算法第5章学习.pptx

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1、1通过应用范例学习回溯法的设计策略。（1）装载问题；（2）批处理作业调度；（3）符号三角形问题（4）n后问题；（5）0-1背包问题；（6）最大团问题；（7）图的m着色问题（8）旅行售货员问题（9）圆排列问题（10）电路板排列问题（11）连续邮资问题第1页/共35页2n有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法n回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。n回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判

2、断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。第2页/共35页3问题的解空间问题的解空间问题的解空间问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,xn)的形式。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间,其解空间为(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)定义了问题的解空间后,还

3、应将解空间很好地组织起来,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间,通常将解空间组织成树或图的形式第3页/共35页4生成问题状态的基本方法n扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点n活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点n死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点n深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）n回溯法在搜索解空间树时,通常采用两种策略避免无效搜索:其一是用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树;其二

4、是用限界函数剪去得不到最优解的子树.这两类函数统称为剪枝函数.第4页/共35页5回溯法的基本思想回溯法的解题步骤:(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。第5页/共35页6递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。void backtrack(int t)if(tn)output(x);else for(int i=f(n,t);i0)if(f(n,t)=g(n,t)for(int i=f(n,t);in)output(x);else for(int i=0;

5、in)output(x);else for(int i=t;i n)/到达叶结点 if(cwbestw)bestw=cw;return;if(cw+wi n)bestw=cw;return;r-=wi;if(cw+wi bestw)/xi=0;搜索右子树 backtrack(i+1);r+=wi;第13页/共35页14装载问题构造最优解构造最优解:通过在类Loading中增加两个私有数据成员x和bestx。x用于记录从根至当前节点的路径；bestx记录当前最优解。第14页/共35页15装载问题迭代回溯迭代回溯:数组x记录了解空间树中从根到当前扩展结点的路径,这些信息已包含了回溯法在回溯时所需的

6、信息。因此利用数组x所含的信息，可讲上述回溯法表示成非递归的形式。由此可进一步省去0(n)递归栈空间。第15页/共35页16批处理作业调度给定n个作业的集合J1,J2,Jn。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。tji机器1机器2作业121作业231作业323这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1

7、；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。第16页/共35页17批处理作业调度解空间：排列树void Flowshop:Backtrack(int i)if(i n)for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestf=f;else for(int j=i;j f1)?f2i-1:f1)+Mxj2;f+=f2i;if(f bestf)Swap(xi,xj);Backtrack(i+1);Swap(xi,xj);f1-=Mxj1;f-=f2i;class Flowshop frie

8、nd Flow(int*,int,int);private:void Backtrack(int i);int *M,/各作业所需的处理时间 *x,/当前作业调度 *bestx,/当前最优作业调度 *f2,/机器2完成处理时间 f1,/机器1完成处理时间 f,/完成时间和 bestf,/当前最优值 n;/作业数;第17页/共35页18n后问题在nn格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在nn格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。1 2 3 4 5 6 7 812345678Q

9、QQQQQQQ第18页/共35页19解向量：(x1,x2,xn)显约束：xi=1,2,n隐约束：1)不同列：xi xj 2)不处于同一正、反对角线：|i-j|xi-xj|n后问题bool Queen:Place(int k)for(int j=1;jn)sum+;else for(int i=1;i=n;i+)xt=i;if(Place(t)Backtrack(t+1);第19页/共35页200-1背包问题解空间：子集树可行性约束函数：上界函数：templateTypep Knap:Bound(int i)/计算上界 Typew cleft=c-cw;/剩余容量 Typep b=cp;/以物品

10、单位重量价值递减序装入物品 while(i=n&wi=cleft)cleft-=wi;b+=pi;i+;/装满背包 if(i n)/到达叶结点 for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestn=cn;return;/检查顶点 i 与当前团的连接 int OK=1;for(int j=1;j bestn)/进入右子树 xi=0;Backtrack(i+1);复杂度分析复杂度分析最大团问题的回溯算法backtrackbacktrack所需的计算时间显然为O(n2n)。12453第22页/共35页23图的m着色问题给定无向连通图G和m种不同的颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色，每

11、个顶点着一种颜色。是否有一种着色法使G中每条边的2个顶点着不同颜色。这个问题是图的m可着色判定问题。若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的2个顶点着不同颜色，则称这个数m为该图的色数。求一个图的色数m的问题称为图的m可着色优化问题。第23页/共35页24解向量：(x1,x2,xn)表示顶点i所着颜色xi 可行性约束函数：顶点i与已着色的相邻顶点颜色不重复。图的m着色问题void Color:Backtrack(int t)if(tn)sum+;for(int i=1;i=n;i+)cout xi ;cout endl;else for(int i=1;i=m;i+)xt=i;if(Ok

12、(t)Backtrack(t+1);bool Color:Ok(int k)/检查颜色可用性 for(int j=1;j=n;j+)if(akj=1)&(xj=xk)return false;return true;复杂度分析复杂度分析图m可着色问题的解空间树中内结点个数是对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性需耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是第24页/共35页25旅行售货员问题某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到驻地的路线，使总的路程（或总旅费）最小。第25页

13、/共35页26旅行售货员问题解空间：排列树templatevoid Traveling:Backtrack(int i)if(i=n)if(axn-1xn!=NoEdge&axn1!=NoEdge&(cc+axn-1xn+axn1 bestc|bestc=NoEdge)for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestc=cc+axn-1xn+axn1;else for(int j=i;j=n;j+)/是否可进入xj子树?if(axi-1xj!=NoEdge&(cc+axi-1xi bestc|bestc=NoEdge)/搜索子树 Swap(xi,xj);cc+=axi-1xi

14、;Backtrack(i+1);cc-=axi-1xi;Swap(xi,xj);复杂度分析复杂度分析算法backtrackbacktrack在最坏情况下可能需要更新当前最优解O(n-1)!)次，每次更新bestx需计算时间O(n)，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n!)。第26页/共35页27圆排列问题给定n个大小不等的圆c1,c2,cn，现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为第27页/共35页28圆排列问题

15、float Circle:Center(int t)/计算当前所选择圆的圆心横坐标 float temp=0;for(int j=1;jtemp)temp=valuex;return temp;void Circle:Compute(void)/计算当前圆排列的长度 float low=0,high=0;for(int i=1;i=n;i+)if(xi-rihigh)high=xi+ri;if(high-lown)Compute();else for(int j=t;j=n;j+)Swap(rt,rj);float centerx=Center(t);if(centerx+rt+r1min)/

16、下界约束 xt=centerx;Backtrack(t+1);Swap(rt,rj);复杂度分析复杂度分析由于算法backtrack在最坏情况下可能需要计算O(n!)次当前圆排列长度，每次计算需O(n)计算时间，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n+1)!)上述算法尚有许多改进的余地。例如，象1,2,n-1,n和n,n-1,2,1这种互为镜像的排列具有相同的圆排列长度，只计算一个就够了，可减少约一半的计算量。另一方面，如果所给的n个圆中有k个圆有相同的半径，则这k个圆产生的k!个完全相同的圆排列，只计算一个就够了。第28页/共35页29连续邮资问题假设国家发行了n种不同面值的邮票，并且规定每张

17、信封上最多只允许贴m张邮票。连续邮资问题要求对于给定的n和m的值，给出邮票面值的最佳设计，在1张信封上可贴出从邮资1开始，增量为1的最大连续邮资区间。例如，当n=5和m=4时，面值为(1,3,11,15,32)的5种邮票可以贴出邮资的最大连续邮资区间是1到70。第29页/共35页30连续邮资问题解向量：用n元组x1:n表示n种不同的邮票面值，并约定它们从小到大排列。x1=1是唯一的选择。可行性约束函数：已选定x1:i-1，最大连续邮资区间是1:r，接下来xi的可取值范围是xi-1+1:r+1。如何确定r的值？计算X1:i的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，因此势必要找到一个高效的方法。考

18、虑到直接递归的求解复杂度太高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x1:i的邮票贴出邮资k所需的最少邮票数yk。通过yk可以很快推出r的值。事实上，yk可以通过递推在O(n)时间内解决：forfor(int j=0;j=xi-2*(m-1);j+)ifif(yjm)forfor(int k=1;k=m-yj;k+)ifif(yj+kyj+xi-1*k)yj+xi-1*k=yj+k;while while(yrmaxint)r+;第30页/共35页31连续邮资问题子树：for(int j=xi-1+1;j=r;j+)xi=j;Backtrack(i+1,r);for(int k=1;k=maxl;

19、k+)yk=zk;第31页/共35页32回溯法效率分析通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素：(1)产生xk的时间；(2)满足显约束的xk值的个数；(3)计算约束函数constraintconstraint的时间；(4)计算上界函数boundbound的时间；(5)满足约束函数和上界函数约束的所有xk的个数。好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。第32页/共35页33重排原理对于许多问题而言，在搜索试探时选取xi的值顺序是任意的。在其它条件相当的前提下，让可取值最少的在其它条件相当的前提下，让可取值最少的xi优先优先。从图中关于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力。图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明显比后者好。(a)(b)第33页/共35页34第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页