第四章矩阵分析及矩阵函数精选文档.ppt

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1、第四章矩阵分析及矩阵函数本讲稿第一页，共一百二十五页4.1 4.1 矩阵分析矩阵分析定定义义4.1.1 4.1.1 令令 是是 的的矩矩阵阵序序列列，假假 如如 存存 在在 一一 个个 的的 矩矩 阵阵 A A，即即当当 时时，与与 无无限限制制的的靠靠近近,则则称称序列收敛到序列收敛到A,A,记为记为:4.1.14.1.1基本概念基本概念本讲稿第二页，共一百二十五页矩阵序列收敛矩阵序列收敛 个一般序列收敛个一般序列收敛每一个矩阵每一个矩阵 表示成表示成 ,并且并且 .本讲稿第三页，共一百二十五页定理定理4.1.14.1.1 矩阵序列矩阵序列 收敛收敛 于于 矩阵矩阵A A的充分必要条件是的充

2、分必要条件是 对所有对所有 成立。成立。本讲稿第四页，共一百二十五页关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。关于矩阵序列极限的性质，考虑其中二个。定理定理4.1.24.1.2令令 和和 是是 和和 矩阵，并且分别收敛到矩阵，并且分别收敛到A A和和B,B,那么：那么：本讲稿第五页，共一百二十五页推论推论1 1令令 是收敛于是收敛于A A的的矩矩阵阵序序列列，分分别别是是 矩矩阵阵，那么那么本讲稿第六页，共一百二十五页4.1.1.2 4.1.1.2 矩阵级数矩阵级数假如其收敛到假如其收敛到 ,记记 则级数则级数 ,收敛到收敛到 .定定义义4.1.24.1.2 令令 是是 矩矩阵阵序序列列，构造部分

3、和序列构造部分和序列 本讲稿第七页，共一百二十五页 收敛，当且仅当矩阵序列收敛，当且仅当矩阵序列 收敛，即当且仅当收敛，即当且仅当 任给任给 ,存在存在 ，任意正整数，任意正整数 只要只要 都有都有 定理定理4.1.34.1.3 (Cauchy (Cauchy收敛准则收敛准则)本讲稿第八页，共一百二十五页定理定理4.1.44.1.4 若数项级数若数项级数 收敛，则矩收敛，则矩阵级数阵级数 收敛。收敛。特别地，对于方阵特别地，对于方阵 ，如果级数，如果级数 收敛，则矩阵幂级数收敛，则矩阵幂级数 收敛收敛.本讲稿第九页，共一百二十五页例例4.1.24.1.2定定理理4.1.54.1.5 设设幂幂级

4、级数数 的的收收敛敛半半径径是是 ，则则当当方方阵阵 的的范范数数 时时，矩矩阵阵幂幂级级数数 收敛。收敛。本讲稿第十页，共一百二十五页4.1.2 4.1.2 矩阵的微分和积分矩阵的微分和积分 4.1.2.1 4.1.2.1 函数矩阵及其极限函数矩阵及其极限定义定义4.1.34.1.3 如果矩阵如果矩阵 的每一个元素的每一个元素 都是变量都是变量 的函数，则的函数，则本讲稿第十一页，共一百二十五页定定义义4.1.44.1.4 如如果果对对任任意意 ，都都有有 ，则称矩阵，则称矩阵 在在 时极限为时极限为 。本讲稿第十二页，共一百二十五页性质性质1 1 如果如果 ,以以下性质成立：下性质成立：（

5、1 1）若若 都是都是 矩阵，则矩阵，则本讲稿第十三页，共一百二十五页（2 2）若若 分别是分别是 和和 矩阵，矩阵，则则 （3 3）设设 是常数，则是常数，则 本讲稿第十四页，共一百二十五页定定义义4.1.54.1.5 设设函函数数矩矩阵阵 中中所所有有元元素素 在在 处处连连续续，则则称称 在在 处处连连续续，如如果所有元素果所有元素 在在 内每一点连续内每一点连续,称称 在在 内内连连续续，如如果果 在在 内内连连续，并且所有的续，并且所有的 在在 点右连续，在点右连续，在 点左连续，则称点左连续，则称 在在 上连续上连续.本讲稿第十五页，共一百二十五页4.1.2.2 4.1.2.2 函

6、数矩阵的微分函数矩阵的微分 定定义义4.1.64.1.6 设设函函数数矩矩阵阵 中中所所有有元元素素 都都在在 点点或或某某区区间间内内可可微微，则则称称矩矩阵阵 在在 点点或或某某区区间间内内是是可可微微的的,若若 可可微微，其其导导数如下：数如下：本讲稿第十六页，共一百二十五页同样，同样，的高阶导数可以定义为的高阶导数可以定义为类似于数量函数的导数记法，可以类似于数量函数的导数记法，可以将上式记成将上式记成本讲稿第十七页，共一百二十五页性质性质2 2 设函数矩阵设函数矩阵 都可微都可微(1)(1)若若 为常数，则为常数，则（2 2）若）若 与与 是同型矩阵，则是同型矩阵，则 本讲稿第十八页

7、，共一百二十五页(3)(3)若若 是是 矩阵，矩阵，是是 矩阵，则矩阵，则 特别的，如果特别的，如果 或或 是常数矩阵是常数矩阵 或或 ,就有就有本讲稿第十九页，共一百二十五页4.1.3 4.1.3 函数矩阵的积分函数矩阵的积分 定定义义4.1.74.1.7 如如果果矩矩阵阵 的的每每个个元元素素 都都是是区区间间 上上的的可可积积函函数数，则则定定义义 在在 上的积分为上的积分为本讲稿第二十页，共一百二十五页性质性质3 3 若若 是是 上的可积函数矩上的可积函数矩阵，则阵，则 都是都是 矩阵矩阵；分别是分别是 和和 矩阵，并且矩阵，并且 与与 无关无关.本讲稿第二十一页，共一百二十五页 分别

8、是分别是 和和 矩阵，并且矩阵，并且 与与 无关。无关。(4)(4)当当 对对所所有有 在在 上上连连续续时时，就称就称 在在 上连续上连续,且有且有 当当 都在都在 上连续时，则上连续时，则本讲稿第二十二页，共一百二十五页4.1.2.4 4.1.2.4 数量函数关于矩阵的微分数量函数关于矩阵的微分在场论中，对数量函数在场论中，对数量函数 ,定义梯度定义梯度如如 下：下：可以理解为函数可以理解为函数 对向量对向量 的的导数。导数。本讲稿第二十三页，共一百二十五页 定义定义4.1.84.1.8 设设 对对 有偏导数，定义有偏导数，定义 对向量对向量 导数为导数为 对向量对向量 的导数为的导数为本

9、讲稿第二十四页，共一百二十五页一般地，假如一般地，假如 对每个对每个 都有偏导数，则定义数量函数都有偏导数，则定义数量函数 对矩阵对矩阵 的导数为的导数为 例例 4.1.5 4.1.5本讲稿第二十五页，共一百二十五页4.2.1 4.2.1 矩阵函数的定义及性质矩阵函数的定义及性质 4.2 4.2 矩阵函数矩阵函数定义定义4.2.14.2.1 设一元函数设一元函数 能够展开为能够展开为 的幂函数的幂函数 其中其中 表示该幂级数的收敛半径表示该幂级数的收敛半径.本讲稿第二十六页，共一百二十五页当当n n阶阶矩矩阵阵 满满足足 时时，把把收收敛敛的的矩矩阵阵幂幂级级数数 的的和和称称为为矩矩阵阵函函

10、数数，记记为为 ,即即本讲稿第二十七页，共一百二十五页如下函数如下函数:在整个复平面上都是收敛的在整个复平面上都是收敛的.本讲稿第二十八页，共一百二十五页于是矩阵幂级数于是矩阵幂级数 都是绝对收敛的。都是绝对收敛的。本讲稿第二十九页，共一百二十五页因此它们有和并且有因此它们有和并且有 分别称以上三式是矩阵的指数函数，分别称以上三式是矩阵的指数函数，余弦函数和正弦函数。余弦函数和正弦函数。本讲稿第三十页，共一百二十五页定理定理4.2.14.2.1 对于方阵对于方阵 的函数的函数 容易验证以下性质：容易验证以下性质：本讲稿第三十一页，共一百二十五页本讲稿第三十二页，共一百二十五页值得注意的是，在微

11、积分中，我们对指数值得注意的是，在微积分中，我们对指数函数有如下性质函数有如下性质 ,但矩阵但矩阵函数的第（函数的第（3 3）条性质中指出，这样一条性）条性质中指出，这样一条性质必须质必须 有条件保证。否则，一般不有条件保证。否则，一般不成立。成立。本讲稿第三十三页，共一百二十五页例如，令例如，令易证易证互不相等互不相等本讲稿第三十四页，共一百二十五页4.2.2 4.2.2 矩阵函数的计算矩阵函数的计算 4.2.2.1 4.2.2.1 待定系数法待定系数法 用待定系数法，计算矩阵函数用待定系数法，计算矩阵函数 是基于是基于每个矩阵每个矩阵 存在最小多项式的前提下进行存在最小多项式的前提下进行的

12、，假设的，假设A A 的最小多项式是的最小多项式是 （4.2.64.2.6）本讲稿第三十五页，共一百二十五页 多项式多项式 可以写成可以写成 ，其中其中 的次数低于的次数低于 的次数。由于的次数。由于 有有 ，所以，所以 。本讲稿第三十六页，共一百二十五页另另一一方方面面，我我们们可可以以将将A A的的最最小小多多项项式式(4.2.6)(4.2.6)写成写成 (4.2.7)(4.2.7)其中其中 是是A A的互异的特征值的互异的特征值 本讲稿第三十七页，共一百二十五页定义定义4.2.24.2.2 在在A A的谱上确定的谱上确定:设设A A的最小的最小多项式是多项式是 ，如，如(4.2.6)(4

13、.2.6)所示，如果复所示，如果复函数函数 在在A A的谱的谱 上有下述确定上有下述确定的值。的值。（4.2.84.2.8）称称 在在A A的谱上确定，并称的谱上确定，并称(4.2.8)(4.2.8)中的中的 r r个数为个数为 在在A A的谱上的值。的谱上的值。本讲稿第三十八页，共一百二十五页推论推论1 1 每个复多项式每个复多项式 在任何在任何 的的谱上确定。谱上确定。本讲稿第三十九页，共一百二十五页例例 4.2.1 4.2.1 例例 4.2.2 4.2.2例例 4.2.3 4.2.3 例例 4.2.4 4.2.4定理定理4.2.24.2.2 设设 和和 是两个复多项是两个复多项式，两者的

14、次数和系数均可以不同式，两者的次数和系数均可以不同,，则，则 的充分必要条件是的充分必要条件是 和和 在在A A的谱上的值完全相同。的谱上的值完全相同。本讲稿第四十页，共一百二十五页4.2.2.2 4.2.2.2 利用利用JordanJordan标准形计算矩阵函数标准形计算矩阵函数 实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为实际过程中，可以将无穷级数求和的问题化为多项式求和问题。多项式求和问题。本讲稿第四十一页，共一百二十五页假设假设 矩阵矩阵A A的最小多项式是的最小多项式是 则有则有本讲稿第四十二页，共一百二十五页 当当 时，时，可降为低于可降为低于 的幂次，的幂次，矩阵多项式问题矩阵多项式

15、问题幂级数定义的矩阵函数问题幂级数定义的矩阵函数问题计算计算 的关键：计算的关键：计算 。本讲稿第四十三页，共一百二十五页下面分下面分A A是不同情况进行讨论是不同情况进行讨论(1)A(1)A是对角矩阵是对角矩阵 设设则则本讲稿第四十四页，共一百二十五页(2)A(2)A是对角形分块矩阵是对角形分块矩阵 其中其中 为为A A的子方阵的子方阵 本讲稿第四十五页，共一百二十五页由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似故对由于分块矩阵的乘积与矩阵乘积类似故对于上述分块矩阵于上述分块矩阵A A，有，有 本讲稿第四十六页，共一百二十五页(3)A(3)A为一般矩阵时为一般矩阵时 的计算方法的计算方法 存在方阵存在方

16、阵 使得使得 ，因此因此。若若本讲稿第四十七页，共一百二十五页则则其中其中 是是 的的 重特征根重特征根 本讲稿第四十八页，共一百二十五页则则本讲稿第四十九页，共一百二十五页且矩阵且矩阵A A的函数可化为的函数可化为A A的的JordanJordan块的函数块的函数问题；问题；的函数的函数 ；计算计算 实质上是计算实质上是计算 的的JordanJordan块块下面来具体计算下面来具体计算JordanJordan块块 的函数的函数 。本讲稿第五十页，共一百二十五页设设则则于是于是（4.2.94.2.9）本讲稿第五十一页，共一百二十五页首先观察首先观察 本讲稿第五十二页，共一百二十五页本讲稿第五十

17、三页，共一百二十五页为了计算为了计算 ，将，将 展开成展开成TaylorTaylor级数级数（4.2.104.2.10）本讲稿第五十四页，共一百二十五页由由 代入代入(4.2.10)(4.2.10)得到得到（4.2.114.2.11）当当 时，时，.于是于是(4.2.10)(4.2.10)可以写成可以写成（4.2.124.2.12）本讲稿第五十五页，共一百二十五页将将(4.2.12)(4.2.12)写成矩阵形式写成矩阵形式（4.2.124.2.12）本讲稿第五十六页，共一百二十五页 例例 4.2.5 4.2.5 例例 4.2.6 4.2.6本讲稿第五十七页，共一百二十五页4.3.1 4.3.1

18、 线性常系数齐次微分方程的初值问题线性常系数齐次微分方程的初值问题 关于关于n n个独立的函数个独立的函数 的线性常系数微分方程组可以表示成的线性常系数微分方程组可以表示成下面下面(4.3.1)(4.3.1)形式。形式。4.3 4.3 线性常系数微分方程线性常系数微分方程本讲稿第五十八页，共一百二十五页（4.3.14.3.1）系数系数 是常数，是常数，(4.3.1)(4.3.1)满足初值条件满足初值条件 本讲稿第五十九页，共一百二十五页利用矩阵乘法利用矩阵乘法 ，把，把(4.3.1)(4.3.1)写成以下形式写成以下形式（4.3.24.3.2）本讲稿第六十页，共一百二十五页其中其中称称(4.3

19、.2)(4.3.2)是一阶线性常系数微分方程组是一阶线性常系数微分方程组的初值问题的初值问题 。本讲稿第六十一页，共一百二十五页4.3.1.1 4.3.1.1 一阶线性常系数齐次微分方程的一阶线性常系数齐次微分方程的初值问题初值问题 在在(4.3.2)(4.3.2)中，假设已知的向量中，假设已知的向量 ，即即(4.3.2)(4.3.2)变为变为 （4.3.34.3.3）称称(4.3.3)(4.3.3)是一阶线性常系数齐次微分方程是一阶线性常系数齐次微分方程组初值问题组初值问题.本讲稿第六十二页，共一百二十五页下面来考虑下面来考虑(4.3.3)(4.3.3)的解的解 首先，将变量首先，将变量 在

20、在 处展处展成幂级数形式成幂级数形式：其中其中本讲稿第六十三页，共一百二十五页由方程由方程(4.3.3)(4.3.3)得到得到 （4.3.4）从而有从而有本讲稿第六十四页，共一百二十五页下面我们来证明下面我们来证明(4.3.4)(4.3.4)确实是确实是(4.3.3)(4.3.3)的解的解当当 时时,式式(4.3.4)(4.3.4)是是(4.3.3)(4.3.3)的解。的解。本讲稿第六十五页，共一百二十五页（1 1）(4.3.3)(4.3.3)的解是的解是 ，并且这个，并且这个 解唯一；解唯一；（2 2）解）解 的秩与的秩与 的取值无关。的取值无关。定理定理4.3.14.3.1 在初值问题在初

21、值问题(4.3.3)(4.3.3)中：中：本讲稿第六十六页，共一百二十五页4.3.1.2 4.3.1.2 齐次方程解的讨论齐次方程解的讨论 在工程上要求，对任意的在工程上要求，对任意的 及初值及初值 初值问题初值问题(4.3.5)(4.3.5)的解的解 具有具有性质性质本讲稿第六十七页，共一百二十五页定理定理4.3.24.3.2 对任意的对任意的 和和 ，初值，初值问题问题 的解的解 满足满足 的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵 的特征值的特征值 都有负的实部。都有负的实部。本讲稿第六十八页，共一百二十五页定义定义4.3.14.3.1 所有特征值都有负实部的矩所有特征值都有负实部的矩阵称

22、为稳定矩阵阵称为稳定矩阵。例例4.3.2 推论推论1 1 对任意的对任意的 和和 ，初值问题，初值问题(4.3.5)(4.3.5)的解满足的解满足 的充要条件是的充要条件是A A是稳定矩阵。是稳定矩阵。本讲稿第六十九页，共一百二十五页4.3.2 4.3.2 一阶线性常系数非齐次微分方程初一阶线性常系数非齐次微分方程初 值问题值问题 考虑考虑 ，即一阶常系数非齐次微分方，即一阶常系数非齐次微分方程程(4.3.2)(4.3.2)的解。的解。本讲稿第七十页，共一百二十五页常系数线性方程常系数线性方程 解的问题，假设解的问题，假设 是它的一个特解，是它的一个特解，是是它的一般解，那么有定理保证它的一般

23、解，那么有定理保证 是它是它对应的齐次方程对应的齐次方程 的解，这个解的解，这个解的特性在初值问题的特性在初值问题(4.3.2)(4.3.2)中同样适用中同样适用。本讲稿第七十一页，共一百二十五页易验证易验证即即 是微分方程是微分方程 的一般解的一般解 令令（4.3.84.3.8）本讲稿第七十二页，共一百二十五页 为确定特解为确定特解 ，用常向量变易法，用常向量变易法，设设 ，其中，其中 是待定向量，将是待定向量，将(4.3.8)(4.3.8)代入方程代入方程(4.3.2)(4.3.2)，得到，得到 本讲稿第七十三页，共一百二十五页于是有于是有化简后，得化简后，得本讲稿第七十四页，共一百二十五

24、页(4.3.2)(4.3.2)的一般解是的一般解是（4.3.94.3.9）(4.3.2)(4.3.2)的初值点变为的初值点变为 时，即时，即（4.3.104.3.10）本讲稿第七十五页，共一百二十五页(4.3.10)(4.3.10)的解为的解为 例例 4.3.3 4.3.3本讲稿第七十六页，共一百二十五页4.3.3 n4.3.3 n阶常系数微分方程的解阶常系数微分方程的解 设设 为常数，为常数，为已知函数，为已知函数，称称 为为n n阶常系数微分方程，当阶常系数微分方程，当 时称为非时称为非齐次的，否则称为齐次的齐次的，否则称为齐次的.本讲稿第七十七页，共一百二十五页下面考虑下面考虑n n阶常

25、系数线性齐次方程的初值阶常系数线性齐次方程的初值问题问题（4.3.114.3.11）本讲稿第七十八页，共一百二十五页令令本讲稿第七十九页，共一百二十五页从而有从而有本讲稿第八十页，共一百二十五页令令本讲稿第八十一页，共一百二十五页初值问题初值问题(4.3.11)(4.3.11)可以写成可以写成（4.3.124.3.12）本讲稿第八十二页，共一百二十五页其中系数矩阵其中系数矩阵A A称为称为(4.3.11)(4.3.11)方程的友矩阵。方程的友矩阵。本讲稿第八十三页，共一百二十五页由于初值问题由于初值问题(4.3.11)(4.3.11)的解是的解是(4.3.12)(4.3.12)解的解的第一个分

26、量，从而第一个分量，从而(4.3.11)(4.3.11)的解是的解是 本讲稿第八十四页，共一百二十五页对于对于n n阶常系数线性非齐次方程的初值问题阶常系数线性非齐次方程的初值问题(4.3.13)(4.3.13)本讲稿第八十五页，共一百二十五页可以进行类似讨论，得到可以进行类似讨论，得到(4.3.13)(4.3.13)的解是的解是方程组方程组 的解的第一个分量的解的第一个分量.本讲稿第八十六页，共一百二十五页其中其中本讲稿第八十七页，共一百二十五页本讲稿第八十八页，共一百二十五页(4.3.13)(4.3.13)初值问题的解是初值问题的解是 因此，求初值问题解的关键在于计算矩因此，求初值问题解的

27、关键在于计算矩阵函数阵函数 。本讲稿第八十九页，共一百二十五页4.3.4 4.3.4 微分方程实例微分方程实例 工程系统中得动态系统的状态是系统的最小一组工程系统中得动态系统的状态是系统的最小一组变量（称为状态变量）变量（称为状态变量）.就是描述就是描述状态变量的函数状态变量的函数,如果知道了在如果知道了在 时变量的时变量的初值初值 ,并且还知道并且还知道 对对r r 个输入（或控制）变量个输入（或控制）变量 ,则在则在 时系统的状态就完全确定，系统的输出变时系统的状态就完全确定，系统的输出变量可以是某一个状态变量，它们是描述人们希望量可以是某一个状态变量，它们是描述人们希望从系统中获得的响应

28、。从系统中获得的响应。本讲稿第九十页，共一百二十五页以以n n个变量为轴组成的空间叫个变量为轴组成的空间叫n n维状态空间维状态空间.设设称称 为系统的状态向量为系统的状态向量设设系统的状态方程是状态向量系统的状态方程是状态向量 的一阶的一阶微分方程微分方程本讲稿第九十一页，共一百二十五页对线性定常系统其状态方程为对线性定常系统其状态方程为 或或都是常数矩阵，其中都是常数矩阵，其中 （4.3.154.3.15）本讲稿第九十二页，共一百二十五页例例4.3.44.3.4k图图4.3.14.3.1本讲稿第九十三页，共一百二十五页图图 4.3.2 4.3.2本讲稿第九十四页，共一百二十五页4.4.1.

29、Wronski4.4.1.Wronski行列式与线性无关解行列式与线性无关解 4.1.1.1 4.1.1.1 函数元矩阵的连续函数元矩阵的连续 4.4 4.4 变系数微分方程组变系数微分方程组设设n n维实向量维实向量 其中其中 如果如果 在带形区域在带形区域 上连续上连续 则称则称 在在D D上连续上连续.（4.4.14.4.1）本讲稿第九十五页，共一百二十五页定理定理4.4.14.4.1 考虑微分方程组考虑微分方程组(4.4.2)(4.4.2)其中其中 ,均为均为n n维实列向量，维实列向量，和和 为已知为已知.本讲稿第九十六页，共一百二十五页如如果果 在在(4.4.1)(4.4.1)的的

30、带带形形区区域域D D上上连连续续，且存在一个常数且存在一个常数L L，使，使式中式中是是 上的任意范数，则对任给上的任意范数，则对任给的的 和和 初值问题初值问题(4.4.2)(4.4.2)存在连续存在连续可微的解，且解唯一可微的解，且解唯一.本讲稿第九十七页，共一百二十五页推论推论1 1 设设 分别为分别为 阶，阶，阶和阶和 阶实矩阵它们都在阶实矩阵它们都在 上连续，上连续，则对于任意给定的则对于任意给定的 ，,微微分方程组的初值问题分方程组的初值问题(4.4.4)(4.4.4)存在连续可微解，且解唯一。存在连续可微解，且解唯一。本讲稿第九十八页，共一百二十五页推论推论2 2 设设n n阶

31、实方阵阶实方阵 在区间在区间 上连上连续，则对任意指定的续，则对任意指定的 初值问题初值问题（4.4.54.4.5）的唯一解是的唯一解是.本讲稿第九十九页，共一百二十五页4.4.1.2 wronski4.4.1.2 wronski行列式与线性无关解行列式与线性无关解 定义定义4.4.1.4.4.1.设设 是定义在区间是定义在区间 上的上的n n维向量函数维向量函数,其中其中 本讲稿第一百页，共一百二十五页如果存在不全为如果存在不全为0 0的的r r个常数个常数 使等式使等式 成立，则称向量函数成立，则称向量函数 线性线性相关，否则称相关，否则称 线性无关线性无关.本讲稿第一百零一页，共一百二十

32、五页定义定义4.4.24.4.2 设有设有n n个定义在区间个定义在区间 上的上的 n n维向量函数维向量函数(4.4.7(4.4.7)由这由这n n个向量函数构成的行列式记为个向量函数构成的行列式记为 .本讲稿第一百零二页，共一百二十五页 称为这称为这n n个向量函数的个向量函数的WronskiWronski行列式行列式 本讲稿第一百零三页，共一百二十五页定理定理4.4.24.4.2 若若n n个个n n维向量函数维向量函数 在在区区间间 上上线线性性相相关关，则则它它们们的的wronskiwronski行列式行列式本讲稿第一百零四页，共一百二十五页4.4.2 4.4.2 齐次变系数线性微分

33、方程组的解齐次变系数线性微分方程组的解 4.4.2.1 4.4.2.1 齐次变系数线性微分方程解的性质齐次变系数线性微分方程解的性质 考虑区间考虑区间 上齐次变系数线性微分方上齐次变系数线性微分方程组程组 的解，其中的解，其中 是是 上的连续上的连续n n阶实方阵阶实方阵.(4.4.10)(4.4.10)本讲稿第一百零五页，共一百二十五页其中每一个其中每一个 满足方程满足方程 于是寻找于是寻找S S的基的基 ，就成为解（，就成为解（4.4.104.4.10）的关键。的关键。(4.4.10)(4.4.10)的解空间为的解空间为本讲稿第一百零六页，共一百二十五页定定理理4.4.34.4.3 设设n

34、 n阶阶实实方方阵阵 在在 上上连连续续，如果如果(4.4.10)(4.4.10)的的n n个解个解在在 上上线线性性无无关关，则则它它们们的的Wronski Wronski 行列式在行列式在 上恒不为上恒不为0 0，即关键，即关键 本讲稿第一百零七页，共一百二十五页推论推论3 3 设设 是在是在 上连续的上连续的n n阶实方阵，阶实方阵，是方程是方程(4.4.10)(4.4.10)在在 上的上的n n个解，如果这个解，如果这n n个解线性相关，则其个解线性相关，则其行列式行列式 恒等于恒等于0 0，如果这，如果这n n个解线性无个解线性无关，则其行列式关，则其行列式 恒不为恒不为0 0。本讲

35、稿第一百零八页，共一百二十五页推论推论4 4 在推论在推论3 3的条件下，若对某个的条件下，若对某个 使得使得 则这则这n n个解线性个解线性无关无关.本讲稿第一百零九页，共一百二十五页4.4.2.2 4.4.2.2 状态转移矩阵及其性质状态转移矩阵及其性质 将将 时的初始向量分别记为时的初始向量分别记为 时，时，该问题的解记为该问题的解记为 和和 ,则可则可知初始向量为知初始向量为 ，解为，解为本讲稿第一百一十页，共一百二十五页 另一方面，另一方面，是是n n维向量，可以取维向量，可以取n n个线个线性无关初始向量为性无关初始向量为是是 的一个标准正交基。的一个标准正交基。本讲稿第一百一十一

36、页，共一百二十五页(1)(1)状态转移矩阵的概念状态转移矩阵的概念设：设：是区间是区间 上上n n阶连续实方阵，阶连续实方阵，是是n n维列向量维列向量 。本讲稿第一百一十二页，共一百二十五页定义定义4.4.34.4.3 以初值问题以初值问题的解的解 作为第作为第j j列列 所组成的所组成的n n阶方阵阶方阵 称为称为 的状态转移矩阵，或对应系统的状态转移矩阵，或对应系统的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。（4.4.154.4.15）（4.4.164.4.16）本讲稿第一百一十三页，共一百二十五页定理定理4.4.44.4.4 初值问题初值问题 的解的解 可以用状态转移矩阵可以用状态转移矩阵 唯一唯

37、一表示为表示为 （4.4.174.4.17）本讲稿第一百一十四页，共一百二十五页定理定理4.4.54.4.5 设设 和和 是是n n阶实方阵，则阶实方阵，则 的状态转移矩阵的状态转移矩阵 是矩阵微分是矩阵微分方程初值问题方程初值问题的唯一解。的唯一解。本讲稿第一百一十五页，共一百二十五页(4.4.19)(4.4.19)(4.4.20)(4.4.20)以上两式均视为状态转移矩阵的表征方程。以上两式均视为状态转移矩阵的表征方程。本讲稿第一百一十六页，共一百二十五页(2)(2)状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质 定理定理4.4.64.4.6 状态转移矩阵具有以下性质：状态转移矩阵具有以下性质：（4

38、.4.214.4.21）（4.4.224.4.22）本讲稿第一百一十七页，共一百二十五页（4.4.234.4.23）若若 的状态转移矩阵是的状态转移矩阵是 ,的状态转移矩阵是的状态转移矩阵是 ,则则（4.2.244.2.24）本讲稿第一百一十八页，共一百二十五页定义定义4.4.44.4.4 设设 ，则对于任意给定，则对于任意给定的的 非奇异初始矩阵非奇异初始矩阵 初值问题初值问题(4.4.25)(4.4.25)的解，称为的一个基本解矩阵。的解，称为的一个基本解矩阵。（3 3）基本解矩阵）基本解矩阵本讲稿第一百一十九页，共一百二十五页定理定理4.4.74.4.7 的基本解矩阵的基本解矩阵 有下述

39、有下述 性质性质 (1)(1)在任何在任何 ,是非奇异的；是非奇异的；(2)(2)设设 是是 的任意两个基本解的任意两个基本解 矩阵矩阵T T，则存在非奇异数量矩阵使，则存在非奇异数量矩阵使 (3)(3)利用利用 的任意一个基本解矩阵的任意一个基本解矩阵 可可 将状态转移矩阵将状态转移矩阵 表示为表示为 本讲稿第一百二十页，共一百二十五页(4)(4)状态转移矩阵的求法状态转移矩阵的求法 对对 通过通过TaylorTaylor展开式进行一系列处理后，我们可以得展开式进行一系列处理后，我们可以得到下面的定理：到下面的定理：本讲稿第一百二十一页，共一百二十五页定理定理4.4.84.4.8 若对任意若

40、对任意 有有 则初值问题则初值问题(4.4.25)(4.4.25)的解为的解为 方程组（方程组（4.4.104.4.10）的状态转移矩阵是）的状态转移矩阵是 本讲稿第一百二十二页，共一百二十五页推论推论4 4 是对角矩阵或是一个常数元是对角矩阵或是一个常数元矩阵时，则定理矩阵时，则定理4.4.84.4.8的结论成立。的结论成立。例例4.4.14.4.1本讲稿第一百二十三页，共一百二十五页4.4.3 4.4.3 非齐次变系数微分方程的初值非齐次变系数微分方程的初值 问题问题定理定理4.4.94.4.9 设设 和和 分别是分别是 和和 阶实矩阵阶实矩阵,它们都在它们都在 上连续，上连续，是初值向量，则微分方程初值问题是初值向量，则微分方程初值问题 的唯一解是的唯一解是 （4.4.294.4.29）（4.4.304.4.30）本讲稿第一百二十四页，共一百二十五页例例4.4.24.4.2本讲稿第一百二十五页，共一百二十五页