直线的倾斜角与斜率直线的方程.pptx

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1、1.表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角定义：范围：0，).x轴平行重合0相交第1页/共61页(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90,则其斜率k=_;计算公式：若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴，则k=_.tan 第2页/共61页2.两条直线的平行、垂直与其斜率大小间的关系(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2，则有l1l2_；当两条不重合的直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_.k1=k2平行第3页/共61页(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1,k2，则l1l2_；如果l1,l2中有一条

2、直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为_.k1k2=-1垂直第4页/共61页3.直线方程的五种形式名名 称称已知条件已知条件方方 程程 适用范围适用范围点斜式点斜式斜率斜率k k与点与点(x(x1 1,y,y1 1)_不含直线不含直线x=xx=x1 1 斜截式斜截式 斜率斜率k k与直与直线在线在y y轴上轴上的截距的截距b b _ 不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线 y-y1=k(x-x1)y=kx+b第5页/共61页名名 称称已知条件已知条件方方 程程 适用范围适用范围两点式两点式两点两点(x(x1 1,y,y1 1)，(x(x2 2,y,y2 2)_不含直线

3、不含直线x=xx=x1 1(x(x1 1=x=x2 2)和直和直线线y=yy=y1 1(y(y1 1=y=y2 2)截距式截距式 直线在直线在x x轴、轴、y y轴上的截轴上的截距分别为距分别为a a，b b _不含垂直于坐不含垂直于坐标轴和过原点标轴和过原点的直线的直线 一般式一般式 _平面直角坐标平面直角坐标系内的直线都系内的直线都适用适用 Ax+By+C=0(A2+B20)第6页/共61页判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一

4、一对应关系.()第7页/共61页(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2l1l2.()(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()(6)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程.()第8页/共61页【解析】(1)正确.直线的倾斜角仅反映了直线相对于x轴的倾斜程度，不能确定直线的位置.(2)错误.当倾斜角=90时，其斜率不存在.(3)错误.倾斜角是0的直线有无数条.(4)错误.当k1=k2时，l1与l2可能重合.第9页/共61页(5)错误.如果两条直线l1,l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(也即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0

5、，另一条的倾斜角为90，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直.(6)错误.当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程表示.答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)第10页/共61页1.直线l经过原点和点(-1，-1)，则它的倾斜角是()(A)45 (B)135(C)135或225 (D)0【解析】选A.斜率 又0180,倾斜角为45.第11页/共61页2.某直线l的方程为9x-4y=36，则l在y轴上的截距为()(A)9 (B)-9 (C)-4 (D)【解析】选B.l的方程9x-4y=36化为斜截式为 其截距为-9.第12页/共61页3.已知直线l1过点

6、A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1l2,则a=_.【解析】l1与l2的斜率分别为 由l1l2可知：a=-2.答案:-2第13页/共61页4.直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.【解析】由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30=l1l，l2l,k2k=-1,答案:第14页/共61页5.过点M(3，-4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.第15页/共61页【解析】当在两坐标轴上截距均为0时，设方程为y=kx，又过M(3,-4)，有-4=3k,得直线的方程为当在两坐标轴上

7、的截距均不为0时，设直线的方程为 由过点M(3，-4)得3+4=a,得a=7,方程为x-y-7=0.综上可知直线方程为 或x-y-7=0.答案:或x-y-7=0第16页/共61页考向 1 直线的倾斜角与斜率【典例1】(1)直线xcos+y+2=0的倾斜角的范围是()(2)若点A(1，1)，B(3，5)，C(a,7)三点共线，则a的值为_.第17页/共61页(3)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_.第18页/共61页【思路点拨】(1)根据直线方程求出直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围.(2)根据三点共线

8、得kAB=kAC,由此求出a值.(3)先确定直线PA，PB的斜率，再数形结合求解，或先写出直线l的方程，再由点A，B在直线l的异侧(或A，B之一在直线l上)求解.第19页/共61页【规范解答】(1)选B.由xcos+y+2=0得直线斜率 -1cos 1,设直线的倾斜角为,则结合正切函数在 上的图象(如图所示)可知，第20页/共61页第21页/共61页(2)由斜率公式得A,B,C三点共线，kAB=kAC，解得a=4.答案:4第22页/共61页(3)方法一：因为A(2,-3)，B(-3,-2)，P(1,1)，所以如图所示：因此，直线l的斜率k的取值范围为k-4或第23页/共61页方法二：依题设知，

9、直线l的方程为：y-1=k(x-1)，即kx-y+1-k=0,若直线l与线段AB有交点，则A，B两点在直线l的异侧(或A，B之一在直线l上)，故(2k+4-k)(-3k+3-k)0，即(k+4)(4k-3)0,解得：k-4或答案:k-4或第24页/共61页【互动探究】本例题(3)中的条件变为：直线l：与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则k的取值范围如何？第25页/共61页【解析】直线l：过定点 作出两直线的图象，如图所示，从图中可以看出直线l的斜率的取值范围为第26页/共61页【拓展提升】1.直线的斜率k与倾斜角之间的关系第27页/共61页2.斜率取值范围的两种求法(1)数形结合法：

10、作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定.(2)构建不等式法：巧妙地利用不等式所表示的平面区域的性质，抓住斜率k满足的不等关系，构造不等式求解.第28页/共61页3.求倾斜角范围的两个关键点(1)求：求出斜率k=tan 的取值范围.(2)看：借助正切函数图象数形结合得到倾斜角的取值范围.第29页/共61页【变式备选】已知实数x,y满足2x+y=8,当2x3 时,求的取值范围.【解析】由 的几何意义知,它表示点A(1,-1)与线段CD上任一点P(x,y)连线的斜率,如图.线段的端点为C(2,4),D(3,2),的取值范围是第30页/共61页考向 2 两条直线平行、

11、垂直的关系【典例2】(1)(2012浙江高考)设aR,则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件第31页/共61页(2)(2013辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有()(A)b=a3 (B)b=a3+(C)(b-a3)(b-a3-)=0 (D)|b-a3|+|b-a3-|=0(3)已知A(-4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(-3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状.第32

12、页/共61页【思路点拨】(1)先求出两条直线平行的条件，再判断a=1与此条件的关系.(2)先确定直角顶点后求解.(3)先分别求出四边形ABCD四条边所在直线的斜率，再分别验证对边是否平行，邻边是否垂直，依此判断ABCD的形状.第33页/共61页【规范解答】(1)选A.若两直线平行即l1l2，则a(a+1)-21=0,解得a=-2或a=1,而当a=1时，l1l2,所以“a=1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件.第34页/共61页(2)选C.由题意,点O(0,0),A(0,b),B(a,a3)不能共线,故a0.从而点B(a,a3)不在坐标轴上.当点A(0,b)为直角顶点时,OAAB,此

13、时b=a3;当点B(a,a3)为直角顶点时,OBAB,此时 ,由O(0,0),A(0,b),B(a,a3)得 =(a,a3),=(a,a3-b),=a2+a3(a3-b)=0,化简得b=a3+.综上可知,b=a3或b=a3+,故(b-a3)(b-a3-)=0.第35页/共61页(3)A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合，ABCD.第36页/共61页由kADkBC,AD与BC不平行.又kABkAD=(-3)=-1,ABAD，故图形ABCD为直角梯形.第37页/共61页【拓展提升】两直线平行、垂直的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线

14、平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.第38页/共61页(2)已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解：直线方程直线方程l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0(A=0(A1 12 2+B+B1 12 20)0)l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A2 22 2+B+B2 22 20)0)l1 1与与l2 2垂直的充要条件垂直的充要条件A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0 第39页/共61页直线方程直线方程 l1 1:A:A1 1x

15、+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0(A=0(A1 12 2+B+B1 12 20)0)l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0(A=0(A2 22 2+B+B2 22 20)0)l1 1与与l2 2平行的充分条件平行的充分条件 l1 1与与l2 2相交的充分条件相交的充分条件 l1 1与与l2 2重合的充分条件重合的充分条件 第40页/共61页【变式训练】(1)若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为_.【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为设所求直线的斜率为k，所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，kk=-1,所求直线方程为即

16、:3x+2y-1=0.第41页/共61页方法二：由已知,设所求直线l的方程为：3x+2y+C=0.又l过点(-1,2),3(-1)+22+C=0,得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0.答案:3x+2y-1=0第42页/共61页(2)已知ABC的三个顶点坐标为A(2，4)，B(1，-2)，C(-2，3)，则BC边上的高AD所在直线的斜率为_.【解析】又BCAD,答案:第43页/共61页考向 3 直线的方程【典例3】(1)若直线l：(a+1)x+y+2-a=0(aR)在两坐标轴上截距相等，则a的值为_.(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图所

17、示,求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.第44页/共61页【思路点拨】(1)要分截距均为0，均不为0两种情况讨论.(2)先设出AB所在的直线方程，再求A，B两点的坐标或得到系数满足的关系，将ABO的面积用引入系数表示，最后利用相关的数学知识求出最值.第45页/共61页【规范解答】(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，a=2；当直线不过原点时，由截距相等且均不为0，得 即a+1=1，a=0.综上可知，a=0或a=2.答案:0或2第46页/共61页(2)方法一：由题可设直线l的方程为 (a0,b0),则A(a,0),B(0,b).l 过点P(3,2),且a3,b2.从而故有

18、第47页/共61页当且仅当即a=6时,(SABO)min=12,此时此时直线l的方程为 即2x+3y-12=0.第48页/共61页方法二：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有当且仅当 时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.第49页/共61页方法三：由题可设直线方程为 (a0,b0),代入P(3,2),得得ab24,从而SABO=当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时此时直线l的方程为2x+3y-12=0.第50页/共61页【互动探究】在本例题(2)的条件下，求l在两坐标轴上的截距之和最小时直线l的方程

19、.第51页/共61页【解析】设l的斜率为k(k0)，则l的方程为y=k(x-3)+2,令x=0得B(0,2-3k),令y=0得l在两轴上的截距之和为(当且仅当 时，等号成立)，时，l在两轴上截距之和最小，此时l的方程为第52页/共61页【拓展提升】1.利用待定系数法求直线方程的三个步骤第53页/共61页【提醒】选方程时一定要注意方程的适用条件.2.直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的

20、存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.第54页/共61页【变式备选】ABC的三个顶点为A(-3，0)，B(2，1)，C(-2，3)，求：(1)BC所在直线的方程.(2)BC边上中线AD所在直线的方程.(3)BC边的垂直平分线DE的方程.第55页/共61页【解析】(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(-2，3)两点，由两点式得BC所在直线的方程：即x+2y-4=0.(2)设BC中点D的坐标为(x,y)，则BC边的中线AD过A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为即2x-3y+6=0.第56页/共61页(3)直线BC的斜率则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由点斜式得直线DE的方程为2x-y+2=0.第57页/共61页第58页/共61页第59页/共61页第60页/共61页感谢您的观看！第61页/共61页