药学高数泰勒公式.pptx

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1、 在讨论函数的微分时，f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)，当 xx0 时，其误差是比 x-x0 高阶无穷小。令 R1(x)=f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)，并假设 f(x)在 x=x0 的某个邻域内具有二阶导数，易得 R1(x0)=0,R 1(x0)=0,R 1(x)=f (x)。当 xx0 时，将无穷小R1(x)与(x-x0)2 相比较，利用柯西中值定理，有 (1 在 x 与 x0 之间)第1页/共10页 其中 在 x0 与 1 之间，从而也在 x0 与 x 之间。于是故 此式称为函数 f(x)的一阶泰勒公式,R1(x)称为一阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比

2、x-x0高阶无穷小 如果在一阶泰勒公式中，将（在 x0 与 x 之间）用 x0代替，则有近似公式 令第2页/共10页可用上述类似推理，得出 （在 x0 与 x之间）此式称为函数 f(x)的二阶泰勒公式，R2(x)称为二阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比(x-x0)2 高阶的无穷小。第3页/共10页 定理2-9 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f(x)在含有 x0 的某个区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意 x(a,b)，有其中 （在 x0 与 x之间）此式称为函数 f(x)在点 x0 处的 n 阶泰勒公式，或按（x-x0）的幂展开的泰勒公式，简称 n 阶泰勒公式。

3、Rn(x)称为 n 阶泰勒公式的余项，当 xx0 时，它是比(x-x0)n 高阶的无穷小。第4页/共10页 二、函数的麦克劳林公式 在泰勒公式中，如果取 x0=0 时，则 在 0与 x 之间，因此可令 =x(0 0）第6页/共10页如果取 x=1，则得无理数 e 的近似式为其误差为当 n=10 时，可算出 e 2.718281，其误差不超过10-6。例2-62 求 f(x)=sin x 的 n 阶麦克劳林公式。解 因为第7页/共10页 又 f(0)=0，知它们顺次循环地取四个数:0,1,0,-1,于是按麦克劳林公式得（令n=2m）其中如果取 m=1，则得近似公式 sin x x这时误差为第8页/共10页作业作业:习题二习题二 62-69第9页/共10页感谢您的观看！第10页/共10页