光学小波变换(第8讲).ppt

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1、光学小波变换光学小波变换11/21/20221小波变换的概念小波变换的概念-1w小波变换的概念是小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探年由法国从事石油地质勘探信号处理的工程师信号处理的工程师 J.Morlet 和和A.Grossmann 在分在分析处理地震数据时首先引进的析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震并成功地运用于地震信号的分析。后来法国数学家信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对从理论上对小波作了一系列研究小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的极大地丰富了现代调和分析的内容。内容。w1988年年 Arneodo 及及 Grasseau 等人将小波

2、分析运等人将小波分析运用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长现象现象。11/21/20222小波变换的概念小波变换的概念-2w小波变换是一个时间和频率的局域变换，它小波变换是一个时间和频率的局域变换，它能有效地从信号中提取信息，同时通过能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩伸缩和和平移平移等运算功能对函数或信号进行多尺度等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（细化分析（Multiscale Analysis），），解决了解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为小波变化被誉为“数学显微镜

3、数学显微镜”，它是调和，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。分析发展史上里程碑式的进展。11/21/20223小波变换的概念小波变换的概念-3w信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。或存储、精确地重构（或恢复）。w从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波

4、变信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理归结为信号处理问题。归结为信号处理问题。w对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而小波变换分析就是一个对而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理非稳定信号进行处理的有力工具。的有力工具。11/21/20224小波变换分析的应用领域小波变换分析的应用领域w1,数学；数学；w2,信号分析、图象处理；信号分析、图象处理；w3,

5、量子力学、理论物理；量子力学、理论物理；w4,军事电子对抗与武器的智能化；军事电子对抗与武器的智能化；w5,计算机分类与识别；计算机分类与识别；w6,音乐与语言的人工合成；音乐与语言的人工合成；w7,生物医学工程成像与诊断；生物医学工程成像与诊断；w8,地震勘探数据处理；地震勘探数据处理；w9,大型机械的故障诊断等方面等等。大型机械的故障诊断等方面等等。11/21/20225数学、图像处理、生物医学工程数学、图像处理、生物医学工程领域的应用：领域的应用：w数学领域：用于数值分析、构造快速数值方数学领域：用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论法、曲线曲面构造、微分方程

6、求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。传递等。w图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。断，去污等。w生物医学工程领域：成像方面的减少生物医学工程领域：成像方面的减少B超、超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。核磁共振成像的时间，提高分辨率等。11/21/20226小波变换分析小波变换分析w在信号处理上在信号处理上,富里叶变换分富里叶变换分 析的一个不足析的一个不足之处是它不能作局部分析之处是它不能作局部分析,小波变换分析正好小波变换分析正好能弥补这一不足。能弥补这一不足。w小波

7、变换分析从有限个具局部性与振动性的小波变换分析从有限个具局部性与振动性的小波函数出发小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分通过平移与展缩使得函数的分析在时域和频域两方面同时局部化析在时域和频域两方面同时局部化,因而为因而为各类函数空间的分析提供了较传统富里叶分各类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析更有析更有 力的工具。力的工具。11/21/20227傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:w函数图像函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:11/21/20228一维信号的傅里叶变换和逆变换一维信号的傅里叶变换和逆变换w为方便

8、分析采用一维的信号为方便分析采用一维的信号:(1)(2)11/21/20229快速过程或暂态过程快速过程或暂态过程Short-time Fourier transformShort-time Fourier transform w(1)(1)式表示信号式表示信号g g(x x)中频率为中频率为fxfx的成份含量为的成份含量为G(G(fxfx),),x x可以是时间变量或空间变量可以是时间变量或空间变量,G(,G(fxfx)则分别表示时间频则分别表示时间频率或空间频率的成份含量率或空间频率的成份含量.w如果如果g(x)g(x)是一个时域或空域中分布在是一个时域或空域中分布在()()中中的恒稳过程

9、或稳定分布的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美则傅里叶分析会给出近乎完美的结果的结果 ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电脉冲等。脉冲等。w这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰减到零，这是一种减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。快速过程或称暂态过程。11/21/202210小波信号小波信号w信号信号S(t)在某一时刻突然出在某一时刻突然出现，但很快衰减到零，是暂现，但很快衰减到零，

10、是暂短的信号，称为短的信号，称为小波信号。小波信号。许多光学信号，例如远处空许多光学信号，例如远处空中的目标、显微镜下的物体、中的目标、显微镜下的物体、被鉴别的指纹等等。被鉴别的指纹等等。w它们不显著为零的分量只分它们不显著为零的分量只分布在有限的区域内，即是暂布在有限的区域内，即是暂态过程。态过程。w我们仅对我们仅对 内的时间信内的时间信号感兴趣。号感兴趣。0tS（t）11/21/202211wWEVELET11/21/202212短时傅里叶变换短时傅里叶变换（STFT）w为提取局部信号为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念的信息，引入局部化变换的概念,其有两个要素：其有两个要素

11、：w1，被分析的区间要有一定的宽度，被分析的区间要有一定的宽度 ，仅对它附近的，仅对它附近的信息进行处理；信息进行处理；w2，被分析的区间有一个中心坐标，被分析的区间有一个中心坐标xc，当当xc改变时，就改变时，就可提取不同的信息。可提取不同的信息。w为了实现局部化为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):（3）11/21/202213Short-time Fourier transformShort-time Fourier transformw在频域中的表达式在频域中的表达式:wW和和G分别是分别是w和和g的傅里叶变换的傅里叶变换.只要有足够快的衰只

12、要有足够快的衰减速度减速度,窗函数就是一个局部化的函数。窗函数就是一个局部化的函数。w（3）式定义的变换即称为）式定义的变换即称为短时傅里叶变换短时傅里叶变换(short-time Fourier transform;STFT)。w特点是频率变量特点是频率变量 f 和坐标变量和坐标变量x0同时出现在变换函数同时出现在变换函数中。中。为卷积算符为卷积算符.11/21/202214小波变换的定义和性质小波变换的定义和性质w1,小波变换的定义小波变换的定义w母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:w式中 b 称为小波变换的位移因子位移因子,w a0 称为伸伸缩因子因子.(5)11/21/2

13、02215小波宽度的伸缩小波宽度的伸缩w右图可见当右图可见当a增大时增大时,小小波的宽度加宽波的宽度加宽(膨胀膨胀);w当当a减小时减小时,小波的宽度小波的宽度变小变小(收缩收缩).w(5)式表明基本小波是母式表明基本小波是母函数经平移和缩放的结函数经平移和缩放的结果果.w基本小波即简称为小波基本小波即简称为小波(Wavelet)10.511/21/202216信号函数的小波变换信号函数的小波变换-1-1w信号函数信号函数g(x)的小波变换定义为小波的小波变换定义为小波ha,b(x)和和g(x)的的内积内积,即即ha,b(x)的复共轭和的复共轭和g(x)的乘积的积分的乘积的积分:11/21/2

14、02217信号函数的小波变换信号函数的小波变换-2-2w上式还可写成上式还可写成:w即小波变换可表为缩放后的母函数与信号函数的相即小波变换可表为缩放后的母函数与信号函数的相关关,母函数的中心位移则是相关函数的变量母函数的中心位移则是相关函数的变量.w由于相关运算比较容易用光学相关器进行由于相关运算比较容易用光学相关器进行,因此小波因此小波变换可以用我们熟悉的光学相关器来实现变换可以用我们熟悉的光学相关器来实现.11/21/202218信号函数的小波变换信号函数的小波变换-3w并非任何函数都可以作为小波变换的函数并非任何函数都可以作为小波变换的函数,h(x)必必须在须在 时衰减到零时衰减到零,实

15、际使用的小波变换的实际使用的小波变换的母函数母函数h(x),当当 时迅速衰减时迅速衰减,使它不显著为使它不显著为零的分量只存在于一个很小的区间内零的分量只存在于一个很小的区间内,这正是小波这正是小波名称的由来名称的由来.11/21/202219实现一维小波变换的光学系统实现一维小波变换的光学系统w光学信息处理器具有高度的并行处理性能光学信息处理器具有高度的并行处理性能sL1g(x)L2L3SLM1SLM2H(am,u)Z11/21/202220wSLM1上输入信号上输入信号g(x),经经L2变换变换,在在uv平面上形成平面上形成它的傅里叶变换谱它的傅里叶变换谱G(u),uv平面上放置平面上放置

16、SLM2,它它被分成被分成M个沿个沿u方向的带状区域方向的带状区域,这些带状区域中这些带状区域中分别显示具有不同伸缩因子分别显示具有不同伸缩因子am的基元函数的基元函数h的傅的傅里叶谱里叶谱H*(amu),m=1,2,3,-M.wH(amu),m=1,2,3-M 构成多通道小波变换匹配滤构成多通道小波变换匹配滤波器波器,在在L3的后焦面上放置的后焦面上放置CCD器件器件.w相应形成带状通道像相应形成带状通道像,即小波变换的结果即小波变换的结果.11/21/202221Haar小波变换和图形边缘探测小波变换和图形边缘探测wHaar变换的数学形式变换的数学形式wHaar小波函数小波函数ha,b(x

17、)是以是以x=1/2为中心的反对称函数为中心的反对称函数,在区间在区间0,1以外皆为零以外皆为零,是典型的小波是典型的小波.w它有三个值它有三个值:+1,-1,0易用易用光学方法实现光学方法实现.011xha,b(x)11/21/202222h(x)的傅里叶变换的傅里叶变换wh(x)的的)傅里叶变换为傅里叶变换为H()H()011/21/202223Haar小波变换和边缘探测小波变换和边缘探测wHaar小波变换是信号函数与小波变换是信号函数与Haar函数经伸缩后的母函数经伸缩后的母函数相关的结果函数相关的结果.w其中其中11/21/202224对于一个给定的伸缩因子对于一个给定的伸缩因子a,H

18、aar小波变换小波变换的作用是的作用是:w1,在小波基元函数在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信的正、负半周内对信号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或平均的过程。平均的过程。w2，将正、负半周的积分值相减。，将正、负半周的积分值相减。w以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。11/21/202225下图是对一个带有低频噪声方波进行下图是对一个带有低频噪声方波进行Haar小波变换的结小波变换的结果果,小波变换作为位移因子

19、小波变换作为位移因子b的函数的函数,在方波的两个边缘在方波的两个边缘呈现一对峰呈现一对峰,极值恰恰指示了边缘的位置极值恰恰指示了边缘的位置.11/21/202226高频噪声的情况11/21/202227方波同时有高、低频噪声11/21/202228小波变换对信号的奇异点非常敏感小波变换对信号的奇异点非常敏感w小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与噪声截然不同的特性。噪声截

20、然不同的特性。w利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随着尺度的增加而迅速衰减。着尺度的增加而迅速衰减。11/21/202229对信号进行多尺度分析w小波分析可以对信号进行多尺度分析，它具小波分析可以对信号进行多尺度分析，它具有很强的特征提取功能，尤其是对突变信号有很强的特征提取功能，尤

21、其是对突变信号的处理优势非常明显。的处理优势非常明显。w由于随机噪声信号的小波变换与有效信号的由于随机噪声信号的小波变换与有效信号的小波变换在特征上具有明显的区别，因此小小波变换在特征上具有明显的区别，因此小波分析方法具有很强的消噪功能。波分析方法具有很强的消噪功能。11/21/202230结语w小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科,在欧美国家已成为众多学科共在欧美国家已成为众多学科共 同关注的热同关注的热 点。点。w小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展,是调和分析这一数学领域半个世纪是调和分析这一数学领域半个世纪

22、 以来工作以来工作的结晶；的结晶；w它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像处理、量子力学、处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、电子对抗、计算机识别、语音识别与合成、分形和数字电视等领域。语音识别与合成、分形和数字电视等领域。11/21/202231参考资料w1，汪富泉，李后强，小波理论与分形，物理，23（1994），539-543w2，宋菲君，S。Jutamulia，近代光学信息处理，北京大学出版社，（1998），136-165w3，C.K.Chui，AnIntroduction to Wavelet，SanDiego，Academic，1992w4,Y.Li,H.H.Szu,Y.Sheng and H.J.Caufield,Wavelet processing and optics,Proc.IEEE,84(1996),720-73211/21/202232wWEVELET11/21/202233