常微分方程 全微分方程PPT讲稿.ppt

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1、常微分方程常微分方程 全微分全微分方程方程1第1页，共40页，编辑于2022年，星期六1.1.全微分方程的定义全微分方程的定义设设是一个连续可微的二元函数是一个连续可微的二元函数,则则若若则有则有这是一大类可求解的微分方程这是一大类可求解的微分方程.2第2页，共40页，编辑于2022年，星期六则称则称 为全微分方程。为全微分方程。若连续可微的二元函数若连续可微的二元函数 使得使得 此时，全微分方程此时，全微分方程 的解为的解为 3第3页，共40页，编辑于2022年，星期六例如例如,下列方程都是全微分方程下列方程都是全微分方程:因为函数因为函数的全微分就分别是这三个方程的左端的全微分就分别是这三

2、个方程的左端,他们的解分别是他们的解分别是4第4页，共40页，编辑于2022年，星期六但并不是所有的方程都能方便地找到对应的但并不是所有的方程都能方便地找到对应的的函数的函数,或者这样的或者这样的就不存在就不存在.所以我们有三个问题需要解决所以我们有三个问题需要解决:(1)(1)方程是否就是全微分方程方程是否就是全微分方程;(2)(2)若方程是全微分方程若方程是全微分方程,怎样求它的解怎样求它的解;(3)(3)若方程不是全微分方程若方程不是全微分方程,有无可能有无可能将它转化为一个全微分方程来求解将它转化为一个全微分方程来求解?5第5页，共40页，编辑于2022年，星期六是全微分方程的充要条件

3、为是全微分方程的充要条件为:（2.3.3)证明：一证明：一.先证必要性先证必要性2.2.方程为全微分方程的充要条件方程为全微分方程的充要条件设设是全微分方程是全微分方程,则有函数则有函数 使得使得 中连续且有连续的一阶偏导数，则中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理定理2.1 2.1 设函数设函数 和和 在一个矩形区域在一个矩形区域6第6页，共40页，编辑于2022年，星期六故故 成立。成立。故有故有 计算计算的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数:由于由于M(x,y)和和N(x,y)有连续一阶偏导数有连续一阶偏导数,从而有从而有7第7页，共40页，编辑于2022年，星期六二二.再证充分性再证充分性构

4、造函数构造函数 满足满足 设设 满足满足 取取 待定，对上式关于待定，对上式关于y求偏导数得求偏导数得 在矩形在矩形R中取一点中取一点 令令 是是R的一个动点，的一个动点，8第8页，共40页，编辑于2022年，星期六令令 所有与所有与 相差一个常数的函数都满足相差一个常数的函数都满足 则找到一个满足则找到一个满足 的函数的函数 这种方法称为线积分法这种方法称为线积分法.9第9页，共40页，编辑于2022年，星期六例：验证方程例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。3.3.全微分方程的积分全微分方程的积分由于由于 解：解：当一个方程是全微分方程时当一个方程是全微分方程

5、时,我们有三种解法我们有三种解法.(1)(1)线积分法线积分法:或或10第10页，共40页，编辑于2022年，星期六故通解为故通解为其中其中为任意常数为任意常数所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。11第11页，共40页，编辑于2022年，星期六(2)(2)偏积分法偏积分法的通解的通解.例：求方程例：求方程由于由于 解：解：假设所求全微分函数为假设所求全微分函数为 ,则有则有 求求 12第12页，共40页，编辑于2022年，星期六而而 即即从而从而即即13第13页，共40页，编辑于2022年，星期六解解:偏积分法偏积分法原方程的通解原方程的通解:练习练习14第14页，共40页，编辑于20

6、22年，星期六例：验证方程例：验证方程是全是全微分方程，并求它满足初始条件：微分方程，并求它满足初始条件：的解。的解。所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。由于由于 解：解：由于由于 (3)(3)凑微分法凑微分法15第15页，共40页，编辑于2022年，星期六方程的通解为：方程的通解为：利用条件利用条件 得得 最后得所求初值问题得解为：最后得所求初值问题得解为：根据二元函数微分的经验根据二元函数微分的经验,原方程可写为原方程可写为16第16页，共40页，编辑于2022年，星期六通解：通解：解解:分组凑全微分法分组凑全微分法练习练习17第17页，共40页，编辑于2022年，星期六解解是是全

7、微分方程全微分方程将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解：原方程的通解：练习练习18第18页，共40页，编辑于2022年，星期六一阶线性方程一阶线性方程解解整理整理:法一法一法二法二 整理整理:练习练习19第19页，共40页，编辑于2022年，星期六（1）偏积分法）偏积分法原方程的通解原方程的通解:20第20页，共40页，编辑于2022年，星期六（2）凑全微分法）凑全微分法原方程的通解原方程的通解:21第21页，共40页，编辑于2022年，星期六若一个方程不是全微分方程，若一个方程不是全微分方程，我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。4.4.积分因子

8、积分因子例例:求方程求方程解：解：故该方程不是全微分方程故该方程不是全微分方程,对该方程两边对该方程两边同时乘以同时乘以后得后得:22第22页，共40页，编辑于2022年，星期六由于由于利用凑微分的方法可得通解为利用凑微分的方法可得通解为:如果有函数如果有函数使方程使方程是全微分方程。则是全微分方程。则一个积分因子。一个积分因子。称为方程的称为方程的23第23页，共40页，编辑于2022年，星期六 观察法观察法凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到 常常见见的的全全微微分分表表达达式式可选用积分因子可选用积分因子24第24页，共40页，编辑于2022年，星期六例例:验证验证是方程是方程 的积分因子的

9、积分因子,并求它的通解并求它的通解.解：解：对方程两边同乘以对方程两边同乘以后得后得由于由于 故该方程是全微分方程故该方程是全微分方程,是一个是一个利用凑微分的方法可得通解为利用凑微分的方法可得通解为:积分因子积分因子,25第25页，共40页，编辑于2022年，星期六例例:验证验证是方程是方程 的一个积分因子，并求其通解。的一个积分因子，并求其通解。解：对方程有解：对方程有对方程两边同乘以对方程两边同乘以 后，再利用凑微分法后，再利用凑微分法通解为通解为:26第26页，共40页，编辑于2022年，星期六 求方程求方程解解不是全微分方程不是全微分方程.将方程两端重新组合将方程两端重新组合,观察法

10、观察法,积分因子积分因子原方程原方程练习练习27第27页，共40页，编辑于2022年，星期六解解将方程两端重新组合将方程两端重新组合,求方程求方程不是全微分方程不是全微分方程.积分因子积分因子,原方程的通解原方程的通解:练习练习28第28页，共40页，编辑于2022年，星期六从上面的例子可看出从上面的例子可看出,当确定了积分因子后当确定了积分因子后,很容易求出其通解很容易求出其通解,但问题是但问题是:(1)(1)积分因子是否一定存在积分因子是否一定存在?(2)(2)如何求积分因子如何求积分因子?这两个问题是十分困难的问题这两个问题是十分困难的问题,一般来说无法一般来说无法给出答案给出答案,但对

11、一些特殊的函数或方程是可以给出但对一些特殊的函数或方程是可以给出一些充分条件的一些充分条件的.29第29页，共40页，编辑于2022年，星期六定理定理2.22.2微分方程微分方程有一个仅依赖有一个仅依赖的积分因子得充要条件是的积分因子得充要条件是:于于有关；有关；仅与仅与因子得充要条件是因子得充要条件是同理，方程有一个仅依赖于同理，方程有一个仅依赖于的积分的积分仅与仅与有关。有关。30第30页，共40页，编辑于2022年，星期六即即上式左端只与上式左端只与有关有关,故右端也只能是故右端也只能是的函数的函数.反之反之,若方程的右端函数仅与若方程的右端函数仅与有关有关,我们取我们取证明证明:仅证第

12、一部分仅证第一部分.不妨设不妨设上式就是方程的一个积分因子上式就是方程的一个积分因子,故定理得证故定理得证.31第31页，共40页，编辑于2022年，星期六例：求微分方程例：求微分方程 的通解。的通解。解：由于解：由于故它不是全微分方程。故它不是全微分方程。利用积分因子的表达式利用积分因子的表达式得得 又因为又因为 它与它与 无关。无关。由定理知，方程有一个仅与由定理知，方程有一个仅与有关的积分因子。有关的积分因子。32第32页，共40页，编辑于2022年，星期六对方程两边同乘以积分因子对方程两边同乘以积分因子 得得 这是一个全微分方程。分组凑微分这是一个全微分方程。分组凑微分,得方程通解得方

13、程通解:33第33页，共40页，编辑于2022年，星期六注注:积分因子是求解微分方程的一个重要方法积分因子是求解微分方程的一个重要方法,绝大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决绝大多数方程的求解都可以通过这种方法来解决.但是求一个微分方程的积分因子比较困难但是求一个微分方程的积分因子比较困难,需要灵活的方法和技巧需要灵活的方法和技巧.34第34页，共40页，编辑于2022年，星期六熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子熟练记住下面的几个方程和其对应的积分因子例如例如:当一个微分方程中出现当一个微分方程中出现时时,函数函数都有可能成为其积分因子都有可能成为其积分因子.35第35页，共40页，

14、编辑于2022年，星期六例例.求微分方程求微分方程的通解的通解.解解:因为因为所以方程不是全微分方程所以方程不是全微分方程.将方程的左端重新分组得将方程的左端重新分组得:选择选择作为方程的积分因子作为方程的积分因子.方程两边同时乘以方程两边同时乘以方程的通解为方程的通解为36第36页，共40页，编辑于2022年，星期六设微分方程左端可以分为两组设微分方程左端可以分为两组,即即其中第一组和第二组各有积分因子其中第一组和第二组各有积分因子和和使得使得由于对任意可微函数由于对任意可微函数和和是第一组的积分因子是第一组的积分因子,是第二组的积分因子是第二组的积分因子,37第37页，共40页，编辑于20

15、22年，星期六例：求微分方程例：求微分方程的通解。的通解。解：将方程左端分组解：将方程左端分组 前一组有积分因子前一组有积分因子和通积分和通积分 后一组有积分因子后一组有积分因子和通积分和通积分 如果能选取的如果能选取的和和使得使得则则就是方程的一个就是方程的一个积分因子积分因子.38第38页，共40页，编辑于2022年，星期六从而得原方程的积分因子为从而得原方程的积分因子为 用它乘原方程得用它乘原方程得 所以方程的通解为所以方程的通解为:外加特解外加特解 和和 我们要寻找可微函数我们要寻找可微函数 使使 只要取只要取 39第39页，共40页，编辑于2022年，星期六P.62 3（1,3）作 业2（1,3）,4,6（3,4）40第40页，共40页，编辑于2022年，星期六