[高中数学课件]2.3.1-等差数列的前n项和(一)ppt.ppt

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1、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.3.1 等差数列的前n项和为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一、数列前一、数列前n项和的意义项和的意义:设数列设数列an:a1,a2,a3,an,我们把我们把a1a2 a3 an叫做数列叫做数列an的的前前n项和项和,记作记作Sn为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益实例探究实例探究:高斯高斯(1777(1777185

2、51855）德国著名数学家德国著名数学家.1+2+3+98+99+100=?高斯高斯高斯高斯1010岁时曾很快算出这一结果岁时曾很快算出这一结果岁时曾很快算出这一结果岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢如何算的呢如何算的呢如何算的呢?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益思考思考:1+2+3+n=?1 +2 +(n-1)+n n +(n-1)+2 +1(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)推广推广:其它等差数列是不是也可以用这个思路来其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前求前n项和呢项和呢?一般地一般地,我

3、们称我们称a1+a2+an为数列为数列an的前的前n项和项和,常用常用Sn表示表示,即即Sn=a1+a2+an为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益对公差为对公差为对公差为对公差为d d的等差数列的等差数列的等差数列的等差数列 a an n,有有有有 S Sn n=a a1 1+a a2 2+a an n S Sn n=a an n+a an n-1-1+a a1 1所以所以所以所以2 2S Sn n=(=(a a1 1+a a2 2+a an n)+()+(a an n+a an n-1-1+a a1 1)=(=(

4、a a1 1+a an n)+()+(a a2 2+a an n-1-1)+()+(a an n+a a1 1)=(=(a a1 1+a an n)+()+(a a1 1+a an n)+()+(a a1 1+a an n)=n n(a a1 1+a an n)n n个个个个等差数列前等差数列前n项和公式的推导项和公式的推导:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式:若把若把若把若把a an n=a a1 1+(+(n n-1)-1)d d代入上式代入上式代入上式代入上式,则可

5、得则可得则可得则可得为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例例例1 1、等差数列、等差数列、等差数列、等差数列-10,-6,-2,-10,-6,-2,的前多少项的和为的前多少项的和为的前多少项的和为的前多少项的和为54?54?解解解解:设设设设该数列的前该数列的前该数列的前该数列的前n n项的和为项的和为项的和为项的和为54,54,则有则有则有则有整理得整理得整理得整理得 n n2 2-6-6n n-27=0-27=0 解得解得解得解得 n n=9=9或或或或n n=-3=-3（舍去）（舍去）（舍去）（舍去）这个这

6、个这个这个数列的前数列的前数列的前数列的前9 9项的和为项的和为项的和为项的和为5454练习练习练习练习:已知在等差数列已知在等差数列已知在等差数列已知在等差数列 a an n 中中中中（1 1）a an n=4=4n n-1,-1,求求求求S S5050；（2 2）a a1 1=12,=12,a a8 8=26=26,求求求求S S2020；（3 3）a a6 6+a a9 9=8,=8,求求求求S S1414；620620505050505656思考思考思考思考:若知道若知道若知道若知道a a7 7=10,=10,你能求出前几项的和你能求出前几项的和你能求出前几项的和你能求出前几项的和?为

7、了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式:注意注意注意注意a a1 1+a an n的变形的变形的变形的变形方程的思想方程的思想方程的思想方程的思想为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例例例2 2、已知一个等差数列、已知一个等差数列、已知一个等差数列、已知一个等差数列 a an n 的前的前的前的前1010项的和是项的和是项的和是项的和是310,310,前前前前2020项项项项的和是的和是的和是的和

8、是1220,1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这些条件能确定这个等差数列的通项公式及前及前及前及前 n n 项和的公式吗项和的公式吗项和的公式吗项和的公式吗?解解解解:依题意知依题意知依题意知依题意知,S S1010=310,=310,S S2020=1220=12201010a a1 1+45+45d d=310=3102020a a1 1+190+190d d=1220=1220得得得得解得解得解得解得 a a1 1=4,=4,d d=6=6将它们代入公式将它们代入公式将它们代入公式将它们代入公式思

9、考思考:对于等差数列对于等差数列的相关的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可已知几个量就可以确定其他量以确定其他量?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例例例2 2、已知一个等差数列、已知一个等差数列、已知一个等差数列、已知一个等差数列 a an n 的前的前的前的前1010项的和是项的和是项的和是项的和是310,310,前前前前2020项项项项的和是的和是的和是的和是1220,1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这些条件能确定这个等差数列的通项公式由这

10、些条件能确定这个等差数列的通项公式及前及前及前及前 n n 项和的公式吗项和的公式吗项和的公式吗项和的公式吗?思考思考:对于等差数列对于等差数列的相关的相关a1,an,d,n,Sn,已知几个量就可已知几个量就可以确定其他量以确定其他量?a1,d,n是是等差数列的三个等差数列的三个基本量，基本量，an,Sn可以用这可以用这三个量表示，三个量表示，a1,an,d,n,Sn,可可知三求二知三求二。一般是通过通项公式和一般是通过通项公式和前前n项和公式联立方程项和公式联立方程(组组)求解。求解。练习练习练习练习:已知在等差数列已知在等差数列已知在等差数列已知在等差数列 a an n 中中中中为了规范事

11、业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例3、2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学关于在中小学实施校校通工程的通知实施校校通工程的通知.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校校通校通”工程的总体目标工程的总体目标:从从2001年起用年起用10年的时间年的时间,在在全市中小学建成不同标准的校园网全市中小学建成不同标准的校园网.据测算据测算,2001年该年该市用于市用于“校校通校校通”的工程经费为的工程经费为500万元万元.为了保证工为了保证工程的顺利实施程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增

12、加计划每年投入的资金都比上一年增加50万元万元.那么从那么从2001年起的未来年起的未来10年间年间,该市该市“校校通校校通”工程中的总投入是多少工程中的总投入是多少?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益解解解解:根根根根据据据据题题题题意意意意,从从从从2001 2001 20102010年年年年,该该该该市市市市每每每每年年年年投投投投入入入入“校校校校校校校校通通通通”工工工工程程程程的的的的经经经经费费费费都都都都比比比比上上上上一一一一年年年年增增增增加加加加5050万万万万元元元元.所所所所以以以以,可

13、可可可以以以以建建建建立立立立一一一一个等差数列个等差数列个等差数列个等差数列 a an n,表示从表示从表示从表示从20012001年起各年投入的资金年起各年投入的资金年起各年投入的资金年起各年投入的资金,其中其中其中其中,那么那么那么那么,到到到到20102010年（年（年（年（n=10n=10）,投入的资金总额为投入的资金总额为投入的资金总额为投入的资金总额为答答答答:从从从从200120012010”2010”年年年年,该市在该市在该市在该市在“校校通校校通校校通校校通”工程中的总投工程中的总投工程中的总投工程中的总投入是入是入是入是72507250元元元元.为了规范事业单位聘用关系，

14、建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益分析分析:Sn=a1+a2+an,Sn-1=a1+a2+an-1(n2)an=Sn-Sn-1(n2)特别地特别地,当当n=1时时,a1=S1例例例例3 3、已知数列、已知数列、已知数列、已知数列 a an n 的前的前的前的前n n项和为项和为项和为项和为 ,求该数列求该数列求该数列求该数列的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式,这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗

15、这个数列是等差数列吗?为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益例例例例3 3、已知数列、已知数列、已知数列、已知数列 a an n 的前的前的前的前n n项和为项和为项和为项和为 ,求该数列求该数列求该数列求该数列的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式,这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗这个数列是等差数列吗?解解解解:当当当当n n=1=1时时时时,当当当当n n 2 2时时时时,数列数列数列数列 a an n 的通项公式为的通项公式为的通项公式为的通项公式为这是首项为这是首项为这是首项为这

16、是首项为 ,公差为公差为公差为公差为2 2的等差数列的等差数列的等差数列的等差数列为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式:若已知数列若已知数列an前前n项和为项和为Sn,则该数列的则该数列的通项公式为通项公式为S1，n=1Sn-Sn-1，n2an=为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益探究探究:一般地一般地一般地一般地,如果一个数列如果一个数列如果一个数列如果一个数列 a an n 的前的前的前的前

17、n n项和为项和为项和为项和为S Sn n=pnpn2 2+qnqn+r r,其中其中其中其中p p、q q、r r为常数为常数为常数为常数,且且且且p p0,0,那么那么那么那么这个数列一定是等差数列吗这个数列一定是等差数列吗这个数列一定是等差数列吗这个数列一定是等差数列吗?若是若是若是若是,则它的首项与则它的首项与则它的首项与则它的首项与公差分别是什么公差分别是什么公差分别是什么公差分别是什么?分析分析分析分析:当当当当n n=1=1时时时时,a a1 1=S S1 1=p+q+rp+q+r又又又又当当当当n n=1=1时时时时,a an n=2=2p p-p+qp+q=p+qp+q 当且

18、仅当当且仅当当且仅当当且仅当r r=0=0时时时时,a a1 1满足满足满足满足a an n=2=2pnpn-p+qp+q故只有当故只有当故只有当故只有当r r=0=0时该数列才是等差数列时该数列才是等差数列时该数列才是等差数列时该数列才是等差数列,此时首项此时首项此时首项此时首项a a1 1=p+qp+q,公差公差公差公差d d=2=2p p(p p 0)0)当当当当n n11时时时时,a an n=S Sn n-S Sn n-1-1 =pnpn2 2+qnqn+r r-p p(n n-1)-1)2 2-q q(n n-1)-1)-r r =2 =2pnpn-p p+q q为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益