6高等数学课件(完整版)详细.pptx

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1、面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得A的近似值第1页/共116页ab xyo（4）求极限，得A的精确值提示提示面积元素第2页/共116页第3页/共116页元素法的一般步骤：第4页/共116页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等第5页/共116页元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结第6页/共116页思考题思考题微元法的实质是什么？第7页/共116页思考题解答思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.第8页/共116页曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、直角坐标系情形第

2、9页/共116页解解两曲线的交点面积元素选 为积分变量第10页/共116页解解两曲线的交点选 为积分变量第11页/共116页于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选 吗？第12页/共116页解解两曲线的交点选 为积分变量第13页/共116页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第14页/共116页解解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积第15页/共116页面积元素曲边扇形的面积二、极坐标系情形第16页/共116页解解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第17页/共116页解解利用对称性知第18页/共1

3、16页求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结第19页/共116页思考题思考题第20页/共116页思考题解答思考题解答xyo两边同时对 求导第21页/共116页积分得所以所求曲线为第22页/共116页练练 习习 题题第23页/共116页第24页/共116页第25页/共116页练习题答案练习题答案第26页/共116页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积第27页/共116页xyo旋转

4、体的体积为第28页/共116页解解直线 方程为第29页/共116页第30页/共116页解解第31页/共116页第32页/共116页解解第33页/共116页第34页/共116页补充补充利用这个公式，可知上例中第35页/共116页解解体积元素为第36页/共116页二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积第37页/共116页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第38页/共116页解解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第39页/共116页旋转体的体

5、积平行截面面积为已知的立体的体积绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结第40页/共116页思考题思考题第41页/共116页思考题解答思考题解答交点立体体积第42页/共116页练练 习习 题题第43页/共116页第44页/共116页第45页/共116页练习题答案练习题答案第46页/共116页一、平面曲线弧长的概念第47页/共116页弧长元素弧长二、直角坐标情形第48页/共116页解解所求弧长为第49页/共116页解解第50页/共116页曲线弧为弧长三、参数方程情形第51页/共116页解解 星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第52页/共116页证证第5

6、3页/共116页根据椭圆的对称性知故原结论成立.第54页/共116页曲线弧为弧长四、极坐标情形第55页/共116页解解第56页/共116页解解第57页/共116页平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结第58页/共116页思考题思考题第59页/共116页思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长第60页/共116页练练 习习 题题第61页/共116页第62页/共116页练习题答案练习题答案第63页/共116页一、变力沿直线所作的功第64页/共116页第65页/共116页解解功元素所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处

7、第66页/共116页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图第67页/共116页这一薄层水的重力为功元素为(千焦)第68页/共116页解解 设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？设 次击入的总深度为 厘米次锤击所作的总功为第69页/共116页依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为第 次击入的深度为第70页/共116页二、水压力第71页/共116页解解 在端面建立坐标系如图第72页/共116页

8、第73页/共116页解解 建立坐标系如图面积微元第74页/共116页三、引力第75页/共116页解解 建立坐标系如图将典型小段近似看成质点小段的质量为第76页/共116页小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为第77页/共116页利用“微元法微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）四、小结第78页/共116页思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？第79页/共116页思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其

9、值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关第80页/共116页练练 习习 题题第81页/共116页第82页/共116页第83页/共116页练习题答案练习题答案第六章习题课第六章习题课第84页/共116页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容第85页/共116页1 1、理论依据、理论依据第86页/共116页2 2、名称释译、名称释译第87页/共116页3 3、所求量的特点、所求量的特点第88页/共116页4 4、

10、解题步骤、解题步骤第89页/共116页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形第90页/共116页如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数第91页/共116页极坐标情形第92页/共116页(2)体积xyo第93页/共116页平行截面面积为已知的立体的体积第94页/共116页(3)平面曲线的弧长弧长A曲线弧为弧长B曲线弧为第95页/共116页C曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo第96页/共116页(5)细棒的质量(6)转动惯量第97页/共116页(7)变力所作的功(8)水压力第98页/共116页(9)引力(10)函数的平均值第9

11、9页/共116页二、典型例题二、典型例题例例1 1第100页/共116页解解由对称性,有由对称性,有第101页/共116页由对称性,有第102页/共116页例例2 2解解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有第103页/共116页第104页/共116页故所求速度为第105页/共116页故将满池水全部提升到池沿高度所需功为第106页/共116页例例3 3解解如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为第107页/共116页第108页/共116页测测 验验 题题第109页/共116页第110页/共116页第111页/共116页第112页/共116页第113页/共116页第114页/共116页测验题答案测验题答案第115页/共116页感谢您的观看。第116页/共116页