研究生入学考试导数概念.pptx

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1、一、一、引例引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动第1页/共31页2.曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率第2页/共31页两个问题的两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题第3页/共31页 设函数在点的某邻域内有定义,当 函数 y=

2、f(x)的自变量的改变量和函数值的改变 量的含义：自变量由 变化到 时，称在 处的改变量.为自变量 x 相应的函数值的的改变量为即定义3.1.设函数在点的某邻域内有定义,二 (3.2)导数的概念若极限存在,第4页/共31页并称此极限为函数记作:即则称函数在点处可导,在点处的导数或（微商）.若上述极限不存在,在点 不可导.就说函数若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.就称函数在 I 内可导.记作:第5页/共31页运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率（导数的几何意义）说明:在经济学中,边际成本,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.

3、第6页/共31页例例1.求函数求函数(C 为常数)的导数.解:即例2.求函数解:对一般幂函数(为常数)（以后将证明）第7页/共31页例如，第8页/共31页例例3.求函数求函数的导数.解:则即类似可证得第9页/共31页例4.求函数的导数.解:则即例5.证明函数在 x=0 不可导.证:第10页/共31页不存在,例6.设存在,求极限解:原式是否可以按下面这样做呢？第11页/共31页原式存在,求例7 设解:原式=例2若且存在,求第12页/共31页解:原式=且联想到凑导数的定义式 例例3 设设在处连续,且求解:第13页/共31页第14页/共31页试确定常数 a,b 使 f(x)处处可导,并求解得即例4

4、设第15页/共31页例5 设处的连续性及可导性.第16页/共31页解:又所以 在处连续.即在处可导.第17页/共31页曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程:三、导数的几何意义第18页/共31页定理1.证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意:函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x=0 处连续,但不可导.即四、函数的可导性与连续性的关系 第19页/共31页在点的某个右若极限则称此极限值为在 处的右 导数,记作即(左)(左)定义2.设函数邻域内有定义,存在,五、单侧导数（左、右导

5、数）第20页/共31页在 x=0 处有例如,且定理2.函数在点可导的充分必要条件是存在简写为在点处右 导数存在定理3.函数在点必 右 连续.(左)(左)第21页/共31页若函数与都存在,显然:在闭区间 a,b 上可导则称在闭区间 上可导.在开区间 内可导,且第22页/共31页思考与练习思考与练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数第23页/共31页2.设设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由两边夹准则故在可导,且第24页/共31页5.5.设设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.第25页/共31页解:因为1.设存在,且求所以补充题第26页/共31页在 处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设设故第27页/共31页内容小结内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;第30页/共31页感谢您的观看！第31页/共31页