2021届高考数学总复习 第八章 第八节空间向量的应用(一)课时精练 理.doc

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1、第八节空间向量的应用(一)1如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(0,2,1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90 B60 C45 D30解析：cos ，因此a与b的夹角为30.故选D.答案：D2(2013大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析：如图，连接AC，交BD于点O.由于BOOC，BOCC1，可得BO平面OCC1，从而平面OCC1平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE平面BDC1，CDE即为所求的线面角设AB2，则O

2、C，OC13，所以CE，所以sin CDE.答案：A3一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为 ()A. B. C. D.解析：还原正方体如图所示，E、F分别为正方体的顶点，设AD1，则AB，AF1，BEEF2，AE3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cosABE.故选D.答案：D4如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：由S

3、D底面ABCD，得SDAC.又由于在正方形ABCD中，BDAC，SDBDD，所以AC平面SBD.故ACSB，即A项正确由于ABCD，AB平面SCD，CD平面SCD，所以AB平面SCD，即B项正确设AC，BD交点为O，连接SO，则由知AC平面SBD，则由直线与平面成角定义知SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO.由于ADSCDS，所以SASC.所以SAC为等腰三角形又由于O是AC的中点，所以ASOCSO，即C项正确因为ABCD，所以AB与SC所成的角为SCD，DC与SA所成的角为SAB，SCD与SAB不相等，故D项不正确答案：D5在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相

4、等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D90解析：如图所示，由已知三棱柱为正三棱柱，设底面边长为a，则A1Aa，取BC中点E，连接AE，DE，则AE平面B1BCC1.DEBC，ADE为直线AD和平面B1BCC1所成角AEa，DEa，tanADE.ADE60.故选C.答案：C6已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于_解析：设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为，则612h，解得h，于是tan ，故.答案：7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中

5、心，G是CC1的中点设GF、C1E与AB所成的角分别为，则_.解析：建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为2. 则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2，1)则(0,2,0)，(1,1，1)，(1,2，1)，所以cos，cos，所以cos ，cos ，sin ，所以90.答案：908已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_解析：(法一)在平面BC1内延长FE与CB相交于G，过B作BH垂直AG，则EHAG，故BHE是平面AE

6、F与平面ABC所成二面角的平面角设正方体的棱长为a，可得BE，BGa，所以BHa，则tanBHE.(法二)设正方体的边长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则(3,0,1)，(0,3，1)，设平面AFE的法向量为n(x，y，z)，则n，n，即3xz0且3yz0，取z3，则x1，y1，所以n(1,1,3)，又平面ABC的法向量为m(0,0,3)，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的余弦值为cos ，所以sin ，所以tan .答案：9(2013大纲全国卷)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长

7、等于球O的半径，OK，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于_解析：设两圆的公共弦AB的中点为D，则KDDA，ODDA，ODK即为圆O和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以ODK60.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OKKD.在直角三角形ODK中，sin 60，即OD，设球的半径为r，则DOr，所以r，所以r2，所以球的表面积为4r216.答案：1610(2013茂名一模)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BADADC90，ABADCDa，PDa.(1)若M为PA中点，求证：AC平面MDE；(2)求平面PAD与PBC

8、所成锐二面角的大小(1)证明：连接PC，交DE与N，连接MN，在PAC中，因为M，N分别为两腰PA，PC的中点，所以MNAC，又AC面MDE，MN面MDE，所以AC平面MDE.(2)解析：以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0，a)，B(a，a,0)，C(0,2a,0)，所以(a，a，a)，(a，a,0)，设平面PAD的单位法向量为n1，则可取n1(0,1,0)，设面PBC的法向量n2(x，y，z)，则有即：取z1，则x，y，所以n2，设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，所以cos ，所以60，所以平面PAD与平面PBC所

9、成锐二面角的大小为60.11(2013江西卷)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值(1)证明：在ABD中，因为E为BD中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB.因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA.故EFAD，AFFD，EFAB，GFPA.又PA平面ABCD，ABAD，GFAD，EFAD，故AD平面CFG.(2)解析：解以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0,0,

10、0)，B(1,0,0)，C，D(0，0)，P，故，.设平面BCP的法向量n1(x1，y1，z1)，则即令y1，则x13，z12，n1(3，2)同理求得面DCP的法向量n2(1，2)，从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos |cos n1，n2|.12已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形(1)求异面直线DE与AB所成的角的余弦值；(2)求二面角AEDB的正弦值； (3)求此几何体的体积V的大小解析： (法一)(1)取EC的中点是F，连接BF，则BFDE，FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角在BAF中，AB4，BF

11、AF2.cosABF.异面直线DE与AB所成的角的余弦值为.(2)AC平面BCE，过C作CGDE交DE于G，连接AG.可得DE平面ACG，从而AGDE，AGC为二面角AEDB的平面角在ACG中，ACG90，AC4，CG，tanAGC.sinAGC.二面角AEDB的正弦值为. (3)VSBCEDAC16，几何体的体积V为16. (法二)(1)以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(0,4,2)，E(0,0,4)，(0，4，2)，(4,4,0)，cos，.异面直线DE与AB所成的角的余弦值为. (2)平面BDE的一个法向量

12、为(4,0,0)，设平面ADE的一个法向量为n(x，y，z)，n，n，(4,4,2)，(0，4,2)，n0，n0.从而4x4y2z0，4y2z0.令y1，则n(2,1,2), cos，n.sin，n.二面角AEDB的正弦值为. (3)VSBCEDAC16，几何体的体积V为16.13(2013湖南卷)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值(1)证明：因为ABCDA1B1C1D1是直棱柱，所以BB1面ABCD，且AC面ABCDBB1AC，又因为ACBD，且BDBB1B.

13、所以AC面BDB1，因为B1D面BDB1，所以ACB1D，(2)解析：因为B1C1BCAD，所以直线B1C1与平面ACD1的夹角即直线AD与平面ACD1的夹角.以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴，AA1为z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(3,0,0)，D1(3,0,3)，B(0，y,0)，C(1，y,0)，则(1，y,0)，(3，y,0)，因为，0，得3y200，y0，所以y，所以(1，0)，(3,0,3)设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则由得平面ACD1的一个法向量为n(，1，)，(3,0,0)，所以sin |cosn，|.14如图所示，在三棱锥PA

14、BC中，ABBC，平面PAC平面ABC，PDAC于点D，AD1，CD3，PD.(1)证明：PBC为直角三角形；(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(1)证明： (法一)平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，PDAC，PD平面ABC.记AC边上的中点为E，在ABC中，ABBC，BEAC.ABBC，AC4，BE.PDAC，PCD为直角三角形PD，CD3，PC2.连接BD，在RtBDE中，BE，DE1，BD.PD平面ABC，BD平面ABC，PDBD.在RtPBD中，PD，BD，PB.在PBC中，BC，PB，PC2，BC2PB2PC2.PBC为直角三角形(法二)因为平面

15、PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，PDAC，PD平面ABC.记AC边上的中点为E，在ABC中，ABBC，BEAC. ABBC，AC4，BE.连接BD，在RtBDE中，BED90，BE，DE1，BD.在BCD中，CD3，BC，BD，BC2BD2CD2.BCBD.PD平面ABC，BC平面ABC，BCPD.BDPDD，BC平面PBD.PB平面PBD，BCPB.PBC为直角三角形(2)解析：(法一)过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连接PH，则APH为直线AP与平面PBC所成的角由(1)知，ABC的面积SABCBE2.PD，VPABCSABCPD2.由(1)知PBC为直角三

16、角形，BC，PB，PBC的面积SPBCBCPB3.三棱锥APBC与三棱锥PABC的体积相等，即VAPBCVPABC，即3AH，AH.在RtPAD中，PD，AD1，AP2. sinAPH.直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.(法二)以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，则A(0，2,0)，B(，0,0)，C(0,2,0)，P(0，1，)于是(0,1，)，(，1，)，(0,3，)设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，则z，x.平面PBC的一个法向量为n(，1，)设直线AP与平面PBC所成的角为，则sin |cos，n|.直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.13