/n针与平行线相交的条件针与平行线相交的条件n=2212,Buffon:=3.142;n=5000,Wolf:=3.1593第11页/共22页d=45;l=36;n=20000;x=;y=;P=;Q=;fori=1:n,x1=rand*d*0.5;y1=rand*pi;if2*x1=l*sin(y1),x=x,x1;y=y,y1;elseP=P,x1;Q=Q

7、,y1;endendm=length(x),p=2*l*n/(d*m)s=0:0.01:pi;plot(s,l*sin(s)/2,k,Linewidth,2)holdonplot(y,x,r.),plot(Q,P,b.),plot(0,pi,0,0,k,Linewidth,2),plot(0,pi,22.5,22.5,k,Linewidth,2)plot(0,0,0,22.5,k,Linewidth,2),plot(pi,pi,0,22.5,k,Linewidth,2)axis(-0.2,3.3,-2,24)第12页/共22页利用蒙特卡洛算法计算圆周率利用蒙特卡洛算法计算圆周率第13页/共22

8、页利用蒙特卡洛算法计算定积分利用蒙特卡洛算法计算定积分第14页/共22页2、互素数分布、互素数分布取一个大整数取一个大整数N,在在1到到N之间随机取一对整数之间随机取一对整数a,b,它们互素的概率它们互素的概率注：注：随机整数随机整数randint(1,1,)求求a,b最大公约数最大公约数gcd(a,b)第15页/共22页5、数值积分方法、数值积分方法第16页/共22页数值积分方法数值积分方法第17页/共22页6、代数迭代、代数迭代对正数对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列定义算术均值数列和几何均值数列若两数列极限相等若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值则称此极限为它们

9、的算术几何均值,记为记为AGM(a0,b0)取取则有则有记记第18页/共22页年代年代19491973198919992011精确位数精确位数2035100万万10亿亿2061亿亿2000万亿万亿“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量。的一个量。”西蒙西蒙纽克姆纽克姆 第19页/共22页实验一小结实验一小结1、几何算法、几何算法:割圆法割圆法,正多边形逼近圆正多边形逼近圆2、分析算法、分析算法:无穷级数无穷级数,有限项逼近无穷项有限项逼近无穷项3、数值分析、数值分析:定积分计算定积分计算,矩形逼近曲边梯形矩形逼近曲边梯形4、概率统计、概率统计:蒲丰投针、整数互素蒲丰投针、整数互素第20页/共22页提示:思考题思考题(1)能设计其它计算圆周率的算法吗能设计其它计算圆周率的算法吗?(2)如何计算无理数如何计算无理数e?第21页/共22页谢谢您的观看！第22页/共22页