第四节解析函数精选文档.ppt

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1、第四节解析函数本讲稿第一页，共十六页Cauchy-Riemann条件必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有1.3 1.3 1.3 1.3 导数导数导数导数本讲稿第二页，共十六页充分必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是注意：注意：条件点处满足在RiemannCauchy),(.2-yx点处可微；在),(),(),(.1yxyxvyxuf(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导(微)点处可微；在),(),(),(yxyxvyxu本讲稿第三页，共十六页充分条件设 f(z)=u

2、(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足那么f(z)在z=x+iy处可导。Cauchy-Riemann方程方程在极坐标系下的形式为在极坐标系下的形式为本讲稿第四页，共十六页1.4 1.4 解解 析析 函函 数数 一一一一.解析定义解析定义解析定义解析定义().0解析解析在在则称则称zzf(),00的邻域内处处可导的邻域内处处可导及及在在如果函数如果函数zzzf本讲稿第五页，共十六页二二二二.解析函数的性质解析函数的性质解析函数的性质解析函数的性质(1)若函数若函数f(z)=u+iv,在区域在区域B上解析上解析,则则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1C

3、2为常数为常数)是是B上的两组正交曲线族上的两组正交曲线族两边分别相乘两边分别相乘,得得即即梯度梯度正交正交分别是曲线分别是曲线u=常数和常数和v=常数的法向矢量常数的法向矢量,因此因此U=常数和常数和v=常数是互相正交的两曲线族常数是互相正交的两曲线族本讲稿第六页，共十六页(2)若函数若函数f(z)=u+iv在区域在区域B上解析上解析,则则u,v均为均为B上的上的调和函数调和函数调和函数调和函数如果某函数如果某函数H(x,y)在区域在区域B上有二阶连续偏导数上有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程且满足拉普拉斯方程 则称则称H(x,y)为为区域区域B上的上的调和函数调和函数.后边我们将证明后边我

4、们将证明,二阶偏导数二阶偏导数存在且连续存在且连续,对柯西对柯西-黎曼方程黎曼方程前一式子对前一式子对x求导求导,后一式子对后一式子对y求导求导,相加可以消除相加可以消除v,得到得到同理可得同理可得本讲稿第七页，共十六页 以上说明以上说明u(x,y)和和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程都满足二维的拉普拉斯方程,即都是即都是调和函数调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别所以又特别称之为称之为共轭调和函数共轭调和函数共轭调和函数共轭调和函数 若给定一个二元的调和函数若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部可以看做某个解析函数的实部

5、(虚部虚部),利用柯西利用柯西-黎曼条件求出相应的虚部黎曼条件求出相应的虚部(实部实部),也就确定了也就确定了这个解析函数这个解析函数.给定的二元函数给定的二元函数u(x,y)是解析函数的实部是解析函数的实部,求相应的虚部求相应的虚部v(x,y)二元函数二元函数v(x,y)的微分式是的微分式是由柯西由柯西-黎曼条件可得黎曼条件可得是全微分，是全微分，三三三三.求解析函数的实部或虚部求解析函数的实部或虚部求解析函数的实部或虚部求解析函数的实部或虚部原因如下原因如下本讲稿第八页，共十六页满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程可以用下列方法计算出可以用下列方法计算出(1)(1)曲线积分法曲线积分法曲线积分

6、法曲线积分法 全微分的积分与路径无关全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径可选取特殊积分路径 使积分路径容易算出使积分路径容易算出.(2)(2)凑全微分法凑全微分法凑全微分法凑全微分法 微分的右端凑成全微分显式微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出自然求出(3)(3)不定积分法不定积分法不定积分法不定积分法以上方法同样适用于从虚部以上方法同样适用于从虚部v求实部求实部u的情况的情况例例例例1 1已知解析函数已知解析函数f(z)的实部的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数求虚部和解析函数解解:验证验证u是调和函数是调和函数,满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数

7、确实是某解析函数的实部的实部.本讲稿第九页，共十六页根据柯西根据柯西-黎曼条件有黎曼条件有(1)曲线积分法曲线积分法 先计算先计算u的偏导数的偏导数由此可得由此可得dv=2ydx+2xdy右边是全微分右边是全微分,积分值积分值与路径无关与路径无关,为便于计算为便于计算,取如图路径取如图路径:(x,0)(x,y)oxyC为积分常数为积分常数CxyCxdyyx+=+=22),()0,x(Cxdyydxxdyydxvyxxx+=2222),()0,()0,()0,0(本讲稿第十页，共十六页(2)凑全微分法凑全微分法 由上已知由上已知dv=2ydx+2xdy很容易凑成全微分形式很容易凑成全微分形式d(

8、2xy),则则dv=d(2xy)此时显然有此时显然有v=2xy+C实质上也是曲线积分法实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便在容易凑微分的时候很方便.(3)不定积分法不定积分法 上边算出上边算出第一式对第一式对y积分积分,x看做参数看做参数,可得可得对对x求导求导其中其中 为为x的任意函数的任意函数,再再由柯西由柯西-黎曼条件知道黎曼条件知道从而有从而有可得可得v=2xy+C解析函数为解析函数为本讲稿第十一页，共十六页例例例例2 2已知解析函数已知解析函数f(z)的虚部的虚部求实部求实部u(x,y)和解析函数和解析函数f(z)解解解解直角坐标系下，直角坐标系下，的计算比较烦琐，改用极坐标系的计算比较烦琐，改用极坐标系求求u(x,y)的方法和例的方法和例1一样，可以用三种方法，这里只介绍全微一样，可以用三种方法，这里只介绍全微分显式法，先计算分显式法，先计算v的偏导数的偏导数由柯西黎曼方程可得由柯西黎曼方程可得则可得则可得本讲稿第十二页，共十六页因此可得因此可得本讲稿第十三页，共十六页例例3解解本讲稿第十四页，共十六页例例4解解本讲稿第十五页，共十六页例例5证证本讲稿第十六页，共十六页