D111对弧长和曲线积分.pptx

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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性一、对弧长的曲线积分的概念与性质质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例:曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束(其中 为 n 个小弧段的最大长度)第1页/共25页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页如果如果

2、L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第3页/共25页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共25页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路:计算定积分转 化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、第5页/共25页点设各分点对应参数为对应参数为 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页说明:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页如果曲线如果曲线 L 的方程的方程为为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共25页例例1.计算计算其中L是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解:上点 O(0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页例例2.计算半径为计算半径为 R,中心中心角为角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯

4、量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共25页例例3.计算计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共25页例例4.有一半圆有一半圆弧弧其线密度 解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页课堂练习课堂练习.计算计算其中L为提示:L 分为四段进行计算：化为定积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页例例5.计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解:线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第

5、14页/共25页例例6.计算计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解:由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共25页思考思考:例例6中中 改为改为计算解:令,则圆的形心在原点,故,如何机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页例例7.计算计算其中为球面解:化为参数方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共25页课堂练习课堂练习.L为球面为球面三个坐标面的交线,求其形心。在第一卦限与提示:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页内容小结内容小结1.定义2.性质(l 曲线弧 的长度)机动 目录 上页

6、下页 返回 结束 第19页/共25页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共25页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程的方程为为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为(常数).(2)L的质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页故重心坐标为第二节 目录 上页 下页 返回 结束 3.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分第23页/共25页教材疑难题教材疑难题p161.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上下4.求圆绕 x 轴旋转而成圆环体的表面积 S.提示：利用对称性，只计算右半部份，由于第24页/共25页感谢您的观赏第25页/共25页