振动力学结构力学.pptx

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1、第1章 导 论振动的概念振动的概念振动研究的问题及其分类振动研究的问题及其分类振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动问题的研究方法振动问题的研究方法第1页/共447页1.什么是振动 振动Vibration，就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。我们只研究物体在静平衡位置附近所作的往复微小弹性运动。1.1 机械振动概述第2页/共447页2.机械振动现象 机械振动是自然界非常普遍的运动现象，广泛存在于工程技术和日常生活中。如:日常生活中，心脏的跳动、钟摆的摆动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等;工程技术领域，桥梁与建筑物的振动、飞行器与船舶的振动、机床与刀具的振动、各种动力机械的振动、以

2、及地震、风振、噪声等等，都是属于机械振动的范畴。第3页/共447页3.产生振动的原因产生振动的原因 一一是是由由外外界界干干扰扰引引起起，二二是是结结构构本本身身固固有的原因引起。有的原因引起。4.研究振动问题的目的研究振动问题的目的J 工工程程和和日日常常生生活活中中，振振动动现现象象和和振振动动问问题既有有用的一面也有不利的一面。题既有有用的一面也有不利的一面。J 利利用用振振动动原原理理设设计计出出很很多多常常用用的的物物品品和和机机械械结结构构，如如摆摆钟钟、振振动动筛筛、振振动动物物料料传传送带、振动打桩机械等等。送带、振动打桩机械等等。第4页/共447页 而大多数情况下,振动会产生

3、不良、甚至严重、灾难性的后果。L 由于振动,降低了机器的动态精度和其它使用性能;L 由于振动,机器在使用过程中产生巨大的反复变动的荷载,导致使用寿命的降低;L 有时候振动甚至酿成灾难性事故,如大桥因共振而倒塌,烟囱因风振而倾倒,飞机因颤振而坠落等等。第5页/共447页5.研究振动问题的总目标 研究振动产生的原因和它的运动规律;寻求控制和消除振动的方法;振动检测，分析事故原因及控制环境噪声;振动技术的应用第6页/共447页1.振动问题中的名词概念 振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或结构物等。激励或输入：外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。激励或输入是随时间变化的，将引起振动的发生。

4、1.2 振动系统及参量1.3 振动系统的分类及研究方法第7页/共447页 确定性激励:可用时间的确定函数来描述的激励;随机激励:不能用时间的确定函数表示的激励。随机激励具有一定的统计规律性，可以用随机函数和随机过程描述。响应或输出：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。确定性激励下的响应不一定是确定的，但随机激励下的响应一定是随机的。第8页/共447页2.工程振动分析的类别 振动分析：研究振动系统、激励(输入)和响应(输出)三者之间的关系。理论上讲，只要知道两者就可以确定第三者。这样，工程振动分析所要解决的问题可以归纳为下面几类。第9页/共447页（1）响应分析 已知系统和输入参数，求系统响应

5、。包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算和分析结构的强度、刚度、允许的振动能量水平等提供了依据。第10页/共447页（2）系统设计 已知振动系统激励(输入)和所要满足的动态响应(输出)的要求，设计合理的系统参数。对机器和结构的设计而言，这类问题更为重要。通常系统设计要依赖于响应分析，所以在实际工作中，响应分析和系统设计这两个问题是交替进行的。第11页/共447页（3）系统识别 已知振动系统的激励(输入)和响应(输出)求系统参数,以便了解系统的特性。系统识别包括物理参数识别(确定系统的物理参数:质量、刚度、阻尼等)和模态参数识别(确定或估计系统的固有特性:固有频率、振型等)。（4）环境预测

6、在已知系统响应(输出)和系统参数的情况下确定系统的输入,以判别系统的环境特征。第12页/共447页 对结构进行振动分析，首先要把所研究的对象以及外界对它的作用和影响简化为理想的力学模型。这种力学模型不但要简单，而且在动态特性方面，应尽可能地与原始结构等效。实际工程结构力学模型的建立,是振动分析中很关键很难的一步。本课程只学习一些基本的概念。振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件”：质量、弹性和阻尼。3.振动分析的力学模型第13页/共447页 质量:和理论力学的概念一样，是物体惯性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;弹簧:表示振动系统弹性的理想模型。简化为无质量的线弹性元件，即弹簧弹性力的大

7、小与弹簧两端点的相对位移成正比;阻尼:任何振动在没有外界干扰(激励)时都会逐渐消失，因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力称为阻尼。简化为无质量的阻力元件。阻尼力的分析比弹簧力的分析要复杂得多。第14页/共447页 弹簧表示力与位移的关系;阻尼表示力与速度的关系;质量表示力与加速度的关系。4.振动过程的机理分析 任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身具有质量和弹性。从能量关系看,质量可以储存动能,弹性可以储存势能。当外界对系统作功时,质量就吸收动能而具有运动速度，进而发生位移，使弹性元件储存变形能,因而就具有使质量恢复原来状态的能力。这样，能量不断地变换就导致系统质量的反复运动（

8、振动）。第15页/共447页5.振动系统的分类（1）按产生振动的输入(激励)特性分类 分为自由振动、强迫振动和自激振动。自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定于系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟）受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系统本身的物理特性外，还决定于激励的特性;工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、转子偏心引起的振动等)。第16页/共447页 自激振动：在系统自身控制的激励作用下发生的振动。在适当的反馈作用下，系统会自动地激起定幅振动,一旦振动被激起,激励也随之消失

9、。例如：桥梁受风载作用后激发的振动;电线在风载作用线的舞动等。（2）按振动的输出特性分类 分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。简谐振动与非简谐振动：是否可以用简单的正弦函数或余弦函数表述其运动规律;第17页/共447页 随机振动:不能用简单函数或简单函数的组合来表述其运动规律，只能用统计的方法来研究其规律的非周期性振动。（3）按振动系统的自由度数目分类 单自由度、多自由度和弹性体的振动。（4）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类 线性振动:振动系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线牲关系，能够用常系数线性微分方程表述的振动;非线性振动:振动系统的阻尼力或弹性恢复力具有非

10、线性性质,只能用非线性微分方程来表述。第18页/共447页（5）按振动的周期性分类 周期振动系统、非周期振动(瞬态振动)系统。简谐振动属于周期性振动,非简谐振动也可能是周期性振动。6.振动问题的研究方法 解决振动问题的方法有理论分析、数值模拟与计算、实验研究等。本课程主要学习振动的基本理论与分析方法，为进一步解决实际振动问题和开展研究工作打下良好的基础。第19页/共447页第2章 单自由度系统自由振动第20页/共447页单单自自由由度度系系统统:可可以以用用一一个个独独立立坐坐标标来来确确定系统的位置及其运动规律的振动系统定系统的位置及其运动规律的振动系统;单单自自由由度度线线性性系系统统的的

11、振振动动是是最最简简单单的的振振动动系统系统;许许多多实实际际问问题题可可以以足足够够精精确确地地简简化化为为单单自自由度振动系统由度振动系统;单单自自由由度度振振动动系系统统的的一一些些概概念念、特特征征和和研研究方法，是研究复杂振动系统的基础。究方法，是研究复杂振动系统的基础。2.1 引 言第21页/共447页 根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。振动微分方程(P6-20)2.2 自由振动系统2.2 自由振动系统第22页/共447页m-k系统的自由振动(P6)m-k系统虽然非常简单，

12、但却是许多实际结构振动问题的力学模型。已知质量为m，弹簧的刚度系数为k。取质量的静平衡位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运动微分方程：2.2 自由振动系统第23页/共447页 扭转振动(P9)圆盘在轴的弹性恢复力矩作用下在平衡位置附近作扭转振动。设q q为圆盘相对静平衡位置转过的角度,J为圆盘对轴的转动惯量,kt为使轴产生单位转角所需施加的扭矩(即轴的扭转刚度)。则2.2 自由振动系统第24页/共447页复摆复摆(P12)设设物物体体对对悬悬挂挂点点O的的转转动动惯惯量量为为JO，利利用用定定轴轴转转动动微微分分方方程程可可得得到到用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微

13、微分方程分方程:2.2 自由振动系统第25页/共447页纯滚动圆盘(P15)已知m、r、R，利用功率方程(动能定理)或拉格郎日方程可得到用角度f f表示的运动微分方程:2.2 自由振动系统第26页/共447页梁的横向振动 质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的质量。设梁长为l，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：2.2 自由振动系统d dst第27页/共447页振动微分方程的统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分方程2.2 自由振动系统第28页/共447页可以写成统一的数学形式 meq和keq分别称为等效质量和等效刚度，x为广义坐标。为方便起见，以后将等效质量和

14、等效刚度直接写为m和k。则方程变为：因此只讨论此方程的解即可。2.2 自由振动系统第29页/共447页1.方程的解 设 振动微分方程的解(P6)则方程变为 通解为 或 2.2 自由振动系统第30页/共447页 设系统的初始条件为：t0时，xx0，则可确定上述解中的常数为：2.2 自由振动系统第31页/共447页2.概念与名词(P6-7)一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。方程的解中w wn只决定于系统本身的参数m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本身所固有的特性，所以称为固有频率，或称圆频率或角频率。方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平衡位置的最大距离;f

15、 f称为初相位。2.2 自由振动系统第32页/共447页 从方程的解中还可以看出，系统属于周期振动，振动的周期为 周期是系统振动一次所需要的时间，单位为秒（s）。周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f2.2 自由振动系统第33页/共447页 固有频率w wn和频率 f 只相差常数2p p，因此经常通称为固有频率。是振动分析中极其重要的参数。显然2.2 自由振动系统 因此w wn的物理意义是在2p p时间内振动的次数，单位为弧度/秒(rad/s)。圆有频率、振幅和初相位是简谐振动的三个重要特征量。第34页/共447页1.直接计算法 即直接利用固

16、有频率的公式进行计算。求出振动系统微分方程后，利用等效刚度和等效质量，即可求出固有频率：固有频率的计算2.2 自由振动系统第35页/共447页2.静位移方法(P7)m-k系统是所有一阶线性微振动系统的模型，利用此模型得出的结论具有一般性。质量在静平衡位置时弹簧的位移为则固有频率为2.2 自由振动系统d dst第36页/共447页复摆系统的固有频率复摆系统的固有频率 用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微微分分方程方程:mg则固有频率则固有频率:2.2 自由振动系统第37页/共447页纯滚动圆盘系统 用角度f f表示的运动微分方程:则固有频率则固有频率:2.2 自由振动系统第38页/共447

17、页扭转振动系统 转动方程为则固有频率则固有频率:2.2 自由振动系统第39页/共447页梁的横向振动系统 利用振动方程固有频率固有频率:或利用材料力学公式计算出静位移或利用材料力学公式计算出静位移:固有频率固有频率:2.2 自由振动系统d dst第40页/共447页 对无阻尼自由振动系统，能量（机械能）是守恒的。设系统的动能和势能分别用 T 和 V 表示，则能量方程为 T+V常数或2.3 能量法2.3 能量法第41页/共447页 系统在静平衡位置的速度最大，动能也最大，势能取为0位置;在质量偏离静平衡位置最大时，速度为0，动能也为0，而势能达到最大，利用能量守恒关系得到 TmaxVmax 同时

18、还有下面的关系 利用上面两式可以直接求固有频率。2.3 能量法第42页/共447页 例 利用能量法求纯滚动圆盘系统作微幅振动的固有频率。2.3 能量法第43页/共447页 一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的影响，当这些质量不可忽略的时候，“瑞利法”的思想是：将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，从而变成典型的单自由度振动系统。遵循的原则是：简化后系统的动能与原系统的动能相等，但并不考虑重力势能的影响。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。2.4 瑞利法2.4 瑞利法第44页/共447页 P17例2-4-1 质量-弹簧系统，集中质量为m，弹簧长度为l，刚度为k，

19、质量为m1，求考虑弹簧质量影响时的固有频率。2.4 瑞利法d dstlsds第45页/共447页题2.13(a)求图示系统的固有频率。（与P15例2-3-1对比）举 例单 自 由 度 自 由 振 动 举 例 用定轴转动微分方程，能量法第46页/共447页 题2.15 求图示系统微幅振动的微分方程（m2视为均质圆盘）。作业：T2.1，4，13举 例单 自 由 度 自 由 振 动 举 例用能量法第47页/共447页 无阻尼系统振动过程中能量守恒，振幅保持不变。而实际情况并非如此，必须考虑阻力对振动过程的影响。实际阻力的形式很多，有滑动摩擦表面的阻力、空气或流体阻力、弹性材料的内摩擦阻力等，因此阻力

20、的大小变化规律也各不相同。阻力大小与速度成正比的阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。2.5 具有黏性阻尼的振动系统2.5 具有黏性阻尼的振动系统第48页/共447页1.振动微分方程及其解（P21）以静平衡位置为坐标原点建立坐标系，可得系统的运动微分方程 其中c为粘性阻尼的比例常数，称为粘性阻尼系数。mgFkFc2.5 具有黏性阻尼的振动系统第49页/共447页令阻尼比为则方程可写为令其解为代入方程得到此特征方程的两个根是2.5 具有黏性阻尼的振动系统第50页/共447页 不同的阻尼比x x，对应的解的形式不同，运动性质也不同。2.解及运动形式的讨论（P22-26）（1）x x1（大阻

21、尼情况）此时特征方程有两个不同的实根，通解为2.5 具有黏性阻尼的振动系统第51页/共447页给出初始条件：t0时则可确定系数B和D2.5 具有黏性阻尼的振动系统第52页/共447页 这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们所关心的振动形式。设x00，v00，则运动图形大致如下。2.5 具有黏性阻尼的振动系统第53页/共447页（2）x x1（临界阻尼情况）此时特征方程有重根，通解为利用初始条件确定常数为 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为cc2.5 具有黏性阻尼的振动系统第54页/共447页 临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运动，按不同的初始条件其运动图形如下。2.5 具有黏性阻尼

22、的振动系统第55页/共447页（3）0 x x 1（小阻尼情况）此时特征方程有一对共轭复根，通解为或写为利用初始条件确定出常数2.5 具有黏性阻尼的振动系统第56页/共447页 解中有两个因子，一个是衰减的指数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振动最终消失;2.5 具有黏性阻尼的振动系统 另一个是正弦函数 ，它表示系统以相同的周期通过平衡位置。因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振动形式。第57页/共447页2.5 具有黏性阻尼的振动系统第58页/共447页 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。这种衰减振动具有下列特性：（1）振幅衰减 由前面的解可以看出，振幅不再

23、是常量，而是以几何级数 快速衰减;（2）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置;2.5 具有黏性阻尼的振动系统第59页/共447页（3）振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系统的固有频率小，振动周期变大，但影响不大，特别是当阻尼很小（x x1）时，可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。2.5 具有黏性阻尼的振动系统第60页/共447页 振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅的比值来表示，称为衰减率或减幅率或减缩率；也可以用衰减率的自然对数来表示，称为对数衰减率。2.6 对数衰减率2.6 对数衰减率第61页/共447页利用前面给出的解可得到衰减率为对数衰减率

24、为2.6 对数衰减率第62页/共447页 若用X0表示系统最初的振幅，经过n次循环后的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为证明：相乘得则即2.6 对数衰减率第63页/共447页1.4 衰减振动和对数衰减率 题2-16 求图示系统振动的微分方程和固有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。第64页/共447页1.4 衰减振动和对数衰减率 题2-18 图示系统，在空气中振动周期为T1，在液体中振动周期为T2。试证明液体的粘性阻尼系数为作业：T2-8、17第65页/共447页小 结3.无阻尼自由振动方程的解方程或通解为 或 第66页/共447页小 结1.名词与概念 固有频率,振幅,周期,相位角；线性阻尼

25、系数,临界阻尼系数，阻尼比；衰减率与对数衰减率；等效质量,等效刚度。2.建立振动微分方程的方法 牛顿定律、动能定理（功率方程、机械能守恒）、定轴转动微分方程等。本 章 小 结第67页/共447页小 结（2）静位移法 4.固有频率的确定（1）按定义直接计算（3）能量法（无阻尼自由振动系统）以及第68页/共447页小 结5.考虑弹性元件质量时的等效质量 将这些弹性元件所具有的多个集中质量或分布质量简化到系统的集中质量上去，简化后系统的动能与原系统的动能相等。第69页/共447页小 结或第70页/共447页小 结6.黏滞阻尼自由振动系统的解（1）方程或阻尼比（2）小阻尼解第71页/共447页小 结（

26、3）临界阻尼系数（z z1时）（4）衰减振动频率与周期（5）对数衰减率第72页/共447页小 结教材例题与习题：例 ，习题 2-1，3，4，8，9，1113，1518第73页/共447页第3章 单自由度系统强迫振动第74页/共447页 系系统统在在外外部部激激励励作作用用下下的的振振动动称称为为受迫振动或强迫振动。受迫振动或强迫振动。自自由由振振动动只只是是系系统统对对初初始始扰扰动动(初初始始条条件件)的的响响应应。由由于于阻阻尼尼的的存存在在,振振动动现象很快就会消失。现象很快就会消失。要要使使振振动动持持续续进进行行，必必须须有有外外界界激激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。励输入给系统

27、以补充阻尼消耗的能量。第75页/共447页所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设激励为F(t)=F0sinw wt，这里w w为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比x x可得到第76页/共447页齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:代入方程确定系数X0和f f为：其中：为频率比。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动非齐次方程的特解（P33-34）第77页/共447页稳态响应分析(P34-39)1.稳态响应xp=X0sin(w wtf f)的性质(P34)（1）在谐和激振条件下,响应也是谐和的,其频率与激振

28、频率相同;（2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角决定于系统本身的物理性质和激振力的大小和频率，与初始条件无关;3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第78页/共447页2.幅频特性曲线（P35）对于稳态响应，定义动力放大系数R为响应的振幅X0与最大干扰力F0所引起的静位移的比值：以x x为参数，画出R-r 曲线即幅频特性曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值的影响。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第79页/共447页（3）强迫振动振幅X0的大小，在工程实际中具有重要的意义。如果振幅超过允许的限度，构件就会产生过大的交变应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工或仪表的测量精度。因此在振动

29、工程中必需控制振幅的大小。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第80页/共447页3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr第81页/共447页讨论：讨论：r1时时3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rr振振幅幅的的大大小小主主要要决决定定于于系系统统的的惯惯性性。这这就就是是高高速速旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。第82页/共447页l r1（激激振振频频率率接接近近固固有有频频率率）时时，R迅迅速速增增大大，振振幅幅很很大，这种现象称为共振大，这种现象称为共振;3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动Rrl 阻阻尼尼比比x

30、x的的影影响响:阻阻尼尼越越小小，共共振振越越厉厉害害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。l 共振位置：共振位置：将将R对对r求导数求导数第83页/共447页令其等于令其等于0 0得得3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动而而r1 1时时 由由此此看看出出：当当x x很很小小时时的的R和和Rmax相相差差很很小小，所所以以在在工工程程中中仍仍认认为为当当w ww wn 时时发发生共振。生共振。第84页/共447页 以x x为参数,画出f f-r曲线即相频特性曲线,表明了阻尼和激振频率对相位差的影响。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f3.相频特

31、性曲线（P37）第85页/共447页4.品质因子（P36)工程上通常把共振时的动力放大系数称为品质因子，记为Q：在频率响应曲线上用 的一条水平直线在共振区附近截出两点q1、q2，对应于这两点的激振频率为w w1、w w2，q1、q2 称为半功率点，w w1、w w2 之差称为系统的半功率带宽。3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动第86页/共447页讨论：讨论：从从图图中中可可以以看看出出,无无阻阻尼尼情情况况下下的的曲曲线线是是由由f f0和和f fp p 的的半半直直线线段组成段组成,在在r1处发生间断处发生间断;3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动f f 有有阻阻尼尼时时f f

32、为为在在0p p之之间间变变化化的的光光滑滑曲曲线线,并并且且不不论论f f 取取值值多多少少,当当r1时时都都有有f fp p/2,即即曲曲线线都都交交于于(1,p p/2)这这一一点点。这这一一现现象象可可以以用用来来测测定定系系统统的的固固有有频率频率;r 时时,f fp p,激振力与位移反相激振力与位移反相,系统平稳运行系统平稳运行;r 0时时,f f0 0,激振力与位移同相激振力与位移同相,近似静位移近似静位移.第87页/共447页3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动w w1 1/w wn 1 w w2 2/w wnrRq2q1第88页/共447页 求出动力放大系数对应于两点q

33、1、q2的两个用x x表示的根。由得当x x5或x x1.414时时，传传递递率率减减小小，传传递递的的力力小小于于激激振振力力，且且阻阻尼尼越越小小，效效果果越越好好，但但若若阻阻尼尼过过小小，经经过过共共振振区区时时将将产生过大的振动。产生过大的振动。振动向基础的传递第175页/共447页 【例例】汽汽车车在在5 m/周周的的简简谐谐波波形形道道路路上上行行驶驶，已已知知汽汽车车空空载载质质量量为为250 kg，满满载载质质量量为为1000 kg，k=350 kN/m，满满载载时时阻阻尼尼比比x x10.5，车车速速v=100 km/h，求满载和空载时汽车的振幅比。，求满载和空载时汽车的振

34、幅比。解：基础的激振频率解：基础的激振频率振动向基础的传递第176页/共447页阻尼系数阻尼系数振动向基础的传递则空载时的阻尼比为则空载时的阻尼比为频率比频率比1.87（满载）（满载）0.93（空载）（空载）第177页/共447页振动向基础的传递振幅振幅（满载）（满载）（空载）（空载）所以满载和空载时车辆的振幅比为所以满载和空载时车辆的振幅比为第178页/共447页 P55例例3-3-2 弹弹簧簧质质量量系系统统放放在在箱箱子子中中,箱箱子子从从高高h处处自自由由落落下下。求求（1）箱箱子子下下落落过过程程中中,质质量量块块相相对箱子的运动对箱子的运动x;（2）箱箱子子落落地地后后传传到到地地

35、面面的的最最大压力。大压力。振动向基础的传递第179页/共447页 解解：（1）设设m的的绝绝对对运运动动为为x1，箱箱子子的的运运动动为为y，则则x1x+y，运动方程为，运动方程为即即利用杜哈美积分得响应：利用杜哈美积分得响应：振动向基础的传递第180页/共447页 （2）落落地地后后x和和x1相相同同，以以刚刚接接触触地地面面时时m的的运运动动为为初初始始条条件件做做自自由由振振动动。落落地地时时间间和和箱箱子子的的速速度度为为此时此时m的运动情况：的运动情况：振动向基础的传递第181页/共447页 因此落地后自由振动的振幅为因此落地后自由振动的振幅为最大压力：最大压力：振动向基础的传递第

36、182页/共447页 题题3-36 重重量量为为3000 N的的机机器器，以以刚刚度度系系数数600 N/cm及及阻阻尼尼比比xx0.2的的阻阻尼尼器器支支撑撑，若若在在机机器器上上加加以以按按正正弦弦规规律律变变换换的的干干扰扰力力，其其频频率率与与机机器器转转速速相相同同。求：求：（1）如如果果传传递递到到基基础础上上的的力力大大于于干干扰扰力力力力幅幅，机机器器转转速应如何？速应如何？（2）若若传传递递力力的的最最大大值值小小于于干干扰扰力力力力幅幅的的20，机机器器的转速应如何。的转速应如何。振动向基础的传递第183页/共447页提示提示 固有频率为固有频率为:（1）力传递系数应大于）

37、力传递系数应大于1，则：，则：解得：解得：（2）力传递系数应小于）力传递系数应小于20即：即：作业：作业：3-23振动向基础的传递第184页/共447页第5章 两个自由度系统的振动第185页/共447页 单单自自由由度度系系统统振振动动问问题题，在在我我们们所所讨讨论论的的范范围围内内是是线线性性定定常常方方程程。而而多多自自由由度度系系统统则则是是二二阶阶多多元元联联立立微微分分方方程程组组，各各广广义义坐坐标标间间存存在在相互相互“耦合耦合”现象。现象。所所谓谓耦耦合合，就就是是变变量量之之间间互互相相联联系系。由由于于这这种种耦耦合合，使使微微分分方方程程的的求求解解变变得得非非常常困困

38、难难。因因此此，分分析析多多自自由由度度系系统统振振动动问问题题的的重重要要内内容容之之一一就就是是如如何何将将方方程程“解解耦耦”，然然后后按按单单自自由由度的分析方法求解。度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。第186页/共447页 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样,但难度更大。运动微分方程（P104-106）5.2 两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵5.2 振动方程 标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：第187页/共447页坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式5.2 振动方程第188页/共447页式中：5.

39、2 振动方程第189页/共447页 M称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，C称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，F(t)为外激励列阵。对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由于矩阵M、K、C的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。5.2 振动方程第190页/共447页刚度影响系数与刚度矩阵 刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其kij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。5.2 振动方程第191页/共447页惯性影响系数与质量矩阵 质

40、量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响系数，其mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。5.2 振动方程第192页/共447页 例：用刚度影响系数和惯性影响系数求标准m-k-c系统的刚度矩阵和质量矩阵。5.2 振动方程第193页/共447页 柔度影响系数Rij的力学意义是：在j坐标处作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。由材料力学的位移互等定理可知RijRji，即柔度矩阵是对称的。5.3 位移方程5.3 两自由度系统的位移方程柔度矩阵柔度影响系数与柔

41、度矩阵(P114-117)第194页/共447页 例：用柔度影响系数求标准m-k-c系统的柔度矩阵。5.2 振动方程第195页/共447页 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。对标准m-k-c振动系统，质量m1和m2上的静位移可以表示为xst=RF，而系统的动位移为这就是系统振动方程的位移形式。5.3 位移方程位移方程(P113-114)第196页/共447页 因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为与力形式的方程比较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统R和K互为逆矩阵。5.3 位移方程第197页/共447页 【例5-3-1】求系统的振动微分方程。已知梁的抗弯刚度为EI。解：用影响系数法。由材料力

42、学挠度公式 5.3 位移方程第198页/共447页则 而 则方程为 5.3 位移方程第199页/共447页若写为力方程形式 则方程为 下面用影响系数法直接求K:5.3 位移方程第200页/共447页 设x1=1,x2=0，则由材料力学公式有：同理有 求出各个刚度系数即组成刚度矩阵K。作业：5-2，65.3 位移方程第201页/共447页 对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格郎日方程为：用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程第202页/共447页 其中：T为系统的动能，V为势能，Qi为非有势力的

43、广义力，d drk为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。实际计算广义力Qi时，通常假设与xi对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i1，2）拉格朗日方程第203页/共447页 【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。拉格朗日方程第204页/共447页静平衡位置：则：拉格朗日方程第205页/共447页拉格朗日方程第206页/共447页计算广义力，设m1产生虚位移d dx1，而d dx20，则 同样设m2产生虚位移d dx2，而d dx10，则 拉格朗日方程第207页/共447页代入拉格朗日方程 得整理写成矩阵形式即可。拉格朗

44、日方程第208页/共447页 【T5-30】用拉格郎日方程建立系统微振动微分方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 x1x2D D1D D2而 则 拉格朗日方程第209页/共447页所以 拉格朗日方程第210页/共447页计算广义力，设只有x1处产生虚位移d dx1，则 同样设x2处产生虚位移d dx2，则 代入拉格朗日方程即可。作业：T5-29拉格朗日方程第211页/共447页 只给出公式，不作严格推导。只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为能量法用能量法确定振动系统的M、K、C第212页/共447页记则 M即为所求的质量矩

45、阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成 势能可写为 K即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。能量法第213页/共447页3.阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。能量法第214页/共447页【例5-2-3】求M和K。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 ll则 能量法第215页/共447页将余弦函数用级数展开，表示为则 所以 作业：5-4 能量法第216页/共447页无阻尼自由振动系统的运动方程为固有频率与固有振型(P117-120)5.4 两个自由度系统的自由振动5.4 两个自由度系统的自由振动假设方程解的形式为第217页/共447页 这里：X1、X

46、2为振动幅值，w w为固有频率，aa为初相位。代入振动方程可得：这是广义的特征值问题，K-w w2M称为特征矩阵。要使上式有解，必须使其系数行列式为零。若M为对角阵，K为对称阵，则有5.4 两个自由度系统的自由振动第218页/共447页 上式称为频率方程或特征方程。由此可求出w w2的两个正实根。且规定w w1=w w2。将这两个根代入广义特征值问题(Kw w2M)X=0可得到相应的振幅比值 式中X(i)表示对应于第i个固有频率的振幅(i=1,2)。由数学概念知道，只能求出振幅的比值，而不能确定各振幅大小。5.4 两个自由度系统的自由振动第219页/共447页 和单自由度一样，由于固有频率和振

47、幅比ui只决定于系统本身的物理特性，而与外部激励和初始条件无关，这表明它们都是系统的固有属性。因此把w wi称为系统的固有频率或主频率，ui称为系统的固有振型或主振型。将振幅写成矩阵形式5.4 两个自由度系统的自由振动 称为振型向量或模态向量，组成的矩阵称为振型矩阵。第220页/共447页 式中的X1可以取任意值。显然两个主振动的叠加也是方程的解，即系统对初始激励的响应(P121-128)由前面的分析可得到系统的两组特解为5.4 两个自由度系统的自由振动第221页/共447页 由解的形式可看出，系统两质量按相同的频率和相位角作简谐运动，这种运动称为固有振动或主振动。每一个主振动称为一个模态，w

48、 wi和对应的ui组成第i 阶模态参数。系统在主振动中，各质点同时达到平衡位置或最大位移，而在整个振动过程中，各质点位移的比值将始终保持不变，也就是说，在主振动中，系统振动的形式保持不变，这就是振型的物理意义。5.4 两个自由度系统的自由振动第222页/共447页 式中的各个X、a a和C均为任意常数，由初始条件确定。或写为下面的形式5.4 两个自由度系统的自由振动第223页/共447页将初始条件代入可得设初始条件为t0时5.4 两个自由度系统的自由振动第224页/共447页 综上所述，系统对初始激励的响应求解步骤为：（1）建立运动微分方程，求出质量矩阵M和刚度矩阵K;（2）确定固有频率w w

49、i 和振幅比ui;（3）利用初始条件求响应。5.4 两个自由度系统的自由振动第225页/共447页【T5-21】求系统的频率方程。解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置 则 5.4 两个自由度系统的自由振动第226页/共447页将余弦函数表示为则 所以 5.4 两个自由度系统的自由振动第227页/共447页【T5-26】求系统的固有频率。解：用牛顿定律 而 x1x2dd1dd2dd3解得 则方程为 5.4 两个自由度系统的自由振动第228页/共447页频率方程为即 展开得 5.4 两个自由度系统的自由振动第229页/共447页频率方程为解得5.4 两个自由度系统的自由振动第230页/共447页

50、 【T5-35】质量为m2的物块从高h处自由落下，然后与弹簧质量系统一起做自由振动，已知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应。解:（1）用牛顿定律建立方程5.4 两个自由度系统的自由振动第231页/共447页（2）频率方程为解得（3）求振型。利用则同理5.4 两个自由度系统的自由振动第232页/共447页（4）求响应初始条件代入得5.4 两个自由度系统的自由振动第233页/共447页 在二阶振动微分方程中，如果质量矩阵M和刚度矩阵K的各个元素都不为零，则在两个方程中都同时包含坐标x1和x2和它们的导数项，这种情形称为坐标耦合。把M为对角阵，K不是对角阵的情形称为静力耦合