215三重积分学习.pptx

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1、一、三重积分的定义第1页/共56页三重积分的性质与二重积分的类似。三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，特别地，第2页/共56页直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算如图，如图，第3页/共56页得得是是 x、y 的函数。的函数。第4页/共56页注意注意第5页/共56页三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：得到得到事实上，事实上，第6页/共56页得到得到事实上，事实上，第7页/共56页得到得到事实上，事实上，第8页/共56页得到得到解解于是，于是，第9页/共56页于是，于是，得到得到第10页/共56页解解第11页/共56页第12

2、页/共56页得到得到解解第13页/共56页于是，于是，得到得到解解第14页/共56页第15页/共56页解解第16页/共56页原式原式因此，因此，第17页/共56页解解如图如图,第18页/共56页第19页/共56页定理设变换T:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)将 uvw 空间中的有界闭区域 uvw 变成 xyz 空间中的有界闭区域xyz,且满足1)x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)C1(uvw)三 三重积分换元法第20页/共56页2)0,(u,v,w)uvw若 f(u,v,w)R(),则有第21页/共56页例5.计算其中是由曲面所围成

3、的区域.解:作变换第22页/共56页而由公式(5),第23页/共56页1、利用柱面坐标计算三重积分规定：规定：简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标 +z 坐标坐标第24页/共56页柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面第25页/共56页从而=r第26页/共56页所以,一般,r z 表为:r1()r2(),z1(r,)z2(r,).,第27页/共56页如图，柱面坐标系中的如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素为于是，于是，再根据再根据 中中 z，r，的关系，化为

4、三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 z 积分，再对积分，再对 r，最后对，最后对 积分。积分。第28页/共56页例例6 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分其中其中 解解(1)画画 图图(2)确定确定 z，r，的上下限的上下限将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得第29页/共56页即即过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得于是，于是，第30页/共56页第31页/共56页解解求交线：求交线：将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或第32页/共56页即即过过(r,)D 做平

5、行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得或或第33页/共56页例例7 计算三重积分计算三重积分其中其中 是由曲是由曲解解将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得第34页/共56页即即或或过过(r,)D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得第35页/共56页即即第36页/共56页2、利用球面坐标计算三重积分规定：规定：第37页/共56页如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为第38页/共56页由第39页/共56页所以第40页/

6、共56页球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为如图，如图，再根据再再根据再 中中 r，的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。第41页/共56页例例8 用球面坐标计算用球面坐标计算其中其中解解画画 图。图。确定确定 r，的上下限。的上下限。(1)将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得(2)任取一任取一过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得(3)在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作过原点作射线，得射线，得第42页/共56页(3)在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作过原点作射线，得射线，得

7、即即第43页/共56页第44页/共56页例例9 计算计算其中其中 由曲面由曲面和和围成。围成。将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 任取一任取一过过 z在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作射线，得过原点作射线，得解解轴作半平面，得轴作半平面，得第45页/共56页即即在半平面上，任取一在半平面上，任取一过原点作射线，得过原点作射线，得第46页/共56页解解由三重积分的性质，有由三重积分的性质，有第47页/共56页解解由三重积分的性质，有由三重积分的性质，有第48页/共56页例 11 计算积分积分区域 V 为椭球体解积分区域如图，第49页/共56页类似地，有所以第50页/共56页另解过点 作垂直于 轴的平面 与椭球截得的截面 是平面上的椭圆：此椭圆的面积为：于是 第51页/共56页例12.计算三重积分 解 作广义球坐标变换：第52页/共56页于是在上述广义球坐标变换之下，V的原象为=第53页/共56页三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素（计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结第54页/共56页柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标作业：作业：P251:1，2，3,4,5.第55页/共56页感谢您的观看。第56页/共56页