第四章静态场边值问题的解法精选PPT.ppt

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1、第四章静态场边值问题的解法第1页，此课件共46页哦4.1 4.1 分离变量法分离变量法 1.1.1.1.分离变量法的思想分离变量法的思想分离变量法的思想分离变量法的思想 把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，把一个包含多个自变量的函数用含单个自变量的函数的乘积表示，从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确从而将偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确从而将

2、偏微分方程分离为几个常微分方程分别求解，最后利用边界条件确定积分常数，得到级数形式的解。定积分常数，得到级数形式的解。定积分常数，得到级数形式的解。定积分常数，得到级数形式的解。分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法解题的一般步骤：解题的一般步骤：写出边值问题（微分方程和边界条件）；写出边值问题（微分方程和边界条件）；分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；解常微分方程，并叠加得到通解；解常微分方程，并叠加得到通解；下 页上 页返 回第2页，此课件共46页哦利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。下

3、 页上 页 分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标分离变量法采用正交坐标系，当场域边界与正交坐标面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。面重合或平行时，分离变量法是一种有效的方法。2.2.2.2.直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）分离变量，设解答为：分离变量，设解答为：代入微分方程代入微分方程第3页，此课

4、件共46页哦设设分离常数的取值有三种情况：分离常数的取值有三种情况：分离常数的取值有三种情况：分离常数的取值有三种情况：下 页上 页除以除以fg分离常数分离常数特解特解1 1第4页，此课件共46页哦下 页上 页返 回指数函数指数函数特解特解2 2第5页，此课件共46页哦下 页上 页特解特解3 3第6页，此课件共46页哦 通解为所有特解的叠加通解为所有特解的叠加下 页上 页 对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，对于具体问题，根据边界条件确定积分常数，积分常数的确定一般有：积分常数的确定一般有：比较系数法比较系数法 傅立叶级数展开法傅立叶级数展开法第7页，此课件共46页哦 分离常数的确定：分离

5、常数的确定：若边界条件可看成周期性（若边界条件可看成周期性（若边界条件可看成周期性（若边界条件可看成周期性（f=0f=0），），），），则则分离常数分离常数为虚为虚数，对应解为三角函数；数，对应解为三角函数；若边界条件为非周期性，则若边界条件为非周期性，则若边界条件为非周期性，则若边界条件为非周期性，则分离常数分离常数为实数，对为实数，对为实数，对为实数，对 应解为双曲函数或指数函数，其中有限区域的取应解为双曲函数或指数函数，其中有限区域的取 双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；双曲函数，而无限区域的解衰减的指数函数；双曲函数，而无限区域的解衰减的指

6、数函数；若场与某坐标无关，则若场与某坐标无关，则分离常数为零分离常数为零，对应解为，对应解为 常数；常数；常数；常数；确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是确定了各坐标变量方程的解，它们的乘积是 拉氏方程的特解，须将特解线性叠加，使其满拉氏方程的特解，须将特解线性叠加，使其满 足边界条件，从而确定各系数，求得电位函数。足边界条件，从而确定各系数，求得电位函数。下 页上 页返 回第8页，此课件共46页哦试求长直接地金属槽内电位的分布试求长直接地金属槽内电位的分布。边值问题（边值问题（边值问题（边值问题（D D 域内）域内

7、）接地金属槽的截面接地金属槽的截面接地金属槽的截面接地金属槽的截面下 页上 页例：例：解：解：解：解：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)第9页，此课件共46页哦代入边界条件，确定积分常数代入边界条件，确定积分常数代入边界条件，确定积分常数代入边界条件，确定积分常数下 页上 页由边界条件由边界条件（1）得：得：f(0)=0由边界条件由边界条件由边界条件由边界条件(1)(1)、（、（、（、（2 2）分析可知：分析可知：由边界条件（由边界条件（2）得得f(a)=0第10页，此课件共46页哦下 页上 页由边界条件（由边界条件（3）代入得代入得可知可知g(0)=0将各特解线性叠加得通解将各

8、特解线性叠加得通解将各特解线性叠加得通解将各特解线性叠加得通解第11页，此课件共46页哦下 页上 页由边界条件（由边界条件（4）代入通解得代入通解得比较系数比较系数当当 时，时，当当 时，时，第12页，此课件共46页哦若金属槽盖电位若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布，再求槽内电位分布通解通解当当 时时，下 页上 页返 回傅立叶级数傅立叶级数第13页，此课件共46页哦代入通解代入通解接地金属槽内接地金属槽内接地金属槽内接地金属槽内的等位线分布的等位线分布的等位线分布的等位线分布下 页上 页第14页，此课件共46页哦下 页上 页返 回第15页，此课件共46页哦下 页上 页2.2.2.2.圆柱坐标系

9、中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）设电位只是设电位只是r r和和和和f f f f 的函数，拉普拉斯方程为：的函数，拉普拉斯方程为：分离变量分离变量分离变量分离变量,设设设设 代入微分方程代入微分方程代入微分方程代入微分方程分离常数分离常数第16页，此课件共46页哦下 页上 页 欧拉方程欧拉方程当当 时，时，不是周期函数不是周期函数 因因周期函数周期函数第17页，此课件共46页哦当当 时，时，欧拉方程欧拉方程必为实数必为实数必为整数必为整数下 页上 页返 回第18页，此课件共46页哦通解通解下 页上 页

10、或或若求的是圆柱区域的问题，则若求的是圆柱区域的问题，则A0=0,B0=0第19页，此课件共46页哦 取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题取圆柱坐标系，边值问题 垂直于均匀电场垂直于均匀电场垂直于均匀电场垂直于均匀电场E E E E0 0 放置一根无放置一根无放置一根无放置一根无限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内限长均匀介质圆柱棒，试求圆柱内外外外外 f f f f 和和 E E 的分布。的分布。下 页上 页返 回例：例：例：例：解：解：通解通解通解通解 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中

11、的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒E0f f2f f1 1P(r,P(r,j)j)j)j)第20页，此课件共46页哦下 页上 页利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常数通解通解对称性对称性b.b.可知可知参考点参考点a.a.有限值有限值第21页，此课件共46页哦通解通解c.c.c.c.由由比较系数比较系数比较系数比较系数通解通解下 页上 页返 回第22页，此课件共46页哦下 页上 页d.d.d.d.分界面的衔接条件分界面的衔接条件分界面的衔接条件分界面的衔接条件对于对于对于对于f f2 2 2 2，n=1=1=1=1第23

12、页，此课件共46页哦最终解最终解最终解最终解下 页上 页均匀电场均匀电场第24页，此课件共46页哦 均匀外电场中介质圆柱内外的电场均匀外电场中介质圆柱内外的电场均匀外电场中介质圆柱内外的电场均匀外电场中介质圆柱内外的电场 下 页上 页介质柱内电场均匀，并与介质柱内电场均匀，并与介质柱内电场均匀，并与介质柱内电场均匀，并与外加电场外加电场外加电场外加电场E E E E 平行；平行；平行；平行；表明表明若若若若 2 2 E1；若若若若 2 2 1 1 ，E2 E1；第25页，此课件共46页哦4.2 4.2 镜像法镜像法下 页上 页返 回镜像法与电轴法的基本思想镜像法与电轴法的基本思想镜像法与电轴法

13、的基本思想镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。电荷电场的问题。是一种间接计算方法。电荷电场的问题。是一种间接计算方法。电荷电场的问题。是一种间接计算方法。适合电荷附近由导体面

14、或介质面存在的情况。适合电荷附近由导体面或介质面存在的情况。适合电荷附近由导体面或介质面存在的情况。适合电荷附近由导体面或介质面存在的情况。1.1.1.1.点电荷对平面导体的镜像点电荷对平面导体的镜像点电荷对平面导体的镜像点电荷对平面导体的镜像场分布特点：场分布特点：平面导体上产生负感应电荷平面导体上产生负感应电荷平面导体上产生负感应电荷平面导体上产生负感应电荷电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场第26页，此课件共46页哦下 页上 页返 回边值问题边值问题易求镜像电荷大小与位置易求镜像电荷大小与位置平面导体镜像电荷位置与原电荷平面导体镜像电荷位置与原电荷关于导体平面对称，电荷大小相关于导体

15、平面对称，电荷大小相等带电量相反，等带电量相反，R R R RR R R R第27页，此课件共46页哦上半场域的电位和电场上半场域的电位和电场上半场域的电位和电场上半场域的电位和电场下 页上 页返 回-q q q q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板上复杂分布的感应电荷的作用；杂分布的感应电荷的作用；杂分布的感应电荷的作用；杂分布的感应电荷的作用；注意注意镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；镜像电荷应放置在所求区

16、域（有效区）以外；镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外；根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可作相应的镜像。镜像。镜像。镜像。pR2R1第28页，此课件共46页哦地面上感应电荷的总量为地面上感应电荷的总量为垂直地面的电场分量垂直地面的电场分量垂直地面的电场分量垂直地面的电场分量试求空气中点电荷试求空气中点电荷q q 在地面引起的感应电荷分布在地面引起的感应电荷分布及点电荷受到的作用力。及点电荷受到的作用力。解：解：下 页上 页返 回

17、例：例：应用镜像法，地面任意点应用镜像法，地面任意点应用镜像法，地面任意点应用镜像法，地面任意点 地面电荷分布地面电荷分布地面电荷分布地面电荷分布R R R RR R R R镜像电荷镜像电荷镜像电荷镜像电荷第29页，此课件共46页哦点电荷点电荷q q q q受到的作用力：受到的作用力：受到的作用力：受到的作用力：用线电荷密度为用线电荷密度为用线电荷密度为用线电荷密度为r rl无限长直导线代替点电荷无限长直导线代替点电荷无限长直导线代替点电荷无限长直导线代替点电荷q q q q，则单位长直导线受到的作用力：则单位长直导线受到的作用力：则单位长直导线受到的作用力：则单位长直导线受到的作用力：镜像电

18、荷镜像电荷单位长作用力单位长作用力下 页上 页返 回第30页，此课件共46页哦 点电荷对相交接地平面导体边界的镜像点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 如图，两半无限大接地导如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。体平面垂直相交。要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，则必须引入则必须引入则必须引入则必须引入3 3 3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。对于非垂直相交的两导体平面构对于非垂直相交的两导体平面构对于非垂直相交的两导体平面构对于非垂直相交的两导体平面构成的边界

19、，成的边界，成的边界，成的边界，若若若若 为偶数则可用为偶数则可用为偶数则可用为偶数则可用镜像法求，镜像电荷位于以镜像法求，镜像电荷位于以镜像法求，镜像电荷位于以镜像法求，镜像电荷位于以OPOPOPOP为半径为半径为半径为半径的圆周上，则所有镜像电荷数目为的圆周上，则所有镜像电荷数目为的圆周上，则所有镜像电荷数目为的圆周上，则所有镜像电荷数目为n-n-n-n-1 1 1 1个。个。个。个。OP下 页上 页返 回第31页，此课件共46页哦镜像法小结镜像法小结 镜像法的理论依据是：镜像法的理论依据是：镜像法的理论依据是：镜像法的理论依据是：镜像法的实质是：镜像法的实质是：镜像法的关键是：镜像法的关

20、键是：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电荷，使计算场域为无限大均匀媒质；算场域为无限大均匀媒质；算场域为无限大均匀媒质；算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；静电场唯一性定理；静电场唯一性定理；静电场唯一性定理；确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题确定镜像电荷的个

21、数，大小及位置以保证原场的边值问题确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原场的边值问题不变；不变；不变；不变；应用镜像法解题时注意：应用镜像法解题时注意：应用镜像法解题时注意：应用镜像法解题时注意：下 页上 页返 回第32页，此课件共46页哦2.2.点电荷对球面导体的镜像点电荷对球面导体的镜像点电荷位于接地导体球外点电荷位于接地导体球外下 页上 页场分布特点：场分布特点：球面上产生负感应电荷球面上产生负感应电荷球面上产生负感应电荷球面上产生负感应电荷电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场电场为两维子午平面场边值问题边值问题边

22、值问题边值问题导体球外（除导体球外（除导体球外（除导体球外（除q q q q点）空间：点）空间：点）空间：点）空间：a a第33页，此课件共46页哦下 页上 页确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷大小确定镜像电荷大小确定镜像电荷大小确定镜像电荷大小应用镜像法求解应用镜像法求解球面电位球面电位球面电位球面电位将将 r r1,r,r2 代入方程代入方程代入方程代入方程 ，得镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场域外。域外。域外。域外。a a第34页，此课件共46页哦联立求解得联立求解得联立求解得联立求解得镜像

23、电荷位置镜像电荷大小下 页上 页镜像电荷等于负感应电荷总量镜像电荷等于负感应电荷总量镜像电荷等于负感应电荷总量镜像电荷等于负感应电荷总量。第35页，此课件共46页哦球外任一点球外任一点P 的电位与电场为的电位与电场为 球外的电场分布球外的电场分布球外的电场分布球外的电场分布下 页上 页 球外的电场计算球外的电场计算球外的电场计算球外的电场计算a af fp第36页，此课件共46页哦1.1.1.1.点电荷点电荷点电荷点电荷q q 对不接地金属球的镜像。对不接地金属球的镜像。边值问题边值问题边值问题边值问题思路思路下 页上 页讨论讨论导体球外（除导体球外（除导体球外（除导体球外（除q q点）空间：

24、点）空间：点）空间：点）空间：a第37页，此课件共46页哦则则则则任一点电位任一点电位通通量为零量为零（)大小相等）大小相等）球面等位（球面等位（位于球心）位于球心）下 页上 页导体球零电位导体球零电位球面电位球面电位任一点场强任一点场强r1r2r_a第38页，此课件共46页哦 点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体点电荷位于不接地导体球附近的场图球附近的场图球附近的场图球附近的场图下 页上 页讨论讨论2.2.点电荷点电荷q q q q 对带有电荷对带有电荷对带有电荷对带有电荷Q的金属球的镜像。的金属球的镜像。a第39页，此课件共46页哦下 页上 页 边值问题边值问题边值

25、问题边值问题思路思路思路思路导体球外（除导体球外（除q q q q点）空间点）空间点）空间点）空间：a+Q任一点电位任一点电位r1r2r_a+Q第40页，此课件共46页哦a讨论讨论下 页上 页3.3.点电荷点电荷q q 对带有电压对带有电压U0的金属球的镜像。的金属球的镜像。边值问题边值问题思路思路导体球外（除导体球外（除q q q q点）空间：点）空间：点）空间：点）空间：r1r2r_aQ第41页，此课件共46页哦讨论讨论下 页上 页4.4.点电荷点电荷q q q q 在不带电的金属球壳内的镜像。在不带电的金属球壳内的镜像。在不带电的金属球壳内的镜像。在不带电的金属球壳内的镜像。边值问题边值

26、问题边值问题边值问题思路思路导体球内（除导体球内（除q q q q点）空间：点）空间：点）空间：点）空间：aqqb bd d第42页，此课件共46页哦4 4 4 4、线电荷对圆柱面导体的镜像、线电荷对圆柱面导体的镜像、线电荷对圆柱面导体的镜像、线电荷对圆柱面导体的镜像（1 1 1 1）接地导体圆柱边值问）接地导体圆柱边值问）接地导体圆柱边值问）接地导体圆柱边值问题题题题导体柱外（除导体柱外（除q q q q点）空间：点）空间：a ar rl下 页上 页返 回第43页，此课件共46页哦确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷的位置确定镜像电荷大小确定镜像电荷大小确定镜像

27、电荷大小确定镜像电荷大小镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场镜像电荷放在求解的场域外。域外。域外。域外。求解过程与导体球类似求解过程与导体球类似圆柱外电位圆柱外电位圆柱外电位圆柱外电位 球外的电场计算球外的电场计算球外的电场计算球外的电场计算a af fpr rlr rl r 下 页上 页返 回第44页，此课件共46页哦柱面上对于任何柱面上对于任何柱面上对于任何柱面上对于任何j,f|j,f|j,f|j,f|r=ar=a=0=0比较系数得比较系数得比较系数得比较系数得下 页上 页返 回第45页，此课件共46页哦ar rl导体圆柱外任一点电位导体圆柱外任一点电位r1r2r_ar rlr rl-r-rl（2 2 2 2）不接地导体圆柱边值）不接地导体圆柱边值）不接地导体圆柱边值）不接地导体圆柱边值问题问题问题问题导体圆柱外任一点电位导体圆柱外任一点电位导体圆柱外任一点电位导体圆柱外任一点电位下 页上 页返 回第46页，此课件共46页哦