圆的内接四边形.pptx

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1、圆周角定理：圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半的圆心角的一半圆心角定理圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数推论推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等推论推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，的圆周角所对的弦是直径第1页/共18页例例2如图，如图，AB与与CD相交于圆内一点相交于圆内一点P求证：求证：的度数与的度数与 的度数和的一半等于的度数和的一半等于APD的度数的度数DABPCE分析：由于分析：由于APD既不是既不是圆心角圆心角，也不是也不是圆周角圆周角，为此我们需要构造，为此我

2、们需要构造一个与一个与APD相等的圆心角或圆周相等的圆心角或圆周角，以便利用定理角，以便利用定理证明：如图，过点证明：如图，过点C作作CE/AB交交圆于圆于E，则有，则有APD C.第2页/共18页OACDEBABCOOC CA AB BD DABCFEDO 定义：定义：如果多边形的所有顶点都如果多边形的所有顶点都在一个圆上在一个圆上,那么这个多边形叫做那么这个多边形叫做圆内圆内接多边形接多边形,这个圆叫做这个圆叫做多边形的外接圆多边形的外接圆.一一 定理的探究定理的探究第3页/共18页 思考思考:探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆你能发现这些四边形的共同特征吗？特殊到一般的方法特殊到

3、一般的方法!（1）任意三角形都有外接圆吗？那么任意四边形有外接圆吗?（3）任意矩形是否有外接圆?（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?第4页/共18页CODBA1.1.如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，弧弧BCDBCD和弧和弧BADBAD所对的所对的圆心角的圆心角的和和是周角是周角.AACC 180 同理同理BBDD1801802 圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理：圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补第5页/共18页2.2.圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理C CO.O.D DB BA AE

4、圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形的外角等于它的内角的对角第6页/共18页圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理：圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补圆内接四边形的圆内接四边形的性质定理性质定理2：圆内接四边形的外角等于圆内接四边形的外角等于它的内角的对角它的内角的对角3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 OC CA AB BD DE第7页/共18页已知已知：四边形：四边形ABCD中，中，B+D=180,求证求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）在同一圆周上（简称四点共圆）.OC CA

5、 AB BD D分析：分析：不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆经过经过A、B、C三点三点作作 O，如果能够由条件得到如果能够由条件得到 O过点过点D，那么就证明了命题，那么就证明了命题显然，显然，O与点与点D有且只有三种位置关系有且只有三种位置关系:(1)点点D在圆外；在圆外；(2)点点D在圆内；在圆内；(3)点点D在圆上在圆上只要证明在假设条件下只有只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题成立，也就证明了命题OC CA AB BD DOC CA AB BD D分类讨论思想分类讨论思想反证法反证法3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 第8

6、页/共18页OC CA AB BD DEOC CA AB BD DE(1)如果点D在 O的外部设E是AD与圆周的交点，连接EC，则有AEC+B=180.由题设B+D=180,可得D=AEC 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在 O的外部（2）如果点D在 O的内部显然AD的延长线必定与圆相交，设交点为E，连接EC，则有E+B=180.由题设B+ADC=180,可得E=ADC 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在 O的内部证明证明：(分类讨论思想及反证法分类讨论思想及反证法)综上所述，综上所述，点点D只能在圆只能在圆周上，周上，即即A、B、C、D四四

7、点共圆点共圆第9页/共18页圆内接四边形圆内接四边形判定定理判定定理：如果一个四边形的对角互补，那：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆么这个四边形的四个顶点共圆说明：说明：在此判定定理的证明中，用到了在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想分类讨论的思想和和反证法反证法又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法穷举法于是于是圆内接四边形判定定理的圆内接四边形判定定理的推论推论：如果四边形的一个外角等：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四

8、边形的四个顶点共圆于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆ABCDOEOC CA AB BD D应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A+C=180,四点四点A,B,C,D共圆共圆应用格式：应用格式：在四边形在四边形ABCD中，中，A=DCE,四点四点A,B,C,D共圆共圆3 四边形存在外接圆的判定定理四边形存在外接圆的判定定理 第10页/共18页1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD=100,则BAD=,BCD=.练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C=2:3:4,则A=B=C=D=501306090120903、如图，四边形ABCD内接于O

9、，DCE=75，则BOD=150ABCDOE设A=2x,则C=4x.A+C=180,x=30.二二 定理的应用定理的应用第11页/共18页例例1：如图：如图 O1与与 O2都经过都经过A、B两点两点.经过点经过点A的直线的直线CD与与 O1交于点交于点C,与与 O2交于点交于点D.经过点经过点B的直线的直线EF与与 O1交于点交于点E,与与 O2交于点交于点F.求证：求证：CEDF.OO2 2F FA AB BE EC CD D分析：只要证明同旁内角互补即可！分析：只要证明同旁内角互补即可！并利用圆内接四边形的性质定理并利用圆内接四边形的性质定理证明：连接证明：连接AB四边形四边形ABEC是是

10、 O1的内接四边形，的内接四边形，BADE又又四边形四边形ABFD是是 O2的内接四边形，的内接四边形，BAD+F=180 E+F=180 CE/DF第12页/共18页变式1：如图，如图，O1和和 O2都经过都经过A、B两点过两点过A点的直点的直线线CD与与 O1交于点交于点C，与，与 O2交于点交于点D过过B点的直线点的直线EF与与 O1交于点交于点E，与，与 O2交于点交于点F求证：求证：CE/DF.EDCFABO1O2变式2:如图如图,O1和和 O2有两个公共点有两个公共点AB过过AB两点的直线分别交两点的直线分别交 O1于于C、E,交交 O2于于D、F，且，且CDEF求证：求证：CE=

11、DFCEABDFO1O2由例由例1可知可知:CE/DF,又又CD/EF,DCEF为平行四边为平行四边形形 CE=DF.第13页/共18页例例.如图如图,CF是是ABC的的AB边上的高边上的高,FPBC,FQAC.求证求证:A、B、P、Q四点共圆四点共圆 FPBC,FQAC，FQAFPC证明：连接PQ在四边形QFPC中，Q、F、P、C四点共圆QFCQPC又CFAB，QFCQFA90而AQFA90QFCAQPCAA、B、P、Q四点共圆CQPBFA第14页/共18页1、(1)圆内接平行四边形一定是 形.(2)圆内接梯形一定是 形.(3)圆内接菱形一定是 形.矩等腰梯正方练习2：2.如果四边形一边上的

12、两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆DCBA已知：如图，四边形ABCD中，ADB=ACB.求证:A、B、C、D四点共圆分析:要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够的条件,即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明用反证法.第15页/共18页DCBADCBAEDCBAE已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，ADB=ACB.求证求证:A、B、C、D四点共圆四点共圆.证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为 O(1)如果点C 在 O的外部.连接BC,与圆交于点E则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB与AEBACB相矛盾矛盾故点不可能在圆外()如果点C 在 O的内部.延长BC与圆交于点E连接AE.则ADB=AEB.ADB=ACB,ACB=AEB与ACBAEB相矛盾矛盾故点不可能在圆内综合综合(1),(2)可知，点可知，点C只能在圆上即只能在圆上即A、B、C、D四点共圆四点共圆第16页/共18页课堂小结:1 圆内接四边形的性质3、解题时应注意两点：（1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角的位置，不要受背景的干扰.（2）证题时，常需添辅助线-两圆共有一条弦，构造圆内接四边形.4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.2 圆内接四边形的判定第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页