应用有限元分析工程实例.pptx

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1、（3）二维等参元的位移函数*坐标转换两个单元的4个节点和4条边一一对应。采用坐标变换式，把实际单元映射为一个边长为2的正方形单元。为形函数矩阵 用实际单元的节点坐标 ，通过插值方法来表示实际单元内任意一点的坐标（x,y）。因为形函数是用局部坐标定义的，式(4.1)建立了正方形单元内任意点与实际单元内任意点（x,y）之间的意义对应关系。（4.2）中形函数构造规律：直线方程规则单元-局部系实际单元-总体系第1页/共54页 *单元位移函数 为形函数矩阵 为单元节点位移列阵 *等参元定义（按物理场和几何描述）等参元：坐标变换和单元位移函数采用相同的节点数，且采用相同 的形函数 超参元：坐标变换采用相同

2、的节点数多于单元位移函数的节点数 亚参元：坐标变换采用相同的节点数少于单元位移函数的节点数 第2页/共54页（4）单元应变、单元应力 *单元应变 *单元应力（5）程序实现 平面应力单元、平面应变单元、平面轴对称单元可以采用同一类单元计算公式，并且在有限元程序中，这三种问题一般采用的是同一个程序路径和同一组子程序。第3页/共54页（6）单元刚度矩阵 分别表示单元的体积、面积、厚度。按复合函数链式求导规则雅可比矩阵式（4.12）两边左乘 ，得 被积函数是局部坐标 的函数，积分域是边长为2的正方形，积分限是-1到1，即积分域规则，积分限简单。这里刚度矩阵是 8x8 的矩阵，其计算一般采用高斯数值积分

3、。高斯数值积分第4页/共54页（7）二维等参单元的等效节点载荷 计算原理和方法与三角形节相同，区别主要在于积分是在局部坐标系下进行的。*体积力:体积力等效的节点载荷公式：A是单元面积，t 是单元厚度。体积力列矢量：因为 ，所以，积分域由实际单元的面积A，变为局部坐标系下的边长为2的规则正方形，并且被积分函数是局部坐标 的函数。第5页/共54页 *体积力:体积力等效的节点载荷公式：A是单元面积，t是单元厚度。体积力列矢量：被积分函数是局部坐标 的函数。（7）二维等参单元的等效节点载荷 计算原理和方法与三角形节相同，区别主要在于积分是在局部坐标系下进行的。第6页/共54页*表面力等效节点载荷计算公

4、式 表示载荷作用的边界载荷作用边的法矢量（假作用在边12上）：表面力表达式微弧长：为8x1的列阵，但是，只有与载荷所在边的节点对应的行才有等效节点载荷。第7页/共54页例4.1 计算图所示单元的表面力的等效节点载荷（假定单元厚度为）表面力的等效节点载荷可按式（4.25）计算因为积分只沿 的边进行在该边上，,所以平均分配到节点1、2的负y方向上。在其他边上亦可类似方法处理。沿边界变化的面力 第8页/共54页计算公式251边对应于 的边，积分只沿 的边进行，只有 不等于零*单元等效节点载荷（5-8节点等参单元）计算方法与4节点等参单元类似。举例说明如何计算表面力等效节点载荷例4.2 如图所示的单元

5、，q=常数。（假定单元厚度为 t）。计算结果表明：载荷分配到节点上的比例 为1:4:1第9页/共54页均布载荷向节点等效的两种分配方法对比按公式计算时，各节点的分配的载荷比例，凭直观想象是不易理解的。数值计算表明，如果单元网格较密，两种方法对计算结果影响不大。第10页/共54页平面单元算例平面单元算例 实际问题常简化为平面问题，对于一个平面问题，可以采用不同的平面单元进行有限元分析，可以采用不同节点数的三角形单元、四边形单元，也可以将三角形单元和四边形单元组合使用。在力学模型确定之后，选择什么样的单元和如何划分网格是必须考虑的问题。下边通过几个算例，以便进一步了解不同单元的特点。例4.3 一悬

6、矩形截面臂梁，长400mm，高40mm，厚10mm，左端固定，右端部作用1000N的负 方向的集中力，求其根部的最大正应力。第11页/共54页例4.4 分析带有圆孔的平板在单向拉伸下的应力分布（本题与例2.4相同）理论解 FEM8节点单元24个单元93个节点第12页/共54页例4.5 受均布内压长圆筒的应力分析（内压100MPa）文件：W4-5a.txt(4节点轴对称单元)文件：W4-5.txt(8节点轴对称单元)第13页/共54页4.2 三维实体等参单元（1）按单元的节点数，三 维实体等参元可分为：8节点单元 20节点单元 8-20节点单元 退化单元 6节点单元 14节点单元 4节点单元 1

7、0节点单元 采用单元的原则：应力变化、几何形状、疏密过度 特点：统一格式、同一程序路径第14页/共54页（2）三维等参元的位移函数点、棱、面一一对应坐标变换公式第15页/共54页积分域是边长为2的立方体，积分限是-1到1，即积分域规则，积分限简单。这里刚度矩阵 是24x24 的矩阵，其计算一般采用高斯数值积分。是在三个方向的高斯积分权系数 是在三个方向的高斯积分点数（3）三维等参元的刚度矩阵总体坐标系和局部坐标系之间的转换关系单元刚度矩阵可以写为被积函数是局部坐标 的函数。第16页/共54页（4）三维等参单元的等效节点载荷 单元等效节点载荷的计算原理和方法与2.2.4节相同，计算公式也具有相同

8、的形式，区别主要在于等参单元的等效节点载荷计算中的有关积分是在局部坐标系下进行的。1.体积力2.表面力（1）确定表面力表达式 第17页/共54页（2）确定有表面力作用面的法线方向（3）确定表面力列阵 表面力垂直于单元表面，假定压力为正，拉力为负，则将式(4.57)、(4.58)代入式（4.55）,得表面力等效节点载荷计算公式：第18页/共54页（5）算例及应用 有限元求解过程中应该注意的几个问题：（1）网格的边长比不宜太大，形状不能过度扭曲。平面网格越接近正方形，三维网格越接近正立方体，单元性能越好。（2）要保证单元边界上的位移协调。既使使用协调单元，如单元编号不恰当，也可能产生单元边界上的位

9、移不协调情况，如对图4-19中的平面单元，如果单元1的节点号是1、3、8、6、2、5、7、4 单元2的节点号是6、8、10、9 两个单元的交界处位移不协调。单元2的节点号应该是6、8、10、9、7（5节点元），则协调。（3）如果出现单元的雅可比行列式的值为负的情况，计算就无法进行，单元过 分扭曲、翘曲、单元内角接近于零度或180度、节点编号反向等都会造成 这种情况。（4）高斯积分点的应力精度高于节点的应力精度。（5）通过节点重合形成的退化单元，不能计算节点上的应力。第19页/共54页例4.6 图示圆筒，底部固定，高度0.82m，筒的外半径 0.25m，筒壁厚度 0.005m。筒内装满水，求在静

10、水压力下，筒壁中径处的径向位移和外壁环向应力。第20页/共54页（6）高斯积分阶数的选取。从应用的角度讲，高斯积分阶数的选取主要应考两个方面，一是计算精度的需要，二而是计算量和结果输出量。决定单元精度的是完全多项式的方次，对于含有非完全多项式的单元，并非积分阶数越高精度也越高。例4.7 四十齿齿轮强度有限元计算 图示为齿轮有限元网格，材料为40CrNiMoA，齿轮轴孔表面固定。载荷为施加在齿轮上的啮合力，在其中一个齿的齿顶分别施加切向力74.25吨，径向力(指向圆心)34.62吨。对其进行强度计算与校核。第21页/共54页5 杆系结构单元杆只承受轴力一维杆 一维杆单元 平面杆系 平面杆单元空间

11、杆系 空间杆单元 梁能够承受轴力、弯矩、扭矩 与坐标轴平行的梁 梁单元 平面梁 平面梁单元空间梁 空间梁单元在有限元法中有：考虑轴力的梁单元公式不考虑轴力的梁单元公式第22页/共54页 5.1 杆单元5.1.1 一维杆单元 单元位移函数杆单元的横截面积为A，长度为 L，弹性摸量为 E。单元的节点位移:单元位移函数单元节点位移条件:由式（6.3）解出 ，代入（6.2）得 单元应变应变矩阵：单元应力 单元刚度矩阵应力矩阵：单元刚度方程：单元刚度矩阵：单元节点力：第23页/共54页刚度矩阵的物理意义杆的轴向刚度：单元刚度方程：当 时，当 时，第24页/共54页5.1.2 平面和空间杆单元平面杆单元平

12、面杆单元：可以处在平面内的任意方位，与坐标轴平行，或不平行。取两个直角坐标系：夹角为 。（1）局部系下节点力与节点位移关系令局部坐标系下单元刚度方程（单元节点力与节点位移关系）第25页/共54页（2）两种坐标系下节点力与节点位移关系局部坐标系下，节点力与节点位移关系：两种坐标系下，节点位移关系：两种坐标系下，节点力关系：将式（5.6)和(5.7)代入式（5.5)，得第26页/共54页 用 左乘式（5.8）两端，得总体坐标系下、任意方位平面杆单元的节点力与节点位移关系：其中：5.1.3 空间杆单元第27页/共54页例 5.1 图示为一平面桁架，假定弹性模量为 E，各杆的横截面积为 A，为45O，

13、在点1的负Y 方向作用力为F。求点1的竖向位移。(W5-1.txt)3个单元的刚度矩阵：因节点2、3、4的位移等于零，只需组装与节点1有关的方程：所求结果与材料力学理论解相同。令 ,则 ，有限元解：节点1节点1节点1节点2节点3节点4第28页/共54页5.2 梁单元与坐标轴平行的平面梁单元能承受轴向力N、弯矩M和横向剪力Q的梁单元1.单元位移函数每个节点有3个广义位移(自由度)：沿 x轴和 y轴方向的位移 、绕z 轴的转角:与x向位移有关的节点位移有2个 ,单元的x向位移取坐标的线性函数。与 y向位移有关的节点位移有4个：,单元的y 向位移取坐标的3次函数，即常数 由单元节点位移条件确定：由（

14、5.11）解出 由（5.12）解出 代入式（5.10）得到：第29页/共54页将式位移u,v两式合写在一起，以矩阵形式表示，则有第30页/共54页2.单元应变和单元应力单元应变 应变可以分为两部分 ：拉压应变 和弯曲应变 。略去剪切变形的影响，则单元应变为令式（5.14）可写为单元应力第31页/共54页3.轴线与坐标轴平行的梁单元刚度矩阵单元刚度方程：令单元刚度矩阵单元刚度矩阵显式表达式：式中，A是单元的横截面面积，I 为横截面惯性矩，E 为材料的弹性模量。第1行、第1列对应于ui,.。第32页/共54页其中，为剪切影响系数，A为梁的横截面面积，E和G是弹性摸量和剪切摸量，为截面剪切因子。矩形

15、和圆形截面，文献3建议 分别取5/6和10/9。对于高为h 宽为b 的矩形截面，剪切影响系数 ，所以，当梁的高度 相对于跨度 很小时，可以忽略剪切变形的影响。4.考虑剪切变形时的单元刚度矩阵当梁的高度相对于跨度不是很小时，需要考虑剪切变形的影响，为此，需要对式（5.21）的刚度矩阵做如下修正第33页/共54页例5.2 按考虑和不考虑剪切变形影响两种情况，计算图示矩形截面悬臂梁在端部横向力 F作用下的端点挠度。截面高为 h，宽为b。忽略轴向变形。用一个单元，只有两个节点。忽略轴向变形，每个节点只有2个自由度，即y 方向的移动和绕z 轴的转动。节点1 固定，总体平衡方程只有与节点2对应的2个方程。

16、按不考虑剪切变形影响，根据式（6.63）的单元刚度矩阵，可得总体平衡方程：使用一个单元，就可以得到与材料力学的理论解相同的位移结果，这是因为这种梁单元的挠度位移函数是三次的，悬臂梁的挠度函数也是三次的。考虑剪切变形影响总体平衡方程：矩形截面：当 ，括号中第二项等于0.54%。第34页/共54页 平面梁单元和三维梁单元平面梁单元：可以处在平面内的任意方位，与坐标轴平行，或不平行。取两个直角坐标系：夹角为 。（1）节点力与节点位移局部系总体系（2）节点力与节点位移转换关系第35页/共54页令局部系下的节点位移用总体系下的表示同理，局部系下的节点力用总体系下的表示由式（5.25）知局部系下的刚度方程

17、可写为为将式（5.26）和（5.27）代入（5.28），得到用 左乘式（5.29）两端，得总体坐标系下、任意方位平面梁单元的节点力与节点位移关系：第36页/共54页令局部系下的节点位移用总体系下的表示同理，局部系下的节点力用总体系下的表示由式（5.25）知局部系下的刚度方程可写为:将式（5.26）和（5.27）代入（5.28），得到用 左乘式（5.29）两端，得令 则总体坐标系下、任意方位平面梁单元的节点力与节点位移关系：第37页/共54页（1）局部坐标系下的三维梁单元三维梁单元能够承受：轴力：剪力：弯矩：扭矩：每个节点6个自由度（广义）：三个方向的位移：绕三个轴的转角：刚度方程式（5.20）

18、给出了局部系下节点力 与节点位移 的关系同理，可以给出局部系下节点力 与节点位移 的关系局部系下空间梁单元刚度方程（节点力与节点位移关系）：节点力：节点位移：刚度矩阵：第38页/共54页（2）总体坐标系下的三维梁单元总体坐标系下的梁单元刚度矩阵 可通过如下转换得到 T是三维转换矩阵，可以根据单元的总体节点坐标求出，具体计算方法可见文献1。第39页/共54页5.3 板壳单元*对于板壳结构,原则上说，可以采用二维或三维实 体单元对其进行结构分析，但是，可能会出现：（1）单元的三个方向的尺寸相差很大，从而导致形成的有限元总体方程为病态或奇异，最后使解丧失精度，或无法求解。（2）为避免上述问题，若使单

19、元在各个方向尺寸相近，将导致单元总数和节点总数过分庞大，也会使计算无法进行。*与板理论和壳理论对应，在有限元法中，有板单元和壳单元。*对板壳结构应该采用板壳单元。板与壳的区别：板只考虑弯曲变形，壳考虑弯曲和中曲面内的变形。本章只介绍比较简单的板单元和壳单元。第40页/共54页 5.3.1 薄板的弯曲变形工程中平板构件的长度或宽度要小得多，如果厚度与板面内的其他尺寸之比小于1/5，可以认为是薄板。位于板厚度中点的平面称为板的中面，薄板所受的载荷可以分为两类：作用在中面内的纵向载荷，认为沿厚度均匀分布，可以按平面应力进行计算，垂直于中面的所谓横向载荷。横向载荷使板弯曲，可以按薄板弯曲问题进行计算。

20、这里的薄板弯曲是指弹性薄板小挠度弯曲。在忽略横向剪切变形的前提下，克希霍夫(Kirchhoff)薄板弯曲理论假设：*直法线假设，即变形前垂直于中面的法线，变形后仍垂直于中面。*板的中面只发生弯曲变形，没有面内的 伸缩变形，即中面无变形。*忽略沿厚度方向的挤压变形，即：第41页/共54页由上述假设，可以写出薄板弯曲问题的位移、应变、应力和内力矩：（1）位移 ，z方向挠度只是 x,y的函数，板内各点的位移为(2)应变由于 w仅是坐标x,y 的函数，虑 三个所以只需要考应变分量根据几何方程和式，应变可以表示为反映了弯曲程度的合成为曲率：（3）应力第42页/共54页（4）内力（矩）单位宽度板上的内力弯

21、矩弯矩扭矩矩阵表示的内力薄板弯曲弹性矩阵（试与梁的弯曲刚度比较）应力与内力的关系最大应力在板上下表面（与梁的弯曲应力比较，排在一起的梁与板比较）第43页/共54页5.3.2 三节点 三角形弯曲板单元三角形板单元易于模拟复杂边界。三角形板单元种类较多。节点位移（广义自由度）Z向挠度：；绕x轴转角：；绕y轴转角：3个节点，9个位移分量：如果单元位移函数取 x、y的多项式，则多项式最多只能取9项，而 x、y的三次完全多项式有10项，即*必须减少一项。前6项代表刚体位移和常应变，必须保留。*后4项去掉一项则破坏对称性，有人尝试将 合并，但当单元是两个边 分别平行于x、y 轴的等腰三角形时，确定未知参数

22、 的系数矩阵奇异，故不可行。*采用面积坐标可以构成不同的单元位移函数，以克服上述困难。第44页/共54页三节点三角形弯曲板单元刚度方程第45页/共54页*这种位移模式在相邻单元间的挠度和沿边界切线方向的斜率是连续的，但是 其 法线方向的斜率是不连续的，因此，这种单元是一种完备的非协调单元。*采用不同形状的单元、采用不同的节点数、采用不同的单元位移函数等方法，可以构造出不同的板单元。例如，对于本节的三节点三角形单元，可以构造 出在相邻单元边界上完全协调的基于离散Kirchhoff理论的板单元2,3。此外，还有其它形式的板单元3,6。*板单元有协调元和非协调元，只要非协调单元能通过分片试验，则单元

23、是可以 使用的，对于许多工程问题，用非协调元得到的解的精度还是能满足要求的，*有时候还能给出比协调元更好一些的结果，这是因为利用最小位能原理求得的 近似解一般使结构显得过于刚硬，而非协调元未精确满足最小势能原理的要求，使结构趋于柔软，正好抵消了上述过于刚硬带来的误差。*对于薄板弯曲问题，从实际结构变形来看，其挠度和转角一般是连续的，而其 曲率并非是一定连续的，例如，在板的厚度有突变的地方，其曲率就是不连续 的，如果在节点上规定了相同的曲率参数，相当于对其施加了不适当的限制，人为地增强了板的弯曲刚度，所以非协调元对这些地方可能更合适。*对于等厚度板，协调单元能给出更好精度的结算结果。*从多项式挠

24、度函数的构造上讲，每个节点选用三个位移参数，一般不容易满足 斜率连续性的要求，但是，由于其形式比较简单，所以，非协调板元也是一种 常采用的单元。第46页/共54页5.3.3 三角形平面壳单元本节介绍线弹性薄壳单元。1、壳与板的主要区别：几何形状、受力后的变形形式。根据板壳理论，板弯曲变形时虽然中面发生了弯曲变形，但是，在薄板小挠 度情况下，板的中面各点不产生中面内的变形，而壳体除了产生弯曲变形外，还产生中面内的变形。2、薄壳和厚壳 当薄壳受力产生微小变形时，可以忽略沿壳体厚度方向的挤压变形和应力，并且认为符合直法线假设。厚壳就要考虑沿壳体厚度方向的挤压变形和应力，应该采用厚壳单元。3、将壳体划

25、分为一系列单元后，每个单元都是一块曲面，如果单元很小，把每 块曲面用平面单元来近似也能较好模拟壳体。通常用三角形单元比较方便；如果壳体上可以划分成处于同一个平面的四个 点，也可以采用平面四边形壳单元。4、以三角形平面壳单元为例，介绍壳单元的构造。壳体平面单元，可以通过把板单元和平面应力单元的简单组合来实现。第47页/共54页（1）局部坐标系第48页/共54页（2）局部坐标系中的节点力与节点位移关系壳体平面单元，可以通过把板单元和平面应力单元的简单组合来实现。每个节点有5个广义位移：每个节点有5个广义节点力：平面应力单元刚度方程平板弯曲单元刚度方程第49页/共54页（3）局部坐标系中的单元刚度矩

26、阵三角形平面应力单元刚度方程三角形弯曲板单元刚度方程第50页/共54页三角形壳单元刚度方程：第51页/共54页（4）坐标转换单元的刚度矩阵、节点位移、节点力都是在局部坐标系中定义的，为了形成有限元总体平衡方程，需要将它们转换到总体坐标系中。令 分别为总体坐标系中的单元节点力和节点位移，两种坐标系下的节点力和节点位移有下列转换关系：是转换矩阵，且 ，式（7.43)左乘总体系下刚度方程第52页/共54页（5）应力计算与壳体理论类似，壳单元的应力膜应力和弯曲应力通常程序还输出壳体的内力，即膜力和弯矩例5.3 图示一四边固支的正方形板，板的边长L=0.2m，厚度t=0.01m，中心B点受一沿z方向的集中力F=100N。采用板单元和壳单元计算中点B的挠度。第53页/共54页感谢您的观看。第54页/共54页