D线性常微分方程.pptx

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1、据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:二阶线性微分方程第1页/共21页求电容器两两极板间电压 例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.提示提示:设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t),电感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,电感L,电容 C 和电源 E 串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0422第2页/共21页串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得化为关于的方程:故有 第3页/共21页定义定义1：n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式的一般

2、形式为为方程的共性 为二阶线性微分方程.例例1例例2 可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y622第4页/共21页二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构1.解的存在唯一性定理：解的存在唯一性定理：P2232.线性微分算子：线性微分算子：b)线性微分方程为：线性微分方程为：a)线性微分算子的线性性质：线性微分算子的线性性质：第5页/共21页证毕是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(解的叠合性)定理定理1.822第6页/共21页说明说明:叠合性可以推广到高阶线性微分方程（定理叠合性可以

3、推广到高阶线性微分方程（定理7.1.1）不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.第7页/共21页定义定义2:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数1022第8页/共21页不全为不全为0 0，则线性相关。，则

4、线性相关。线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数第9页/共21页思考思考:中有一个恒为 0,则必线性 相关相关线性无关存在不全为 0 的使1221第10页/共21页解的线性无关判别法解的线性无关判别法:p225:p225定理定理2.1322是 n 阶齐次方程 的 n 个定义在区间I的解,则它们在I线性无关的充要条件是，在I中存在一点t，使得这n个解及其各阶导数在t处所构成的行列式称w(t)为解组在t处的Wronski行列式。(证明见课本）第11页/共21页定理定理 3.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论推论.(P

5、227)是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为第12页/共21页三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 4.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得1522第13页/共21页是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.第14页/共21页定理定理5.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理4、5 可以推广到 n 阶线性非齐次方程.1722第15页/共21页定理定理 6.是对应齐次方程的 n

6、 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解第16页/共21页常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89 考研考研)1922第17页/共21页例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 第18页/共21页例例5.的通解为 的通解.解解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:积分得故所求通解为2122第19页/共21页例例6.的通解.解解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设的特解为于是得的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入可得:第20页/共21页感谢您的欣赏！第21页/共21页