BB常数项级数的判敛法.pptx

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1、1定理定理2(比较审敛法比较审敛法)且存在对一切有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.两个正项级数,(常数 k 0),第1页/共34页2解 1：发散,例例1：判断下列级数的敛散：判断下列级数的敛散性性而收敛由比较判别法可知原级数收敛解 2：而由比较判别法可知原级数发散第2页/共34页3例例2.讨论讨论 p 级级数数(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,2）若顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起此式由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。第3页/共34页4重要参考级数:几何级数,P

2、-,P-级数,调和级数.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切第4页/共34页5证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例3.3.第5页/共34页6例例4 4第6页/共34页7定理定理3.(比较审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=+证明略！设两正项级数满足(1)当 0 l 1,则原级数收敛。第16页/共34页17解：比值法失效，但故级数发散。第17页/共34页18解：考虑以为通项的级数用比值法知级数收敛，例例2：求证：求证第18页/共34页19定理定理5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判

3、别判别法法)设 则证明略 为正项级数,且例如,p 级数 说明:但级数收敛;级数发散.时,级数可能收敛也可能发散.第19页/共34页20例例1：判断下列级数的敛散判断下列级数的敛散性性解：由正项级数的根值判别法可知原级数发散。解：由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。解：由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。第20页/共34页21二二、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足第21页/共34页22证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故第22页/共34页23收敛

4、收敛用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛第23页/共34页24三、任意项级数的判敛法三、任意项级数的判敛法 定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称收敛,原级数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.可正可负可为零。第24页/共34页25定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令第25页/共34页26例例1.证明下列级数绝对收证明下列级数绝对收敛敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.第

5、26页/共34页27解因此收敛,绝对收敛.例例1.证明下列级数绝对收证明下列级数绝对收敛敛:第27页/共34页28第28页/共34页29例例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。解：原级数条件收敛！是发散的级数第29页/共34页30例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。第30页/共34页31内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用其它方法判别积分判别法部分和极限第31页/共34页323.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛第32页/共34页33P322 1 ;2 (1),(2),(4);3;4 (1),(3);5(1),(2)作业作业第33页/共34页34感谢您的观赏！第34页/共34页